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高一数学：函数知识点总结函数复习主要知识点 一、函数的概念与表示 1、映射 (1)映射:设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A?B。 注意点:(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 2、函数 构成函数概念的三要素 ?定义域?对应法则?值域 两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同 例1、下列各对函数中，相同的是( ) x，12f(x),lg,g(x),lg(x，1),lg(x,1)f(x),lgx,g(x),2lgxA、 B、 x,11，u1，v2C、 D、f(x)=x， f(x),xf(u),g(v),1,u1,v例2、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系M,x|0,x,2,N,y|0,y,3的有( ) A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 y y y y 3 2 2 2 2 1 1 1 1 O O O O 1 2 x 1 2 x 1 1 2 x 2 x 二、函数的解析式与定义域 1、求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义; (3)对数函数的真数必须大于零; (4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1; 2yxx,log(43) 例.(05江苏卷)函数的定义域为_ 0.52求函数定义域的两个难点问题 例3: 已知f()x的定义域是-2,5,求f(2x+3)的定义域。(1) 已知f(21)xx,的定义域是-1,3,求f()的定义域 (2) 。 1 2，xx2fx()lg,ff()()，例4:设，则的定义域为_ 2,x2x2f(x)，求的定义域。 变式练习:f(2,x),4,x三、函数的值域 1求函数值域的方法 ?直接法:从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数; ?换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式; 适合分母为二次且?R的分式; ?判别式法:运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;x?分离常数:适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图); ?单调性法:利用函数的单调性求值域; ?图象法:二次函数必画草图求其值域; ?利用对号函数 ?几何意义法:由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 例: 12y,1(直接法) 2( fxxx()2242,，,2xx，233xy,y,x，2x,13(换元法) 4. (法) 2x，42x,1x31x,y,y,yx,(24)5. 6. (分离常数法) ? ? 2x，121x，x，13yxx,(1,3)7. (单调性) 2x2 1yxx,，,118.?，? (结合分子/分母有理化的数学方法) y,xx，,1182yxx,，,2(4)9(图象法)yxxx,，,32(12) 10(对号函数) x11. (几何意义) yxx,，,21四(函数的奇偶性 1(定义: 设y=f(x)，x?A，如果对于任意?A，都有，则称y=f(x)为偶函数。 fxfx()(),x如果对于任意?A，都有，则称y=f(x)为奇函数。 fxfx()(),x2.性质: y?y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称, ,?若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0 ?奇?奇=奇 偶?偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域D ，D，D?D要关于原点对称 12123(奇偶性的判断 ?看定义域是否关于原点对称 ?看f(x)与f(-x)的关系 , 例: 4f(x),x,x1 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，则当时，f(x)(,，,)x,(,0)x,(0,，,). f(x),x,，2bR2 已知定义域为的函数是奇函数。 fx(),，1x2，a22tR,kfttftk(2)(2)0,，,(?)求的值;(?)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围; ab,x,y3 已知在(,1，1)上有定义，且满足 f(x)x,y,(,1,1)有f(x),f(y),f(),1,xy证明:在(,1，1)上为奇函数; f(x)f(x)(x,R)f(2),1f(x，2),f(x)，f(2)f(5),4 _ 若奇函数满足，则3 五、函数的单调性 1、函数单调性的定义: 2 设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数;若f(x),，,，y,fgxy,fgx与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。 ,，y,fgx例: , 3f(x),x(x,R)1判断函数的单调性。 x,02函数对任意的，都有，并且当时， f(x)m,n,Rf(m，n),f(m)，f(n),1f(x),12Rf(a，a,5),2 ?求证:在上是增函数; ?若，解不等式 f(x)f(3),42y,log(6，x,2x)3函数的单调增区间是_ 0.1(31)4,1axax,，,4(高考真题)已知是上的减函数，那么的取值范围是 ( ) a(,),，,fx(),log,1xx,a,1111,),1)(A) (B) (C) (D) (0,1)(0,)7373六(函数的周期性: 1(定义)若是周期函数，T是它的一个周期。 f(x，T),f(x)(T,0),f(x)b,a说明:nT也是的周期。