实验五线性方程组地迭代法实验.docx
实用标准文档¥柬霜工大母计算方法实验报告学 院： 信息学院专 业： 计算机科学与技术指导教师：郭卫斌班级学号：10101438 计102姓 名： 闻翰计算机科学与工程系实验五线性方程组的迭代法实验实验目的(1)深入理解线性方程组的迭代法的设计思想，学会利用系数矩阵的性质以保证迭 代过程的收敛性，以及解决某些实际的线性方程组求解问题。(2)熟悉Matlab编程环境，利用Matlab解决具体的方程求根问题。实验要求建立Jacobi迭代公式、Gauss-Seidel迭代公式和超松弛迭代公式，用 Matlab 软件实现线性方程组求解的 Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和超松弛迭 代法，并用实例在计算机上计算。实验内容1 .实验题目迭代求解下列线性方程组，取(1 )分别利用Jacobi迭代和 Gauss-Seidelx 0,0,0,0,0,0 T ,要求精度(2)分别取1、度为 10 54101001.05、1.114101001400110 5100410、1.25010141001014X1X2X3X4X5X6050626用超松弛法求解上面的方程组，要求精2 .设计思想1 .Jacobi 迭代：Jacobi迭代的设计思想是将所给线性方程组逐步对角化，将一般形式的线性方程组 的求解归结为对角方程组求解过程的重复。2 .Gauss-Seidel 迭代：Gauss-Seidel迭代的设计思想是将一般形式的线性方程组的求解过程归结为下三角 方程组求解过程的重复。3 .超松弛迭代：基于Gauss-Seidel迭代，对i=1 , 2,反复执行计算迭代公式，即为超松弛迭代。4 .对应程序1.Jacobi 迭代:function x,k=Jacobimethod(A,b,x0,N,emg)%靠线性方程组白左端矩阵，b是右端向量，x0是迭代初始值% N表示迭代次数上限，emg表示控制精度，k表示迭代次数，x是解 n=length(A);x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);x1=x0;k=0;r=max(abs(b-A*x1);while r>emgfor i=1:nsum=0;for j=1:nif i=jsum=sum+A(i,j)*x1(j);endendx2(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endr=max(abs(x2-x1);x1=x2;k=k+1;if k>Ndisp('迭代失败，返回);return;endendx=x1;2 .Gauss-Seidel 迭代：function x,k=Gaussmethod(A,b,x0,N,emg)%靠线性方程组白左端矩阵，b是右端向量，x0是迭代初始值% N表示迭代次数上限，emg表示控制精度，k表示迭代次数，x是解 n=length(A);x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);x1=x0;r=max(abs(b-A*x1);k=0;while r>emgfor i=1:nsum=0;for j=1:nif j>isum=sum+A(i,j)*x1(j);elseif j<isum=sum+A(i,j)*x2(j);endendx2(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endr=max(abs(x2-x1);x1=x2;k=k+1;if k>Ndisp('迭代失败，返回);return;endendx=x1;3 .超松弛(SOR)®代：function x,k=SORmethod(A,b,x0,N,emg,w)%幅线性方程组白左端矩阵，b是右端向量，x0是迭代初始值% N表示迭代次数上限，emgg示控制精度，k表示迭代次数，x是解 %WS小松弛因子n=length(A);x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);x1=x0;r=max(abs(b-A*x1);k=0;while r>emgfor i=1:nsum=0;for j=1:nif j>=isum=sum+A(i,j)*x1(j);elseif j<isum=sum+A(i,j)*x2(j);endendx2(i)=x1(i)+w*(b(i)-sum)/A(i,i);endr=max(abs(x2-x1);x1=x2;k=k+1;if k>Ndisp('迭代失败，返回);return;endendx=x1;4 .实验结果1.Jacobi 迭代:>> k= -4,-1,0, -I, 03 0,-lj -1, D,0； 0j0j 0,-1 ;-lj 0, Q,0；C,-1,0,-4,-1;0, -1,4；»5, >瓦 2, 6'» 30= 0f0f 0, Oj 0,0 ;>> Xik=Jacob:nethod(A. kJj ICO, 10 -6)-0.98235132924459 1.76470215976588 0.99999720S05499 1.764TD4S1 酊 054g L 94117324672698 2.235289032483T1182.Gauss-Seidel 迭代:»o, Q,-1 i-1,0,-1,0 0,-1, 0,-L 4,-1 ；o, 0,-1,0,-1,）；» * Df 7 4;» z0,Df010J0>D» knWaussEhod凡瓦却* 100. 10-5）x =-OL8B235208G4G1B3L 764巾玉00a32。0l 9B9»996S43E17L764T0G669173D51. 94U7fC7278844Z 235293207090 k =11»3.超松弛（SOR）迭代：w=1:>> Jt= -4, - 0, -lf0f 011,4, -lj Oj-ljO ；0j -1,4., 0j 0, 1 ;-lj 0,0,4, -1,0 ；0j -1,0, -1, % -1 ；0,0j _1>0, -L 40;1» gm,5,。, 1 w ；» x0-0? 4 0,0, 0,0?;» 值=5OR|忙thud（A,瓦笈口，1。口"0,-5, 1）-0. 83236208845163 1.75470520993389 li. 99 99 39 6554951T 1.76/170566517505 1.94117007278844 2.235253932070913»lw=1.05:3$ at, k =SORujethod瓦工口 10Q, IT 53 K OE) x 二-D.8a23519l540M71.7G47067684D0600.999E 股羽优 1995L70470561366629l.M11703MmOl2.23529403165062k =9»w=1.1:>> xjk =SORmethodCAj b,xO, 100, 10"-5n 1. 1)* =F 3823521SO8S8S81. 764706005804210. 9999999999击跖1. 764700005793141.941176559041772.23E29416029912k -11w=1.25:文案大全kj k =SORnefth.Ddbj k0j 1 003 ID"Ej 1.25)-0,S8235502528282 .70470496355632 Q.ggg 99 g90 制评案 i / 64 nag6050g 2。1.94117534980297 2, 2352936954829718>>w=1.8:» E,k)=SOR*ethod(A, b, sO, 100, 10 -53 1.8)迭代失败！返回四.实验体会在同等精度下，Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛速度快。一般来说， Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛要快，但有时反而比Jacobi迭代法要慢，而 且Jacobi迭代法更易于优化。因此，两种方法各有优缺点，使用时要根据所需适当选 取。当松弛因子为1时，超松弛迭代方法等同于 Gauss-Seidel迭代法，这和理论推导 完全相同。另外，超松弛迭代法的收敛速度完全取决于松弛因子的选取，一个适当的因 子能大大提高收敛速度。
