最新平面向量复习讲义.docx
精品文档平面向量复习一.向量有关概念：1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）2 .零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0,注意零向量的方向是任意的；UUIT3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是uuuJUB-)； |AB|4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性;5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a / b ,规定零向量和任何向量平行。b叫做平行向量,记作:注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；r平行向量无传递性！（因为有0）;uuur uuur三点A B、C共线AB、AC共线；6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a o 【练习】1、下列命题：（1）若rb o （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,舒旭。/AB岗,rABCD是平"小。rAB DC。（5）右 a b,b c ,贝Ur(6)右 ab,b/c ,贝U a（4）若ABCD是平行四边形，则r ,. .一co其中正确的是精品文档1.2.3.内的任一向量a,有且只有一对实数1、2 ,使a=【练习】1 e1 +2必1、若 a (1,1),b (1, 1),c（1,2）,如何用a , b表示c?2、下列叩组中，萨作为平面内所有U量基底喟是ITuuA. e1(0,0), e2(1, 2)utuuC. e1(3,5),e2(6,10)UUUT UUUB. eUTD. q(1,20UU(2, 3"(5,7)(13)(2, 4)UULT3、已知AD,BE分别是 ABC的边BC,AC上的中线,且ADr uuua,BE示为r uuu 一，一 r r ,b，则BC可用向量a,b表2 r 4 r(答:-a -b);33.向量的表小方法：几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB,_注意起点在前，终点在后；符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a, b, c等；坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , r r rj为基底，则平面内的任一向量a可表示为a xi yj x,y ,称x,y为向量a的坐标，a= x, y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向 量的终点坐标相同。.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面4、在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点,且 AC = mAE + nAF ,其中 m, nCR,则 m+n =AE与BD相交于点F,5、在边长为2的菱形ABCD中， BAD = 60 , E为CD中点,uur(1)用 AB ,uuur uuur四.实数与向量的积：实数如下：1与向量>0时,a的积是一个向量，记作 a,它的长度和方向规定a的方向与a的方向相同，当 <0时，a的方向_r与a的方向相反，当 =0时，a注意： a w0。五.平面向量的数量积：1 .两个向量的夹角：对于非零向量uuu r uuu ,b ,作 OA a,OBAOB 0为向量a, b的夹角，当=0时，a, b同向，当=时,b反向，当=万时，a,b垂直。2 .平面向量的数量积：如果两个非零向量a叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作:b,它们的夹角为：a?b,即 a?b =r r,我们把数量|a |b|c°sa b cos量与任一向量的数量积是【练习】0,注意数量积是个实数，不再是一个向量0规定：零向 如1、ABC中，I AB |I AC I 4,I BC |2、,r已知a1 r(1，2)，b(0,2)，cr u kb,d（答:9）;r . uc与d的夹角为一，则k等于43、已知r r r 2,b 5,acp 3,（答：1）;4、r r已知a,b是两个非零向量，且（答：V23）; r r r,则a与a b的夹角为3.-rb在a上的投影为|b|c°s , 它是个实数,但不一定大于 00(答：30°)AD表示AF o (2)求出AE练习：已知| a| 3 , |b | 5 ,且a b 12 ,则向量a在向量b上的投影为r-r -5.4. a ?b的几何意义：数量积a ?b等于a的模| a |与b在a上的投影的积其夹角为，则:向甲积咋性收：设两个非零向量a , b , a b a ?b 0 ；时,当a , b同向时，- r r a?b= ab；当一 f r ra ? b = a b ,特别地，为锐角时，a?b>0,r2 r r r 2 a a?a ar r且a、b不同向,r 2da ;当a与b反向r ra b 0是为锐角的必r rr r要非充分条件；当 为钝角时，a?b<0,且a、b不反向，a b0是 为钝角的必要非充分条件；非零向量a , b夹角 的计算公式：cosr ra?br r r r |a?b| |a|b|。