上海市金山中学2018届高三数学上学期期中试题2018061102121.doc
金山中学2017学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1.已知集合，集合，则 . 2. .3. 已知函数，则函数的最小正周期是 .4.已知，若与平行，则 . 5. 过点的直线的方向向量，则的方程为 . 6. 已知，则 .7. 若直线与直线之间的距离是，则 .8.设数列满足对任意的，满足，且，则数列的前项和为_.9. 如果定义在R上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”给出下列函数：；，其中“函数”的序号是 10. 设为的反函数，则的最大值为_.11.对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是_12. 已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是_二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.关于、的二元一次方程组的系数行列式为 （ ）A. B. C. D. 14.设都是不等于1的正数，则“”是“”的什么条件 ( )A .充分必要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.非充分非必要15. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 （ ）ABC D16.已知函数，则关于的不等式的解集为 （ ）A . B. C. D.三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知在等比数列中，且是和的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和解： 18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在中，内角、所对的边分别为、，已知，（1）求的面积；（2）求的值解： 19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇， 决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为万元， 每生产台,需另投入成本(万元)，当年产量不足台时, (万元)； 当年产量不小于台时 (万元)， 若每台设备售价为万元，通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润 (万元)关于年产量（台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时 ,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知函数定义域是，且，当时，（1）证明：为奇函数；（2）求在上的表达式；（3）是否存在正整数，使得时，有解，若存在求出的值，若不存在说明理由解： 21. （本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”（1）前项和为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；通项公式为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；（2）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值；（3）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由金山中学2017学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷答案（考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1.已知集合，集合，则 .2. .13.已知函数，则函数的最小正周期是 . 4.已知，若与平行，则 .5. 过点的直线的方向向量，则的方程为 .6. 已知，则 .7. 若直线与直线之间的距离是，则 .08.设数列满足对任意的，满足，且，则数列的前项和为_.9. 如果定义在R上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”给出下列函数：；，其中“函数”的序号是 10. 设为的反函数，则的最大值为_.11.对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是_12. 已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是_ 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 关于、的二元一次方程组的系数行列式为 （ C ）A. B. C. D. 14. 设都是不等于1的正数，则“”是“”的什么条件 ( B )A .充分必要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.非充分非必要15. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 （ B ）ABC D16.已知函数，则关于的不等式的解集为 （ A ）A . B. C. D.三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知在等比数列中，且是和的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和解：（1）设公比为，则，是和的等差中项，解得或（舍），（2），则18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在中，内角、所对的边分别为、，已知，（1）求的面积；（2）求的值解：（1）因为，所以由正弦定理得， 又，故， 所以，因为，所以 所以（2）因为，所以，因为，所以为锐角，所以（或由得到，）所以， 19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇, 决定开发生产一款大型电子设备, 生产这种设备的年固定成本为万元, 每生产台,需另投入成本(万元), 当年产量不足台时, (万元); 当年产量不小于台时 (万元), 若每台设备售价为万元, 通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润 (万元)关于年产量（台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时 ,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？解:（1）当时,;当时,.（2）当时, 此时, 当时, 取得最大值, 最大值为1300.(万元)；当时, , 当且仅当,即时, 最大值为1500(万元), 所以, 当产量为90台时, 该企业在这一电子设备中所获利润最大,最大值为1500万元.20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知函数定义域是，且，当时，（1）证明：为奇函数；（2）求在上的表达式；（3）是否存在正整数，使得时，有解，若存在求出的值，若不存在说明理由解：(1),所以的周期为2，所以,所以为奇函数（2）因为，所以当时，（3）任取 所以不存在这样的，使得时，有解21. （本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”（1）前项和为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；通项公式为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；（2）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值；（3）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由解:（1），作差法可得，当时，；当时，存在，使得数列是“回归数列”，前项和，根据题意一定是偶数，存在，使得数列是“回归数列”（2），根据题意，存在正整数，使得成立即，即（3）设等差数列总存在两个回归数列，使得9分证明如下：数列前项和，时，；时，；时，为正整数，当时，存在正整数，使得，是“回归数列”数列前项和存在正整数，使得，是“回归数列”，所以结论成立 - 11 -
