椭圆地定义及几何性质.docx

实用文档椭圆【教学目标】（1）掌握椭圆的定义（2）掌握椭圆的几何性质（3）掌握求椭圆的标准方程【教学重难点（1）椭圆的离心率有关的问题（2）椭圆焦点三角形面积的求法【教学过程】一、知识点梳理知识点一：椭圆的定义平面内一个动点F到两个定点看、的的距离之和等于常数 （|咫|+ |尸居仁山1片为I）,这个动点F的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两 焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若附HI%M忸闻，则动点产的轨迹为线段式玛；若附|一因卜|取引，则动点产的轨迹无图形。知识点二：椭圆的标准方程- +二 11 .当焦点在工轴上时，椭圆的标准方程：H Si。），其中/=/一/ ；V X 、_ _|_2 .当焦点在二轴上时，椭圆的标准方程：口* /,其中/；注意：1 .只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆 的标准方程；2 .在椭圆的两种标准方程中，都有和 =& - ；3 .椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为 8,0） , （-C。）.当 焦点在V轴上时，椭圆的焦点坐标为（°e ,（Q-c。知识点三：椭圆的简单几何性质(1)对称性、沁对于椭圆标准方程 口 上 ,把x换成一x,或把y换成一y,或把x、y同时换成一F + 2 1x、一V,方程都不变，所以椭圆 色 b 是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。讲练结合：(2)范围椭圆上所有的点都位于直线 x= ± a和y= ± b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 |x| <a, |y| wb。(3)顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。2椭圆曰 办(a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A (a, 0),A (a, 0), B (0, - b), B2 (0, b)。线段A1A2, BB2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|AiA|=2a , |BiB2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。(4)离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作因为a>c>0,所以e的取值范围是0vev1。e越接近1,c就越接近a,从而启越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,标准文案图形变为圆，方程为这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0,这时两个焦点重合,x2+y2=a2椭圆£ b1的图像中线段的几何特征（如下图）=1I尸耳里I 一 （1）阀 |+阀|=2 口上蚂 |,|啊| 二 "弟|=以口闻=|。玛卜白昨前二后十加；2T y y + J=i +=1（a>b>0）的区别和联系区叫=|4周=uy,|4段二氏耳| 二 口+广，一|产用% +右,标准方程f+0 : 1 0>S>Q) a2 /2/% H= 1 (4 > 占 > U)图形期y43 一»|Flft性质焦点Mf。) FQQ) ?鼻（Q，<）政。 ?焦距陶鸟|= 2c仁二心T）|号玛|=左【4：/）范围|岭3 日 ?I咋占|小 ?对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点曲.0）（0的 ?。（垃 0） ?轴长轴长二之0,短轴长/上知识点四：椭圆-离心率e1 = (0 < e, < 1) a准线方程x = ± C = ±焦半径1咫|=奋+而|?曷|=$一"|尸网|=+。|F"|=q-即W+J片+L注意:椭圆一 上 , /8,(a>b>0)的相同点为形状、大小都相同，参数间e (0 c < 1)的关系都有a>b>0和口, a2=b2+c2;不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。二、考点分析考点一：椭圆的定义【例1】方程忒x -2 f + y2 +，(x +2 f + y2 =10化简的结果是 。【例2】已知Fi(-8 , 0) , F2(8 , 0),动点P满足|PFi|+|PF 2|=16 ,则点P的轨迹为()A圆 B 椭圆 C 线段 D 直线22【变式训练】 已知椭圆 + L =1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点169且陷为。考点二：求椭圆的标准方程【例3】若椭圆经过点(5, 1), (3, 2)则该椭圆的标准方程为 。【例4】AABC的底边BC =16 , AC和AB两边上中线长之和为 30,求此三角形重心 G的轨迹和顶点A的轨迹.【例5】求以椭圆9x2 +5y2 =45的焦点为焦点，且经过点 M (2, J6)的椭圆的标准方程.【变式训练】1、焦点在坐标轴上，且a2 =13 , c2 =12的椭圆的标准方程为 。2、焦点在x轴上，a:b = 2:1, c = j6椭圆的标准方程为 。3、已知三点P (5,2)、Fi(6,0)、F2 (6,0),求以Fi、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；4.5 一 2 . 5.4、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 工匕和2过33P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.考点三：利用标准方程确定参数22【例6】若方程+一=15-k k-3(1)表示圆，则实数 k的取值是.(2)表示焦点在x轴上的椭圆，则实数 k的取值范围是 .(3)表示焦点在y型上的椭圆，则实数 k的取值范围是 .(4)表示椭圆，则实数 k的取值范围是 .【例7】椭圆4x2+25y2 =100的长轴长等于 ，短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是 L离心率等于。22【变式训练】1、椭圆上 +上=1的焦距为2 ,则m = 4 m2.2-2、椭圆5x +ky = 5的一个焦点是(0,2),那么k =考点四：离心率的有关问题、求离心率1、用定义(求出 a,c或找到c/a )求离心率22(1)已知椭圆C: + = 1,(aAbA0)的两个焦点分别为 a b一一 4 1 .经过点P(-,-).