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百度文库高一数学必修一各章知识点总结高一数学必修1各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y (3) 元素的无序性: 如:a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示: 如:我校的篮球队员太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 , 注意:常用数集及其记法: 非负整数集,即自然数集, 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R , 列举法:a,b,c 12, 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来写在大括号内表示集合的方法。x,R| x-3>2 ,x| x-3>2 3, 语言描述法:例:不是直角三角形的三角形 4, Venn图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2(3) 空集 不含任何元素的集合 例:x|x=,5, 二、集合间的基本关系 1.包含?关系子集 注意:有两种可能,1,A是B的一部分,2,A与B是同A,B一集合。 ,反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB,或BA 2(相等?关系:A=B (5?5且5?5则5=5) 2实例:设 A=x|x-1=0 B=-1,1 元素相同则两集合相等? 第 1 页 共 11 页 即:? 任何一个集合是它本身的子集。A,A ?真子集:如果A,B,且A, B那就说集合A是集合B的真子集记作AB(或BA) ?如果 A,B, B,C ,那么 A,C ? 如果A,B 同时 B,A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集记为 规定: 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集。 nn-1, 有n个元素的集合含有2个子集2个真子集 三、集合的运算 运算交 集 并 集 补 集 类型 定 设S是一个集合A是由所有属于A且属由所有属于集合A或义 S的一个子集由S中于B的元素所组成属于集合B的元素所所有不属于A的元素组的集合,叫做A,B的组成的集合叫做A,B成的集合叫做S中子交集(记作A,读BB的并集(记作:A:集A的补集,或余集, 作A交B,即,读作A并B,即即 记作CASAB=,x|x,A且AB =x|x,A或:S CA= x|x,S,且x,ASx,B,( x,B)( A 韦 S AAB恩 BA 图 图2图1示 AA=A A=A A:性 A) (CB) (C:uuA= A=A : = C (AB) :uAB=BA AB=BA : (CA) (CB) :uuABA AB, :,:, = C(AB) :u ABB ABB :,:,质 A (CA)=U :uA (CA)= ( :u例题: 1.下列四组对象能构成集合的是 , , B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 A某班所有高个子的学生 2.集合abc 的真子集共有 个 2,3.若集合M=y|y=x-2x+1,xR,N=x|x?0则M与N的关系是 . 4.设集合A=B=若AB则的取值范围是 ,axxa,xx12,第 2 页 共 11 页 5.50名学生做的物理、化学两种实验已知物理实验做得正确得有40人化学实验做得正确得有31人 两种实验都做错得有4人则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点,含边界上的点,组成的集合M= . 2222+2x-8=0, B=x| x-5x+6=0, C=x| x-mx+m-19=0, 若7.已知集合A=x| xB?C?A?C=求m的值 二、函数的有关概念 1(函数的概念:设A、B是非空的数集如果按照某个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作: y=f(x)x?A(其中x叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数 值函数值的集合f(x)| x?A 叫做函数的值域( 注意: 1(定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零, (2)偶次方根的被开方数不小于零, (3)对数式的真数必须大于零, (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. , 相同函数的判断方法:?表达式相同,与表示自变量和函数值的字母无关,?定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2(值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中以函数 y=f(x) , (x?A)中的x为横坐标函数值y为纵坐标的点P(xy)的集合C叫做函数 y=f(x),(x ?A)的图象(C上每一点的坐标(xy)均满足函数关系y=f(x)反过来以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(xy)均在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 第 3 页 共 11 页 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4(区间的概念 ,1,区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 ,2,无穷区间 ,3,区间的数轴表示( 5(映射 一般地设A、B是两个非空的集合如果按某一个确定的对应法则f使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应那么就称对应f:AB为从集合A到,集合B的一个映射。记作f,对应关系,:A,原象,B,象,? ,对于映射f:A?B来说则应满足: (1)集合A中的每一个元素在集合B中都有象并且象是唯一的, (2)集合A中不同的元素在集合B中对应的象可以是同一个, (3)不要求集合中的每一个元素在集合中都有原象。 