最新【高中数学解题常用思想方法】二、分类讨论思想方法优秀名师资料.doc

【高中数学解题常用思想方法】二、分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面: ? 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a,0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ? 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q,1和q?1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ? 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a,0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果;最后进行归纳小结，综合得出结论。 ?、再现性题组: 1(集合A,x|x|?4,x?R，B,x|x,3|?a，x?R，若AB，那么a的范围是_。 ,A. 0?a?1 B. a?1 C. a<1 D. 0<a<1 322.若a>0且a?1，p,log(a，a，1)，q,log(a，a，1)，则p、q的大小关系是aa_。 A. p,q B. p<q C. p>q D.当a>1时，p>q;当0<a<1时，p<q cosx|ctgxsinxtgx3.函数y,，的值域是_。 |tgx|sin|x|cos|xctgxnncossin,4.若?(0, )，则的值为_。 limnnn?cossin，2A. 1或,1 B. 0或,1 C. 0或1 D. 0或1或,1 15.函数y,x，的值域是_。 xA. 2,+?) B. (-?,-2?2,+?) C. (-?,+?) D. -2,2 6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_。 42488A. B. C. D. 或 33333999997.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_。 A. 3x,2y,0 B. x，y,5,0 C. 3x,2y,0或x，y,5,0 D.不能确定 1 【简解】1小题:对参数a分a>0、a,0、a<0三种情况讨论，选B; 2小题:对底数a分a>1、0<a<1两种情况讨论，选C; 3小题:分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案4,-2,0; ,4小题:分,、0<<、<<三种情况，选D; 44425小题:分x>0、x<0两种情况，选B; 6小题:分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D; 7小题:分截距等于零、不等于零两种情况，选C。 ?、示范性题组: 例1. 设0<x<1，a>0且a?1，比较|log(1,x)|与|log(1，x)|的大小。 aa【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。 【解】 ? 0<x<1 ? 0<1,x<1 , 1，x>1 ? 当0<a<1时，log(1,x)>0，log(1，x)<0，所以 aa2|log(1,x)|,|log(1，x)|,log(1,x),log(1，x),log(1,x)>0; aaaaa? 当a>1时，log(1,x)<0，log(1，x)>0，所以 aa|log(1,x)|,|log(1，x)|,log(1,x) ,log(1，x),log(1,aaaaa2x)>0; 由?、?可知，|log(1,x)|>|log(1，x)|。 aa【注】本题要求对对数函数y,logx的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是a增函数，当0<a<1时其是减函数。去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性;最后差值的符号判断，也用到函数的单调性。 例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A?B含有4个元素，试求同时满足下面,两个条件的集合C的个数: ?. CA?B且C中含有3个元素; ?. C?A? 。 【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类:?属于A 元素;?不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。 123210【解】 C?C，C?C，C?C,1084 128128128【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一种33解题思路是直接使用“排除法”，即C,C,1084。 2082 例3. 设a是由正数组成的等比数列，S是前n项和。 ?. 证明: nnlglgSS，lg()lg()ScSc,，,nn，2nn，2<lgS; ?.是否存在常数c>0，使得,lgn，122(S,c)成立,并证明结论。(95年全国理) n，1【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形;再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q,1和q?1两种情况。 的公比q，则a>0，q>0 【解】 设an12222?(当q,1时，S,na，从而SS,S,na(n，2)a,(n，1)a,a<0; n1nn，2n，11111naq()1,1 当q?1时，S,，从而 n1,q2nn，22n，12aqq()()11,aq()1,122n1SS,S,aq<0; nn，2n，1122()1,q()1,qlglgSS，nn，222由上可得SS<S，所以lg(SS)<lg(S)，即<lgS。 nn，2n，1nn，2n，1n，12lg()lg()ScSc,，,nn，2?. 要使,lg(S,c)成立，则必有(S,c)(S,c),n，1nn，222(S,c), n，1分两种情况讨论如下: 当q,1时，S,na，则 n122(S,c)(S,c),(S,c),(na,c)(n，2)a,c,(n，1)a,c,nn，2n，11112a<0 1nnaq()1,aq()1,112当q?1时，S,，则(S,c)(S,c),(S,c),nnn，2n，11,q1,qn，2n，1aq()1,aq()1,112nc ,c,c,aqa,c(1,q) 111,q1,qa1n? aq?0 ? a,c(1,q),0即c, 111,qnaqa11而S,c,S,<0 ?对数式无意义 nn1,q1,q3 lg()lg()ScSc,，,nn，2由上综述，不存在常数c>0, 使得,lg(S,c)成立。 n，12【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为:证明SSloglog，05052.nn，>logS ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，05.n，12对数函数为单调递减。 例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。 2例4. 设函数f(x),ax,2x，2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数a的取值范围。 【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大 值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛 物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合 得解。 