微分与积分中值定理及其应用.docx

第二讲 微分与积分中值定理及其应用1 微积分中值定理 01.1 微分中值定理 01.2 积分中值定理 32 微积分中值定理的应用 34.1 证明方程根(零点)的存在性 . 34.2 进行估值运算 74.3 证明函数的单调性. 84.4 求极限 84.5 证明不等式 9引言Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理统称为微分中值定理。微分 中值定理是数学分析中最为重要的内容之一， 它是利用导数来研究函数在区间上整体性 质的根底，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带， 具有重要的理论价值与使 用价值。1 微积分中值定理微分中值定理罗尔 (Rolle) 定理: 假设函数 f 满足如下条件(i ) f在闭区间a,b上连续；(ii) f在开区间(a,b )内可导；(込)f(a) f(b),那么在(a,b )内至少存在一点 ，使得f ( ) 0 朗格朗日(Lagrange)中值定理：设函数f满足如下条件：(i ) f在闭区间a,b上连续；(i ) f在开区间(a,b )上可导；那么在(a,b )内至少存在一点 ，使得f(b) f(a)b a柯西中值定理：设函数f和g满足(i )在a,b上都连续;(ii)在(a,b )内都可导；(込)f'(x)和g'(x)不同时为零;(iv) g(x) g(b),那么存在 (a,b)，使得f ( ) f(b) f(a)g ( ) g(b) g(a)微分中值定理的推广罗尔定理的推广定理1:设函数f (x)在(a,b )内可导，且有lim f (x) f (a 0) f (b 0) lim f (x) A(A为有限值或或 )，那么存在点x ax b(a,b)，使得 f ( )0 .证明：首先对A为有限值进行论证：人f (x), x (a,b)令 F(x)A, x a 或 x b那么易知函数f(x)在a,b上连续，在(a,b )内可导且F(a) F(b).由Rolle定理可知， 在(a,b)内至少存在一点 ，使得F ( ) 0，而在(a,b)内有F (x) f (x)，所以f ( ) 0 . 其次对A=()进行论证：由引理1， f (x)在(a,b )内能取得最小值(最大值).不妨设：函数f(x)在 (a,b)处 取得最小值(最大值).此时函数f(x)在 (a,b)处也就取得极小值(极大值).又因 为f (x)在 (a,b)处可导，由Fermat引理，可得f ( )0 .综上所述，从而定理得证.定理2:设函数f (x)在(a,),内可导，且lim f (x) lim f (x)，证明：在(a, )x ax中存在一点，使得f ( ) 0 .定理3:设函数f (x)在( ，b),内可导，且lim f (x) lim f (x)，证明：在(，b)xx b中存在一点，使得f ( ) 0 .定理4:设函数f(x)在(),内可导，且lim f (x) lim f (x),证明：在(xx中存在一点，使得f ( ) 0 .朗格朗日中值定理的推广f(b 0)存在，那么在(a,b )内至少存在一点，使定理5:如果函数f(x)满足条件：在开区间(a,b )上可导且lim f (x) f (a 0) f (a), lim f (x)x ax bf(b) f(a)b a柯西中值定理的推广定理6:如果函数f(x)和F(x)满足条件:都在有限区间(a,b)内可导； lim f (x) m, lim f (x) M1, lim F(x)m2, lim F(x) M2;x ax bx ax bx(a,b),有 F'(x)0那么在(a,b)内至少有一点，使得f'()M1F'( ) M2m2证明：作辅助函数A(x),B(x),并且令-f(x)x(a,b)时，F(x)x (a,b)时,A(x)r gxa时，B(x)-m2x a时，-M1xb时，-m2x b时，那么A(x),B(x)在闭区间a,b上连续，开区间(a,b)内可导,且对x (a,b), B'(x)0,由Cauchy中值定理可知，至少有一点 (a,b)使得A'( )A(b) A(a)B'( )B(b) B(a)又当 x (a,b)时,A(x) f(x), B(x) F(x).ADfl!A(b)A(a)M1gB'( )F'( )B(b)B(a)M2m2f'( ) M1 m F ( ) M2 m21.2积分中值定理积分中值定理：假设f (x)在区间a,b上连续，那么在a,b上至少存在一点使得b f x dx f b a , a b.a积分中值定理的推广推广的积分第一中值定理：假设f X ,g X在闭区间a,b上连续,且g x在a,b上不变号,那么在a,b至少存在一点，使得bbf x g x dx f g x dx, a b.aa第一型曲线积分中值定理：假设函数f(x, y)在光滑有界闭曲线C上连续，那么在曲线C上 至少存在一点(，)，使 f (x, y)ds f( , )S oC其中S表示曲线C的长。