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【精品文献】高中数学必修二 知识点总结高中数学必修2第一章 立体几何初步 'h特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线) S,ch 直棱柱侧面积1 S,ch'正棱锥侧面积21 S,(c，c)h'12正棱台侧面积2S,2,rh，S,2,rr，l 圆柱侧圆柱表 S,rl ，S,rr，l圆锥侧面积圆锥表 22 ，S,r，rl，Rl，RS,(r，R),l圆台侧面积圆台表 柱体、锥体、台体的体积公式 VSh, 柱1VSh,锥3 1'' VSSSSh,，()台32VShrh, 圆柱12 V,rh圆锥311''22,，,，,VSSSShrrRRh()() 圆台33243(4)球体的表面积和体积公式:V= ; S= 4,R,R球球面3第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义:平面是无限延展的 2 三个公理: (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为 A?L A B?L => L ? L A? B? 公理1作用:判断直线是否在平面内. (2)公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 A B ? ? C 符号表示为:A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面， ? 使A?、B?、C?。 公理2作用:确定一个平面的依据。 (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P? =>?=L，且P?L P 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据. L ? 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内，没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a、b、c是三条直线 a?b =>a?c c?b 强调:公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4 注意点: ? a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上; O,? 两条异面直线所成的角?(0， ); 2? 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a?b; ? 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形; ? 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示 a a?=A a? 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行，则线面平行。 符号表示: a b => a? a?b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示: a b a?b = P ? a? b? 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a ? a a?b ?= b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示: ? ?= a a?b ?= b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线L与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面互相垂直，记作L?，直线L叫做平面的垂线，平面叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法:二面角-l-或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 第三章 直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0?,180? (2)直线的斜率 ?定义:倾斜角不是90?的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常k,tan,用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l与x轴平行或重合时, =0?, k = tan0?=0; 当直线l与x轴垂直时, = 90?, k 不存在. ,当时，; 当时，; 当时，不存,，,0,90,90,180k,0k,0,90k在。 y,y21?过两点的直线的斜率公式: ( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1?x2) k,(x,x)12x,x21注意下面四点:(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90?; x,x12(2)k与P、P的顺序无关; 12(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ?点斜式:直线斜率k，且过点 ，y,y,k(x,x)x,y1111注意:当直线的斜率为0?时，k=0，直线的方程是y=y。 1当直线的斜率为90?时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示(但因l上每一点的横坐标都等于x，所以它的方程是x=x。 11?斜截式:，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b y,kx，byyxx,11?两点式:()直线两点， xxyy,，x,y,，x,y12121122yyxx,2121xy?截矩式:其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴(,0)ay(0,)by，,1xxllab的截距分别为。 ab,Ax，By，C,0?一般式:(A，B不全为0) 12注意:?各式的适用范围 ?特殊的方程如: 平行于x轴的直线:(b为常数); 平行于y轴的直线:(a为常数); y,bx,a(6)两直线平行与垂直 当，时， l:y,kx，bl:y,kx，b111222; l/l,k,k,b,b121212l,l,kk,11212注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 相交 l:Ax，By，C,0l:Ax，By，C,022221111，,0AxByC,111交点坐标即方程组的一组解。 ,Ax，By，C,0222,ll方程组无解 ; 方程组有无数解与重合 ,l/l,1212(8)两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点， AxyBxy(,),，()112222则 |()()ABxxyy,，,2121Ax，By，C00l:Ax，By，C,0(9)点到直线距离公式:一点到直线的距离 ，Px,y100d,22A，B(10)两平行直线距离公式 已知两条平行线直线和的一般式方程为:， lllAx，By，C,02111C,C12d,:，则与的距离为 lllAx，By，C,0221222A，B第四章 圆与方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 222，a,b(1)标准方程，圆心，半径为r; ，x,a，y,b,r222点与圆的位置关系: Mxy(,)()()xaybr,，,00222当>，点在圆外 r()()xayb,，,00222当=，点在圆上 r()()xayb,，,00222当<，点在圆内 r()()xayb,，,0022(2)一般方程 x，y，Dx，Ey，F,0221DE22,当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为 D，E,4F,0r,D，E,4F,222,22当时，表示一个点; D，E,4F,022当时，方程不表示任何图形。 D，E,4F,0(2)如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.（直径添线成直角）(3)求圆方程的方法: cos一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F; (一)情感与态度：另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 125.145.20加与减（三）4 P68-74直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况: |a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。222，(1)设直线，圆，圆心Ca,b到l的距离l:Ax，By，C,0，C:x,a，y,b,rd=r <=> 直线L和O相切.Aa，Bb，C为，则有; d,r,l与C相离d,r,l与C相切d,r,l与C相交d,22A，B (2)过圆外一点的切线:?k不存在，验证是否成立?k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】 222(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)+(y-b)=r，圆上一点为(x，y)，则过此点的切线方程002为(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)= r 004、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 222222设圆， ，C:x,a，y,b,R，C:x,a，y,b,r111222两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当时两圆外离，此时有公切线四条; d,R，r分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条; d,R，r当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线; R,r,d,R，r74.94.15有趣的图形3 P36-41当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线; d,R,rd,0当时，两圆内含; 当时，为同心圆。 d,R,rsin注意:已知圆上两点，圆心必在中垂线上;已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点