BA6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况( (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集值域是各段值域的并集( 补充:复合函数 如果y=f(u)(u?M),u=g(x)(x?A),则 y=fg(x)=F(x)(x?A) 称为f、g的复合函数。 二(函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) ,1,增函数 设函数y=f(x)的定义域为I如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量xx当x<x时都有f(x)<f(x)那121212么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值xx当x<x时1212 都有f(x),f(x)那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D12称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质, ,2, 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取xx?D且x<x, 1212?2 作差f(x),f(x), 12?第 4 页 共 11 页 3 变形,通常是因式分解和配方, ?4 定号,即判断差f(x),f(x)的正负, 12?5 下结论,指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性,( ?(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)y=f(u)的单调性密切相关其规律:同增异减? ,不能把单调注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 性相同的区间和在一起写成其并集. 8(函数的奇偶性,整体性质, ,1,偶函数 一般地对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(,x)=f(x)那么f(x)就叫做偶函数( ,2,(奇函数 ,x)=一般地对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(f(x)那么f(x)就叫做奇函数( ,3,具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称( 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1首先确定函数的定义域并判断其是否关于原点对称, ?2确定f(,x)与f(x)的关系, ?3作出相应结论:若f(,x) = f(x) 或 f(,x),f(x) = 0?则f(x)是偶函数,若f(,x) =,f(x) 或 f(,x)，f(x) = 0则f(x)是奇函数( 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(首先看函数的定义域是否关于原点对称若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)?f(x)=0或f(x),f(-x)=?1来判定; (3)利用定理或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 ,1,.函数的解析式是函数的一种表示方法要求两个变量之间的函数关系时一是要求出它们之间的对应法则二是要求出函数的定义域. ,2,求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10(函数最大,小,值,定义见课本p36页, 1 利用二次函数的性质,配方法,求函数的最大,小,值 ?2 利用图象求函数的最大,小,值 ?第 5 页 共 11 页 3 利用函数单调性的判断函数的最大,小,值: ?如果函数y=f(x)在区间ab上单调递增在区间bc上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b), 如果函数y=f(x)在区间ab上单调递减在区间bc上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b), 例题: 1.求下列函数的定义域: 2x,1xx,2152? ? y,1()y,x，1x，,3322.设函数的定义域为则函数的定义域为_ _ fx()01，fx()3.若函数的定义域为则函数的定义域是 fx(1)，fx(21),23，xx，,2(1),4.函数 若则= x2fx()3,fxxx()(12),2(2)xx,5.求下列函数的值域: 22? ? x,1,2yxx,，,23yxx,，,23()xR,2(3) (4) yxx,12yxx,，4526.已知函数求函数的解析式 fx()fx(21)，fxxx(1)4,7.已知函数满足则= 。 fx()fx()2()()34fxfxx，,，38.设是R上的奇函数且当时,则当时fx()= x,(,0)fx()fxxx()(1),，x,，,0,)在R上的解析式为 fx()9.求下列函数的单调区间: 222 ? ? ? yxx,61yxx,，23yxx,，23310.判断函数的单调性并证明你的结论( y,x，121，x111.设函数判断它的奇偶性并且求证:( f(x),f(),f(x)21,xx第二章 基本初等函数 一、指数函数 ,一,指数与指数幂的运算 n1(根式的概念:一般地如果那么叫做的次方根xanx,a*其中>1且?( nnNn, 负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0记作。 