第二型曲线积分中值定理：假设函数f(x, y)在有向光滑闭曲线C上连续，那么在曲线C上 至少存在一点(，)，使 f (x, y)ds f( , )IC其中I为有向光滑曲线C在x轴上的投影，符号 是由曲线C的方向确定。第一型曲面积分中值定理：假设D为xoy平面上的有界闭区域，z z(x, y)是光滑曲面S， 函数f (x, y,z)在S上连续，那么曲面S上至少存在一点(，)，使得 f(x,y,z)d f( , , )A其中A是曲面S的面积。第二型曲面积分中值定理：假设有光滑曲面S : z z(x, y)，(x, y) Dxy，其中Dxy是有界 闭区域，函数f (x, y,z)在S上连续，那么在曲面S上至少存在一点(，)，使得f (x, y, z)dxdy f( , , )AS其中A是S的投影Dxy的面积。3微积分中值定理的应用3.1证明方程根(零点)的存在性例1:设函数f(x)和g(x)在闭区间a,b上连续，在(a,b) 上可导，那么在(a,b)内存在f ()g()'占八、(a,b)，使得f(a) g(a)f(b) g(b)(b a)f (a) g(a)证明:F (x)令 F(x) f (a)g(x)f (a)g (x) f (x)g(a)，又有f (x)g(a)，那么F(b)f(a)g(b) f(b)g(a)，F(a) f(a)g(a)f (a)g(a)0 易知 F (x)在闭区间a,b有意义,g (x)0 那么在(a,b)内存在一点(a,b)，使得g()f(a) g(a)f(b)g(b)g(b) g(a)f() g()g()上连续，在(a,b)上可导，故运用Lagrange中值定理可得，存在一点(a,b)，使得F(b) F(a)F(b) (ba)f(a)g ( ) f ( )g(a),即 f(a)g(b)f (b)g(a)(ba) f (a)g ()f ( )g(a)，所以在(a,b)内存在一点(a,b)，使得f (a) g(a)f(b)g(b)(b a)f (a) g(a)f () g()，故定理得证.例2:设函数f(x)和g(x)在闭区间a,b上连续，在(a,b) 上可导，且在闭区间a,b上,证明：令F(x)丄凶,G(x) ，易知F(x)和G(x)在区间a,b上满足Cauchy中值 g(x)g(x)定理条件，故有,F(b) F(a)F ()即 f(b)g(a)f(a)g(b)G(b) G(a) GH' g(a) g(b)内存在一点(a,b)，使得 g ()f (a)g(a)f(b)g(b)gMJ，所以在(a,b) g ()g(b)g(a)f ( f ()，故定理得证.g( ) g ()例1：设a,b,c为三个实数，证明：方程ex ax2 bx c的根不超过三个. 证明：令 F (x) ax2 bx c ex，那么 F'(x) 2ax b ex，F"(x) 2a ex，F"'(x) ex.不妨设为x1 x2 x3x4,那么有罗尔定理，存在Xi1x22x33x4,使F'( 1)F'( 2)F'( 3)0 ,再用罗尔定理，存在1 1223,使 F"( 1)F"( 2)0再用罗尔定理，存在12,使 F"'( )0,用反证法，设原方程的根超过程3个，那么F(x)至少有4个零点,因为F"'(x)ex,所以F"'( ) e 0,矛盾，所以命题得证例2：设函数f x在a,b上连续，且f x 0。、b1 b证明： 一个 a,b，使 f x dx f x dx f x dx。a2 a显然fx在0,上连续，在0-内可导，22又f 00，fa1电L1n0，故罗尔疋理成立232n 1于是0-，使f'0，2证明：令t dt，显然Fx在a,b上连续。F af t dtabf t dt abb a f0 QF bf tdtf t dtb a f0ab可知Fx在a,b上满足零值定理。故一个a,b，使F0。