1、已知a ( ,2 ) , b (3 ,2),如果a与b的夹角为锐角，则 的取值范围是41(答： f或0且)；332、已知 A(1, 2), B(2, 3), C(-2, 5),则 ABC 为()A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形D.不等边三角形3、已知 OFQ的面积为S ,且OF FQ 1 ,若1S '，则OF , FQ夹角 的取 22值范围是(答：(-,-)；六.向量的运算：1 .几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边雷林贝出适产于不共线的uur 向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB a,BC b,那么向量AC叫r rr r uur uur uuu做a与b的和，即a b AB BC AC ；uuu r uuur r r r uuu uuur uuu向量的减法：用“三角形法则”：设AB a,AC b,那么a b AB AC CA ,由减向 量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。Iuuu uuir uuiruuu uuu uuiruur uuruuir urnr1、化简： AB BC CD ； AB AD DC ;(AB CD) (AC BD)uuir r unr r uur - r r r2、若正方形ABCD的边长为1, AB a, BC b,AC c,则|a b c| = rr2 .坐标运算：设a (x1，y),b区呈)，则：r r向量的加减法运算：a b (x1 x2, y1 y2)。r实数与向量的积：ax1,y1x1, y1。uur若A(x1, y1), B(x2, y2),则ABx2 x1,y2 y1 ,即一个向量的坐标等于表小这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。【练习】uuu 1 uuuruuir1、设 A(2,3), B( 1,5),且 AC AB, AD 3 uuu2、已知点 A(2,3), B(5,4) , C(7,10),若 AP 一、三象限的角平分线上uur 3AB ,uuu AB则C、D的坐标分别是uuirAC( R),则当时，点P在第1 uuu3、已知 A(2,3), B(1,4)，且一AB (sin x,cos y) , x, y r 2r r r平面向量数量积：a?bx1x2 y1y2。如 1、已知向量2= (sinx, cosx) , b= (sinx, sinx) , c= (1, 0)。(1) 若乂 = 一，求3向量a、c的夹角；(2)若xC -,函数f(x) a b的最大值为二，求 的值8 42y2。如iur60o ,那么 |a 3b |=r _r 2 r .向量的模：|a| Jx 厂,a |a| x r r -1、已知a,b均为单位向量，它们的夹角为（答：63）;2、（2009年广东卷）一质点受到平面上的三个力F1 , F2, F3 （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知F3F2成60角，且F1, F2的大小分别为2和4,则 F3的大小为 uuu mu11 rrr r3、已知共面向量一a, b, c均为单位向量，它们的夹角两两相同，求 ab c的值。2 3两点间的距离：若A x,y1 ,B x2,y2i r22，则 | ab | J x2 xy2 y1。七.向量的运算律：r r r rr1.交换律：a b b a,ar r r r ra, a?b b?a ；r r r2.结合律：a b crrr rrrrabc, abcar r a ?br r r r a?b a? b ;3.分配律:练习：下列命题中：a （buuruun uuir3、设 PA (k,12),PB (4,5), PC r九.向量垂直的充要条件：a,uuuuuu1、已知 OA ( 1,2),OB (3,m),(10,k),则 k=时，A,B,C 共线rr r rr rrba b0 |ab| |ab|x1x2uuu uun若 OA OB ,贝m 必丫20.,r，一 r u rm ur ,2、已知n (a,b),向重n m ,且n m ,则m的坐标是rrr r r r r r ra a a, a ba b , a b ?c a?c b?c。c) a b a c ; a (b c) (a b) c ;(a b) | a | r r r r r r 2 r20 ,则a 0或b 0 ;若a b cb,则a c；a a;r r 0 2r r r 2 一， 、，一(a b)a2a b b。其中正确的是注：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除（相约）；（2）向量的“乘 法”不满足结合律，即a（b?c） （a?b）c,为什么？，一 、一一， r r r r r r . r r .八.向重平行(共线)的充要条件：a/b a b (a b) (| a | b|)x1y2y1x2 =0。【练习】 r rr r1、若向量a (x,1),b (4,x),当* =时a与b共线且方向相同r rrr rr rr 一 r r ,2、已知 a(1,1),b(4,x) , ua2b ,v2ab, H u /v ,贝Ux=一、向量中一些常用的结论：（1） 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;Hr b r b r ar bH r a rb r a I a> b不共线b| |a| |b | ,特别地，当U同向或有0 当 a、b 反向或有 0 |a b| |a| |b| |a| lai（这些和实数比较类似）.