1 4 x 112 【解】当a>0时，f(x),a(x,)，2, aa 1, 1,1,4,?1, aa? 或 ,11 1 4 x ,fa()1220,?,，f(),2,0,aa,1,?4,或 a,fa()416820,?,，,11? a?1或<a<1或 即 a> 22,fa()1220,?,，当a<0时，解得; ,fa()416820,?,，,当a,0时，f(x),2x，2, f(1),0，f(4),6， ?不合题意 1由上而得，实数a的取值范围是a> 。 2【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a,0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。 ()()xaxa，,461例5. 解不等式>0 (a为常数，a?,) 221a，【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a，1的符号和两根,4a、6a的大小，故对11参数a分四种情况a>0、a,0、,<a<0、a<,分别加以讨论。 224 1【解】 2a，1>0时，a>,; ,4a<6a时，a>0 。 所以分以下四种情况讨论: 2当a>0时，(x，4a)(x,6a)>0，解得:x<,4a或x>6a; 2当a,0时，x>0，解得:x?0; 1当,<a<0时，(x，4a)(x,6a)>0，解得: x<6a或x>,4a; 21当a>,时，(x，4a)(x,6a)<0，解得: 6a<x<,4a 。 21综上所述，当a>0时，x<,4a或x>6a;当a,0时，x?0;当,<a<0时，x<6a或x>21,4a;当a>,时，6a<x<,4a 。 2【注】 本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。 2例6. 设a?0,在复数集C中，解方程:z，2|z|,a 。 (90年全国高考) 22【分析】由已知z，2|z|,a和|z|?R可以得到z?R，即对z分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解。 22【解】 ? |z|?R，由z，2|z|,a得:z?R; ? z为实数或纯虚数 2当z?R时，|z|，2|z|,a,解得:|z|,1， ? z,?(,1，); 1，a1，a2当z为纯虚数时，设z,?y, (y>0)， ? ,y，2y,a 解得:y,1? (01,a?a?1) 由上可得，z,?(,1，)或?(1?), 1，a1,a【注】本题用标准解法(设z,x，y,再代入原式得到一个方程组，再解方程组)过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。 2222【另解】 设z,x，y,，代入得 x,y，2，2xy,a; xy，2222,xyxya,，,2,? ,20xy,2当y,0时，x，2|x|,a，解得x,?(,1，)，所以z,?(,1，); 1，a1，a2当x,0时，,y，2|y|,a，解得y,?(1?)，所以?(1?),。 1,a1,a由上可得，z,?(,1，)或?(1?), 1，a1,a5 【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住2xy,0而分x,0和y,0两种情况进行讨论求解。实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想。 2例7. 在xoy平面上给定曲线y,2x，设点A(a,0)，a?R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 (本题难度0.40) 【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x?0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。 2【解】 设M(x,y)为曲线y,2x上任意一点，则 2222222|MA|,(x,a)，y,(x,a)，2x,x,2(a,1)x，a,x,(a,1)，(2a,1) 2由于y,2x限定x?0，所以分以下情况讨论: 2,1?0时，x,a,1取最小值，即|MA,2a,1; 当amin22当a,1<0时，x,0取最小值，即|MA,a; min()a?时1,21a,综上所述，有f(a), 。 ,|a()a,1时,【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x?0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d,f(a)的函数表达式。 ?、巩固性题组: 21. 若log<1，则a的取值范围是_。 a32222A. (0, ) B. (,1) C. (0, )?(1,+?) D. (,+?) 3333abcabc2. 非零实数a、b、c，则，的值组成的集合是_。 |a|b|c|abcA. -4,4 B. 0,4 C. -4,0 D. -4,0,4 3. f(x),(a,x)|3a,x|，a是正常数，下列结论正确的是_。 A.当x,2a时有最小值0 B.当x,3a时有最大值0 C.无最大值，且无最小值 D.有最小值但无最大值 （2）顶点式：4. 设f(x,y),0是椭圆方程，f(x,y),0是直线方程，则方程f(x,y)，f(x,y)1212,0 (?R)表示的曲线是_。 3.余弦：A.只能是椭圆 B.椭圆或直线 C.椭圆或一点 D.还有上述外的其它情况 推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；25. 函数f(x),ax,2ax，2，b (a?0)在闭区间2,3上有最大值5，最小值2，则a、b的值为_。 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角A. a,1,b,0 B. a,1，b,0或a,1,b,3 一、指导思想：C. a,1，b,3 D. 以上答案均不正确 6 2x，26.方程(x,x,1),1的整数解的个数是_。 (1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 7. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_。 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 28.z?C，方程z,3|z|，2,0的解的个数是_。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9.复数z,a，a, (a?0)的辐角主值是_。 210.解关于x的不等式: 2log(2x,1)>log(x,a) (a>0且a?1) 2aa等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。Sn11.设首项为1，公比为q (q>0)的等比数列的前n项和为S，又设T,，求T 。 milnnnn?Sn，12、加强基础知识的教学，使学生切实掌握好这些基础知识。特别是加强计算教学。计算是本册教材的重点，一方面引导学生探索并理解基本的计算方法，另一方面也通过相应的练习，帮助学生形成必要的计算技能，同时注意教材之间的衔接，对内容进行有机的整合，提高解决实际问题的能力。2312. 若复数z、z、z在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且|z|,2，求z 。 在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有13. 有卡片9张，将0、1、2、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。 214. 函数f(x),(|m|,1)x,2(m，1)x,1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。 2、100以内的进位加法和退位减法。7