北京市师大附中2017_2018学年高二数学下学期期中试题文201806120120.wps
北京师大附中 2017-20182017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷(文 科) 说明:本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、选择题(每小题 5 5 分,共 4040分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项, 请将答案填在答题纸上) 1设集合 A x |1 x 3,集合 ,则集合 等于 ( ) B x | x 4 A B 2 Ax | 2 x 3 Bx | x 1 Cx |1 x 2 Dx | x 2 2已知函数 y f (x) 的图象关于 x 1对称,且在 (1,)上单调递增,设 ( 1) , a f 2 b f (2) c f (3) a,b,c , ,则 的大小关系为 ( ) A c b a Bb a c Cb c a D a b c 3下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A y x2 sin x B y x2 cos x C 2 1 D y x y x sin 2x 2 x x y 2 2 2 2 1( 0, 0) a b 2 3 4设双曲线 的虚轴长为 2,焦距为 ,则双曲线的渐近线方程 a b 为 ( ) A y 2x B y 2x C D y 2 x 1 y x 2 2 5设全集 U 是实数集 R, , ,则下图中阴影部分所表 M x x | 2 1 | 4 N x 2 x 1 示的集合是 ( ) - 1 - Ax | 2 x 1 Bx | 2 x 2 Cx |1 x 2 Dx | x 2 a b 2 2 6“ ab0”“是 ”的( ) ab 2 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7当 x 1时,关于函数 ( ) 1 ,下列叙述正确的是( ) f x x x 1 A函数 f(x)有最小值 2 B函数 f(x)有最大值 2 C函数 f(x)有最小值 3 D函数 f(x)有最大值 3 8定义在区间a,b上的连续函数 y=f(x),如果 a,b,使得 f (b) f (a) f '()(b a) ,则称 为区间a,b“上的 中值点”,下列函数: f (x) 3x 2 ; f (x) x2 x 1; f (x) ln(x 1) ; ( ) ( 1)3 f x x 2 中,在区间O,1“”上 中值点 多于一个的函数序号为( ) A B C D 二、填空题(每小题 5 5 分,共 3030分,请将答案填在答题纸上) 9已知复数 z a(1 i) 2 为纯虚数,则实数 a=_ 10若 f (x) x2 2x 4ln x ,则 f (x) 0 的解集为_ x x 3 2, 1, 11已知函数 ,若 ,则实数 a=_ f (x) f ( f (0) 4a x ax, x 1, 2 12已知 a 0,b 0,a b 2 ,则 y 1 4 的最小值是_ a b 13已知函数 f (x) 的导函数 f '(x) 的图像如图所示,给出以下结论: - 2 - 函数 f (x) 在(-2,-1)和(1,2)是单调递增函数; 函数 f (x) 在 x=0 处取得极大值 f(0); 函数 f (x) 在 x=-1 处取得极大值,在 x=1处取得极小值; 函数 f(x)在(-2,0)上是单调递增函数,在(0,2)上是单调递减函数 则正确命题的序号是_(填上所有正确命题的序号) 14如图, 矩形 ABCD与矩形 ADEF 所在的平面互相垂直,将DEF 沿 FD翻折,翻折后的点 E(记 为点 P)恰好落在 BC 上,设 AB=1,FA =x(x1),AD=y则当 x= 2 时,y 有最小值_ 三、解答题(共 8080分,请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15(满分 13分)己知函数 f x x3 3x 1 (I)求函数 f(x)的极值: (II)求函数 f(x)在0,2上的最大值; 16(满分 13 分)已知集合 A 是函数 y lg(20 8x x2 ) 的定义域,集合 B 是不等式 x2 2x 1 a2 0(a 0) p : x A,q : x B 的解集, (I)若 A B ,求 a 的取值范围; (II)若 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围 17(满分 13 分)设 F 为抛物线C : y2 4x 的焦点,A、B 是抛物线 C 上的两个动点,O 为 坐标原点 - 3 - (I)若直线 AB经过焦点 F,且斜率为 2,求线段 AB 的长度|AB|; (II)当 OAOB 时,求证:直线 AB 经过定点 M(4,0) 18(满分 14 分)已知四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD 为正方形,PA平面 ABCD,PA=AB=2, E,F 分别是 PB,PD 的中点 (I)求证:PB平面 FAC; (II)求三棱锥 P-EAD 的体积; (III)求证:平面 EAD平面 FAC 19(满分 13分)已知椭圆C:x2 2y2 9 ,点 P(2,0) (I)求椭圆 C 的短轴长与离心率; (II)过(1,0)的直线l 与椭圆 C 相交于 M、N 两点,设 MN 的中点为 T,判断|TP|与|TM|的 大小,并证明你的结论 20(满分 14分)已知函数 f x ln x x (I)求函数在点(1,0)处的切线方程; (II)设实数 k 使得 f(x)0,且 , A(x , y ), B(x , y ) 1 2 3, 1 2 1 x x x x 1 1 2 2 所以 2 AB 