即 fatdtbft dt 0faxdxbfx dxbbbfaxdxfx dxfax dx 2 f x dx设实数a1, a2 ,Lan满足关系式：a2n 1a12 L1-Fxaxbax例3:t dta2n 1证明：a cosxa2 cos3x Lan cos 2n 10 在 0,2内至少有一个实根。证明：令f xaisin x sinBx3L 乩 sin2n 12n即:a1 cosx a2 cos3x Lan cos 2n 1 x0。故命题得证。例4:设fx 在 a,b上连续。aX1X2L Xnb，c 0 i 1,2L ,n证明：一个a,b，使 fc1 fL (cn f XnG C2 Lcn证明：Q f x在a,b上连续,有最值定理有：m f x M ，m, M分别为f x 在 a,b上最小最大值，于是：Q g0， mfxMc1mc1 f x-.c1Mc20， mfX2Mmc? c2 f x2Mc2Lcn0， mfXnMmcn 5 f 人MCnmG O LCnc1fXc2 f x2LCnf Xnc1 c2 Lcn Mc1f xcj X2LCnf Xn由介值定理，一个 a,b，使fGf x L cnf XnC1 C2 L Cn0)，证明在(a,b)内方程例5:假设f (x)在a,b上连续，在(a, b)内可导(a 2x f(b) f (a) (b a2)f'(x)至少存在一根。证明:令 F (x) f (b) f (a)x2 (b2 a2) f (x)，显然F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导，而 F(a) f (b)a2 b2f (a)F(b).根据Rolle定理，至少存在一点 ，使 2 f (b)f(a) (b2 a2)f'(x).例6：设f (x)在a,b上连续，在(a,b)可导(0 a b)，证明：在a,b内存在一占八、使 bf(b) af(a) (b a)f( ) f'()成立。证明:F(x) xf(x)，贝U F(x)在a,b上连续，在(a,b)可导，由Lagrange定理，存在一点 a,b，使F即 f( ) f'(x) bf(b) af(a)，b a即 bf (b) af (a) (b a) f ( ) f ()例7:设f x在a,b上连续，在(a,b)可导(0 a b)，证明：在a,b内存在一点 使 f(b) f(a)(l nb)f'()成立。a证明：令g(x) In x，对f (x)， g(x)在a,b上运用Cauchy定理，得 f'( ) f(b) f(a)得1 Inb Ina即 f'()f(b)f (a)g()g(b)g(a)即 f (b)f (a)(ln -)f'(). a例&证明方程4axy x Bx C3bx2 2cx a b c在(0, 1)内至少有一个根°(p46,209)例9:设抛物线yx2 Bx C 与x轴有两个交点x=a,x=b(a<b)，函数f在a,b上二阶可导，f(a)=f(b)=O,并且曲线y=f(x) 与在(a,b)内有一个交点，证明：存在(a,b)使得 f ( )2(p46,209)例10证明:x22 X 1方程有且仅有三个实根p46,211)3.2进行估值运算119例1：估计0 3 X1 x6dx的值.解：由推广的积分第一中值定理，得1 x1903厂1311 19xdx 11,其中620 3 10,1因为1,所以1,1203 2120故1203 219x . dx6x21031120于是例2:估计0解：由于dx1 0.5sin x的积分11 0.51 0.5sin x11 0.510.5sin x2xdx10.5sin x此时可得到估计的积分值为2xdx0 1 0.5si nx33.3证明函数的单调性例1 ;设函数f(x)在0,)上可导,f (x)单调增加且f (0)0 ,证明g(x)(0,)上单调增加.x例2 :设函数f(x)在(°，)上连续，F(x)0(x 2t)f(t)dt,试证：在(0, 假设f(x)为非减函数，贝S F(x)为非增函数.xxx证明：F(x) 0 (x 2t)f(t)dt x0f(t)dt 20tf(t)dt对上式求导，得：xxF (x)0 f (t)dt xf(x) 2xf (x)0 f(t)dt xf (x)利用积分中值定理，得:F(x) xf( ) xf(x) xf( )f(x),(0 x)假设f(x)为非减函数，那么f( ) f(x) 0，F (x)0，故F(x)为非增函数。