则椭圆C的离心率3 322(2)设F1F2是椭圆E :与+与=1(a >b >0)的左、右焦点, a bFi(-1,0)上(1,0),且椭圆 C3aP为直线x =上一点,21(A)2(B) 3(C)2(D)二22椭圆 与十% =1 (a>b>0)的左、右顶点分别是 a bA B,左、右焦点分别是 F1,F2o若|AF| , | F1F2I , |EB|成等比数列，则此椭圆的离心率为(4)在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为五,焦点到相应准线距离为1,则& F2PF1是底角为30的等腰三角形，则 E的离心率为该椭圆的离心率为2、根据题设条件构造a、c的齐次式方程，解出e。A. 5B.C.5 D.22n c,c、2ma nac pc = 0 ; m - - p()二 0 m a a(1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列， 则该椭圆的离心率是(22(2)在平面直角坐标系 x0y中，椭圆C的标准方程为-2+-yr=1(a>0,b>0),右焦点为 a bF ,右准线为l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线BF的距离为di, F至U l的距离为d2,若d2 = J6d1,则椭圆C的离心率为 .(3)设椭圆的两个焦点分别为 Fi.F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点巳若三角形FiPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 。二)、求离心率的范围(关键是建立离心率相关不等式)1、直接根据题意建立 a,c不等关系求解.22(1)椭圆x2+'nMaAbA。)的焦点为f-F2,两条准线与x轴的交点分别为 M, N, a b若MN| < 2|FiF2 ,则该椭圆离心率的取值范围是 。22(2)已知F1, F2为椭圆 与+与=1(a >b >0 )的焦点，B为椭圆短轴上的端点， 'a bT -*1 »2BFi BF2>- f弓，求椭圆离心率的取值范围。22、借助平面几何关系(或圆锥曲线之间的数形结合)建立a,c不等关系求解22、Ix V一设F2分别是椭圆 +2t=1(a>b>0)的左、右焦点，若在其右准线上存在P,使a b线段PF1的中垂线过点F2 ,则椭圆离心率的取值范围是 。3、利用圆锥曲线相关性质建立a,c不等关系求解.(焦半径或横纵坐标范围建立不等式)22x v , (1)椭圆 =1 (a>0,b >0)的两个焦点为 F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|二2|PF 2|,a b则椭圆离心率的取值范围为 。22(2)已知椭圆xy+3=1(a >b >0)右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且 OP垂直 a b于PA,求椭圆的离心率 e的取值范围 。(3)椭圆十冬=1(a >b >0)和圆x2 +y2 =fb+c i (其中c为椭圆半焦距) 有四个 a b2不同的交点，求椭圆的离心率的取值范围 。考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用22【例14】已知椭圆方程2- +-y2- =1(a>b > 0 ),长轴端点为A1,A2,焦点为F1 ,F2,P是椭圆上一点， /A1PA2 =日，/F1PF2 =a .求：AF1PF2的面积(用a、b、«表示). * 、 、 _ 、_ 1 . . _分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 口的两邻边，从而利用SA =absinC求面积.222【变式训练】1、若P是椭圆2+ L =1上的一点，F1、F2是其焦点，且/F1PF2=60100 641212求 F1PF2的面积.22F2分别是椭圆的左、右焦点，若2、已知P是椭圆上+匕=1上的点，F1 259PF1 PF21一=一,则 F1PF2的面积为（）IPF1 I I PF2 |2A. 3 3B.2 3C. 3D.课后作业：一、选择题1 已知 Fi（-8 , 0）,F2(8, 0),动点P满足|PFi|+|PF 2|=25 ,则点P的轨迹为()A圆 B 椭圆 C 线段 D 直线223已知方程_x_+_ =1表示椭圆，则k的取值范围是() 1k 1kA -1<k<1 B k>0 C k>0 D k>1 或 k<-1222217、椭圆x_ +匕=1与椭圆'+上=M A>0）有（）3223(A)相等的焦距(B)相同的离心率(C) 相同的准线 (D) 以上都不对222218、椭圆、±=1与+一=1 (0<k<9)的关系为()2599 - -25 - -(A)相等的焦距(B) 相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短、填空题222、椭圆 匕£ = 1左右焦点为F1、F2, CD为过F1的弦，则&CDF的周长为 1694、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10,短轴长为 6(2) 长轴是短轴的 2倍，且过点(2, 1)(3) 经过点(5, 1), (3, 2)5、若/ABC顶点B C坐标分别为(-4 , 0), (4, 0) , AC AB边上的中线长之和为 30,则力ABC的重心G的轨迹方程为22xy6.椭圆 -2 =1(a Ab A0)的左右焦点分别是F1、F2,过点F1作x轴的垂线交椭圆于 Pab点°若/ RPF2=60° ,则椭圆的离心率为7、已知正方形 ABCD则以A、B为焦点，且过 C D两点的椭圆的的离心率为 椭圆方程为.228已知椭圆的方程为 土+2-=1, P点是椭圆上的点且 NF1PF2 =60°,求APF1F2的面积439.若椭圆的短轴为 AB它的一个焦点为 Fl,则满足 ABF为等边三角形的椭圆的离心率为_2210.椭圆2_+匕=1上的点P到它的左焦点的距离是12,那么点P到它的右焦点的距离是100 362211.已知椭圆x2+1_ =1(a >5)的两个焦点为F1、f2，且F1F2 =8,弦AB过点F1,则a 25 ABF2的周长13、中心在原点、长轴是短轴的两倍，一条准线方程为x=4,那么这个椭圆的方程为。14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离，则椭圆的离心率 e=.15、椭圆的中心'在原点，焦点在x轴上，准线方程为y =±18 ,椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14,则椭圆方程为 。16.已知P是椭圆9x2 +25y2 =900上的点，若P到椭圆右准线的距离为8.5,则P到左焦点的距离为2219、椭圆 上 +匕=1上一点P到左准线的距离为2,则点P到右准线的距离为 62x2 y220、点P为椭圆 一+1=1上的动点，、下2为椭圆的左、右焦点，则PF, PF2的最小值2516为,此时点P的坐标为