5 x x 5 (x x ) 4x x 5 1 2 1 2 1 2 - 5 - t s 2 2 (II)因为 A,B 是抛物线 C 上的两点,所以设 , A( ,t), B( ,s) 4 4 2 (st) 由 OAOB,得 ,所以 OAOB st 0 st 16 16 2 2 2 2 ( )( 16) t s t s t s ts MA ( 4,t),MB ( 4,s), ( 4)s ( 4)t 0 4 4 4 4 16 由 ,知 MA A MB ,即直线 AB 经过定点 M(4,0) 18解:(I)连接 BD,与 AC交于点 O,连接 OF, 在PBD 中,O,F 分别是 BD,PD 中点, 所以 OFPB, 又因为 OF 平面 FAC,-1 分 PB 平面 FAC, 所以 PB/平面 FAC, 说明:本题下面过程中的标灰部分不写不扣分 (II)法 1:因为 PA平面 ABCD,AB,AD 平面 ABCD, 所以 PAAB,PAAD, 又因为 ABAD, PA AB A,PA,AB 平面 PAB, 所以 AD平面 PAB, 在直角PAB 中,PA=AB=2,E 为 PB 中点, 所以 S 1, PAE 1 2 所以三棱锥 P-EAD 的体积为 V S AD P EAD PAE 3 3 法 2:因为 PA平面 ABCD,所以 PA 为棱锥 P-ABD的高 因为 PA=AB=2,底面 ABCD 是正方形, - 6 - 1 1 1 4 所以 , V S PA 2 2 2 P ABD ABD 3 3 2 3 因为 E 为 PB 中点,所以 , S S PAE ABE 1 2 所以 V V P EAD P ABD 2 3 (III)证明: 因为 AD平面 PAB,PB 平面 PAB, 所以 ADPB, 在等腰直角PAB 中,AEPB, 又 AE AD A,AE,AD 平面 EAD, 所以 PB平面 EAD, 又 OFPB, 所以 OF平面 EAD, 又 OF 平面 FAC, 所以平面 EAD平面 FAC C x y 2 9, 2 9 , 2 9 , : 1 a b c 2 2 19解:(I) ,故 9 9 2 2 2 有 a 3, 3 2 b c 2 椭圆 C 的短轴长为 2b 3 2 ,离心率为 2 e c a 2 (II)方法 1:结论是: TP TM 当直线l 斜率不存在时,l : x 1, TP 0 TM 2 当直线l 斜率存在时,设直线l : y k(x 1),M (x , y ), N(x , y ) 1 1 2 2 2 2 2 9 x y y k(x 1) (2k 1)x 4k x 2k 9 0 2 2 2 2 ,整理得: (4k ) 4(2k 1)(2k 9) 64k 36 0 2 2 2 2 2 故 4k 2k 9 2 2 x x , x x 1 2 2 1 2 2 2k 1 2k 1 - 7 - PM PN (x 2)(x 2) y y 1 2 1 2 (x 2)(x 2) k (x 1)(x 1) 2 1 2 1 2 (k 1)x x (k 2)(x x ) k 4 2 2 2 1 2 1 2 2k 9 4k 2 2 (k 1) (k 2) k 4 2 2 2 2k 1 2k 1 2 2 6k 5 2 2k 1 2 0 故 MPN 90 ,即点 P 在以 MN 为直径的圆内,故 TP TM (II)方法 2:结论是 TP TM 当直线l 斜率不存在时,l : x 1, TP 0 TM 2 当直线l 斜率存在时,设直线l : y k(x 1),M (x , y ), N(x , y ),T(x , y ) 1 1 2 2 T T 2 2 2 9 x y y k(x 1) ,整理得: (2k2 1)x2 4k2 x 2k 2 9 0 (4k ) 4(2k 1)(2k 9) 64k 36 0 2 2 2 2 2 故 4k 2k 9 2 2 x x , x x 1 2 2 1 2 2 2k 1 2k 1 1 2k k x (x x ) , y k(x 1) 2 T T T 1 2 2 2 2 2k 1 2k 1 2k k (2k 2) k 4k 9k 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 TP (x 2) y ( 2) ( ) T T 2 2 2 2 2 2 2k 1 2k 1 (2k 1) (2k 1) 1 1 1 TM ( MN ) (k 1)(x x ) (k 1)(x x ) 4x x 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 1 4k 2k 9 (k 1)(16k 9) 16k 25k 9 2 2 2 2 4 2 2 2 (k 1)( ) 4 4 2k 1 2k 1 (2k 1) (2k 1) 2 2 2 2 2 2 此时, 16k 25k 9 4k 9k 4 12k 16k 5 4 2 4 2 4 2 TM TP 2 2 (2k 1) (2k 1) (2k 1) 2 2 2 2 2 2 0 故 TM TP 20解:(I) y x 1; - 8 - (II)因为 x 0 ,所以 ln x kx 恒成立等价于 ln x 恒成立, k x x 2 ln x ln x ( ) ln e 1 令 ,再求函数 的最大值 ,得 k 的范围是 g(x) g(x) g e x x e 2e 2 2 k 1 ; 2e (III)由 h(x) f (x) kx 0 ,得 ln x kx 0 ,即 , , ln x kx2 0 k ln x x x 2 ln x ln x ( ) ln 1 e g(1) e2 研 究函数 , 的最大值 , , x x e 2e e 2 2 1 g(e) e 2 1 所以,当 或者 时,有 0 个零点; k k e2 2e 1 1 k e2 k 2e e 当 或者 时,有 1 个零点; 2 1 1 当 时,有 2 个零点; k e 2e 2 - 9 -