3.4求极限例仁求 lim tan(tanx)tan(Snx)x 0 tanx sinx2)解：对函数tant在区间sinx,tanx(° x 上应用拉格朗日中值定理即可。例2：求limn 例3:求极限lim n(斗-4?)，其中a 0n a a解：根据题意，由Lagrangge定理，有2 11im n rEn a aim n2(ax)'|x (丄 J) nn n 1n2a ln a lim n n(n 1)ln a1 1其中，(丄，丄)n 1 n解：利用广义积分中值定理1L11limn 0dx x1xndx0(1丿,(02)(1 n)1)r r1那么limnnx01x2dxlimn(1J2)(1 n)3.5证明不等式求证1203 219x1031 x6dx120证明:1°3、119x =dx6x19dx1 120 3 1 6其中0,1 ,于是由1311即可获证.例2:证明-3dx12.证明：估计连续函数的积分值bf xdx的一般的方法是求f x在a,b的最大值M和最mb abf x dx Ma因为所以dx0 . 2 x x21、2例3:证明110 20Hx110证明：估计积分b f x g x dx的一般的方法是：求f x在a,b的最大值M和最小值m, a又假设g x 0 ,那么bbbm g x dx f x g x dx M g x dx .aaa、例 4:证明 2e 4 ex xdx 2e .0x2 x ex 2x 1,令f x 0 ,得驻点x11比拟f , f 0 , f 2知f e220,上的最小值,而e2 为 f x在0,上的最大值.由积分中值定理得3.6推广定理的应用2exdxxdxe2 20 ,2e2.f x1,g x J xx900 x1 .因为1 11x0,1.2. 1 x所以1119 . x dx2 01 x9 ddx0 1 x19 .0xdx110 210此题中令12 22例1 ：设f (x)在()上可得，且f(x)证明:使得证明：问题相当于要找0，使x1 x2，因函数F(x)f(x)丄三在1 x2)内可导,lim 0xlimxf (x) limx即limxf(x)又 0 lim 0xlimxf (x) limx，即 lim f(x) 01 x x所以 lim f (x)xlimx由定理4知0，使得F( )0,即题目得证。证明：在区间0,上求函数f x e 的最大值M和最小值m.例2:设f(x)在a,b上连续(ab 0)，在(a,b )上可导，证明存在一点(a, b)，使af (a)bf(b)证：根据定理7 ,令 g(x) x,那么g (x)1 ,那么存在一点(a,b),使得f(a) f(b)a b(b a)f()，即f(a) f(b)a b(b a)f( ) f ()，故存在一点1(a,b)，使得ab a f (a)bf(b)(a,b)，使得 aeb bea (1)e (a证：根据定理7,令f (x)x eg(x) x ,那么使得abe e(b a)ee，即 be aea b1得aeb bea(1 )e(ab)例5:设a,b>0，证明存在一点f (x) ex, g (x)1,那么存在一点 (a,b)，(b a)(1 )e，故存在一点(a,b)，使例6:证明：假设S是柱准面(x a)2 (y b)2 r2上p z q的局部，f (x, y,z)是S上的连续函数，贝Uf(x, y,z)dxdy 0S证明：设3是S在xoy平面的上半局部，S2为S在xoy平面的下半局部，那么S 3 S? 由积分区间的可加性，有：f (x, y, z)dxdy f (x, y, z)dxdy f (x, y, z)dxdy由于函数f (x, y,z)在S : (x1 a)2 (y b)2 P上p z q的局部上连续，所以函数 f (x, y,z)在0上连续，根据广义Riemann积分中推广，在$上至少存在一点(，)， 使f(x,y,z)dxdy f( , , ) A1其中A表示S1在xOy平面上的投影区域的面积，由于 S关于xoy平面对称，所以对上述(,)S，对应点(，)s，又S1与S2的方向相反，故有：f (x, y,z)dxdy f( , ,) A其中A2表示S2在$xoy平面上的投影区域的面积，又由于S关于xoy平面对称，所以有A1=A， f (x,y,z) f (x, y, z)。所以有：f (x, y, z)dxdy = f ( , , ) A f ( , ,) A = 0S证明完毕。