0,0第 6 页 共 11 页 a(a,0),nnnn当是奇数时当是偶数时 a,|a|,nna,a,a(a,0),2(分数指数幂 正数的分数指数幂的意义规定: mnm*na,a(a,0,m,n,N,n,1)m,11*n a,(a,0,m,n,N,n,1)mnmana, 0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂没有意义 3(实数指数幂的运算性质 rrr，saa,a ,1, , (a,0,r,s,R)rsrs (a),a,2, ,(a,0,r,s,R)rrs(ab),aa,3, ( (a,0,r,s,R),二,指数函数及其性质 x1、指数函数的概念:一般地函数叫做指y,a(a,0,且a,1)数函数其中x是自变量函数的定义域为R( 注意:指数函数的底数的取值范围底数不能是负数、零和1( 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 66554433221111-4-2246-4-224600-1-1 定义域 R 定义域 R 值域y,0 值域y,0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定函数图象都过定点,01, 点,01, 注意:利用函数的单调性结合图象还可以看出: x,1,在ab上值域是f(a),f(b)或f(x),a(a,0且a,1)f(b),f(a), x,R,2,若则f(x),1,取遍所有正数当且仅当, f(x)x,0x,3,对于指数函数总有f(1),a, f(x),a(a,0且a,1)二、对数函数 第 7 页 共 11 页 ,一,对数 x(对数的概念:一般地如果那么数叫1(a,0,a,1)xa,N做以为底的对数记作:, 底数 真x,logNaaNNa(数 对数式, logNa说明:1 注意底数的限制且, a,0a,1?x2 , a,N,logN,x?alogN 3 注意对数的书写格式( a?两个重要对数: 1 常用对数:以10为底的对数, lgN?2 自然对数:以无理数为底的对数的对数( e,2.71828？lnN?, 指数式与对数式的互化 幂值 真数 b, N, b logN,aa底数 指数 对数 ,二,对数的运算性质 如果且那么: a,0a,1M,0N,01? ，, log(MN),logMlogNaaaM2? , logMlogNlog,aaaNn3? ( logM(n,R)logM,naa注意:换底公式 logbclogb, ,且,且,( a,0a,1c,0c,1b,0alogac利用换底公式推导下面的结论 1nn,1,2,( logb,logb,logbmaaalogamb,二,对数函数 1、对数函数的概念:函数a,1)y,logx(a,0且叫做对数 a函数其中是自变量函数的定义域是,0+?,( x注意:1 对数函数的定义与指数函数类似都是形式定义注?x意辨别。如: 都不是对数函数而只能y,2logxlog2y,55第 8 页 共 11 页 称其为对数型函数( 2 对数函数对底数的限制:且( (a,0a,1)?2、对数函数的性质: a>1 0<a<1 332.52.5221.51.511110.50.5-112345678-1123456780101-0.5-0.5-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5 定义域x,0 定义域x,0 值域为R 值域为R 在R上递增 在R上递减 函数图象都过函数图象都过定点定点,10, ,10, ,三,幂函数 ,1、幂函数定义:一般地形如的函数称为幂函数 y,x(a,R)其中为常数( ,2、幂函数性质归纳( ,1,所有的幂函数在,0+?,都有定义并且图象都过点,11, ,2,时幂函数的图象通过原点并且在区间上是0,，,),0增函数(特别地当时幂函数的图象下凸,当时,10,1幂函数的图象上凸, ,3,时幂函数的图象在区间上是减函数(在第一(0,，,),0象限内当从右边趋向原点时图象在轴右方无限地逼近轴yyx，,正半轴当趋于时图象在轴上方无限地逼近轴正半xxx轴( 例题: x1. 已知a>0a0函数y=a与y=log(-x)的图象只能是 ( ) a1log27，2log24，log355log22332.计算: ? ;?= ,= ; 225,log6427第 9 页 共 11 页 1417,03,0.75 = ?3320.064,(,)，(,2)，16，0.01823.函数y=log(2x-3x+1)的递减区间为 124.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍则a= a,2af(x),logx(0,a,1)a1，x5.已知,1,求的定义域,2,求使的的取值范围 xfx()fx()0,fxaa()log(01),且a1,x第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数把使y,f(x)(x,D)f(x),0成立的实数叫做函数的零点。 y,f(x)(x,D)x2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实 y,f(x)f(x),0数根亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 y,f(x)x即:方程有实数根函数的图象与轴有交f(x),0y,f(x),x周 次日 期教 学 内 容点函数有零点( y,f(x),增减性：若a>0，当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大。3、函数零点的求法: tanA是一个完整的符号，它表示A的正切，记号里习惯省去角的符号“”；1 ,代数法,求方程的实数根, f(x),0?2 ,几何法,对于不能用求根公式的方程可以将它与函数?3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。的图象联系起来并利用函数的性质找出零点( y,f(x)4、二次函数的零点: (二)知识与技能：2二次函数( y,ax，bx，c(a,0)2,1,?,方程有两不等实根二次函数的ax，bx，c,0图象与轴有两个交点二次函数有两个零点( x2,2,?,方程有两相等实根二次函数的ax，bx，c,0图象与轴有一个交点二次函数有一个二重零点或二阶零点( x2、探索并掌握20以内退位减法、100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。2,3,?,方程无实根二次函数的图象与xax，bx，c,0轴无交点二次函数无零点( （1) 与圆相关的概念：5.函数的模型 面对新的社会要求，教师与学生应首先走了社会的前边，因此我们应该以新课标要求为指挥棒，采用所有可行的措施，尽量体现以人为本，培养学生创新，开放的思维方式。另一方面注意处理好内容与思想的衔接，内容要在学生上学期的水平之上发展并为以后学习打下基础，思想上注意新思维与我国传统的教学思想结合收集数据 (二)空间与图形画散点图 当a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。不 选择函数模型 符 合实 际 求函数模型 第 10 页 共 11 页 检验 第 11 页 共 11 页