(推广)若，则是周期函数，是它的一个周期 f(x)f(x，a),f(x，b)f(x), 对照记忆: 说明: fxafxa()()，,说明: faxfax()()，,11f(x，a),f(x，a),2(若f(x，a),f(x);则f(x)周期是2 af(x)f(x)4 , 例: 1 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=,f(x),则,f(6)的值为( ) (A),1 (B) 0 (C) 1 (D)2 2 定义在R上的偶函数，满足，在区间,-2,0,上单调递减，设fxfx(2)(2)，,fx()，则的大小顺序为_ abc,afbfcf,(1.5),(2),(5)1，f(x)3 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且f(x，2),若f(1),2，3,则f (2005)= . 1,f(x)4 已知是(-)上的奇函数，当0,x,1时，f(x)=x，则f(7.5)=_ ,，,f(x)f(2，x),f(x)2f(x),2x,x5设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时 f(x)f(2，x),f(x)x,0,2?求证:是周期函数;?当时，求的解析式;?计算: f(x)x,2,4f(x)七、反函数 1.只有单调的函数才有反函数;反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域; 2、求反函数的步骤 (1)解 (2)换 (3)写定义域。 3、关于反函数的性质 -1(1)y=f(x)和y=f(x)的图象关于直线y=x对称; -1(2)y=f(x)和y=f(x)具有相同的单调性; -1-1(3)已知y=f(x)，求f(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f(a); -14)ff(x)=x; (-1(5)若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f(x)的图象上; -1(6)y=f(x)的图象与其反函数y=f(x)的图象的交点一定在直线y=x上; 1,1,1yfx,()yfx,()例:设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过 yfx,()yfx,(21)(,1)211(1,)(A) (B) (C) (D) (1,0)(0,1)(,1)22八(二次函数(涉及二次函数问题必画图分析) bac,b,b2241(二次函数f(x)=ax+bx+c(a?0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标 ,x,(,)aa2a242(二次函数与一元二次方程关系 22ax，bx，c,0(a,0)一元二次方程的根为二次函数f(x)=ax+bx+c(a?0)的的取值。 y,0x2ax，bx，c,0(,0)一元二次不等式的解集(a>0) 5 二次函数 ?情况 一元二次不等式解集 22+bx+c>0 ax+bx+c<0 ax22 Y=ax+bx+c (a>0) ?=b-4ac (a>0) (a>0) ,xx,x或x,xxx,x,x?>0 1212图象 ,xx,x?=0 , 0与解 ?<0 R , , 例: 2f(x),4x,mx，51、已知函数在区间上是增函数，则的范围是( ) ,2,，,)f(1)(A) (B) (C) (D) f(1),25f(1),25f(1),25f(1),2522、方程有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是_ mx，2mx，1,0九(指数式与对数式 1(幂的有关概念 1,n0aanN,0,a,1(a,0)(1)零指数幂 (2)负整数指数幂 ，nam,nmnaaamnNn,0,1(3)正分数指数幂; ，m11,naamnNn,0,1 (4)负分数指数幂，mnmana(5) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2(有理数指数幂的性质 srrrsrrrsrs，20,aaarsQ,30,0,abababrQ, 10,aaaarsQ,，aa,0,nnnna,a,3(根式 根式的性质:当是奇数，则;当是偶数，则 nna,a,aa,0,4(对数 ba,N(a,0,a,1)b,logN(a,0,a,1)(1)对数的概念:如果,那么b叫做以a为底N的对数,记 a6 (2)对数的性质:?零与负数没有对数 ?log1,0 ?loga,1 aa(3)对数的运算性质 logMN=logM+logN logNm 对数换底公式: logN,(N,0,a,0且a,1,m,0且m,1)alogamnnlogN,logN(N,0,a,0且a,1)对数的降幂公式: maam, 例: 113,1(4)ablg8，lg125,lg2,lg52()(1) ， (2) 14lg10,lg0.1,23,32(0.1)()ab十(指数函数与对数函数 x1、 指数函数y=a与对数函数y=logx (a>0 , a?1)互为反函数 a名称 指数函数 对数函数 x一般形式 Y=a (a>0且a?1) y=logx (a>0 , a?1) a定义域 (-?,+ ?) (0,+ ?) 值域 (0,+ ?) (-?,+ ?) 过定点 (,，1) (1，,) x指数函数y=a与对数函数y=logx (a>0 , a?1)图象关于y=x对称 a图象 a> 1,在(-?,+ ?)上为增函数 a>1,在(0,+ ?)上为增函数 单调性 ,a<1, 在(-?,+ ?)上为减函数 ,a<1, 在(0,+ ?)上为减函数 值分布 y>1 ? y<1? y>0? y<0? 2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性;指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系(对数式比较大小同理) 记住下列特殊值为底数的函数图象: 3、 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制 7 4、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。 例: 1x,31、(1)的定义域为_;(2)的值域为_; y,2y,lgx，lg(5,3x)2y,lg(,x，x)(3)的递增区间为，值域为 _12x,_2、(1)，则 logx,0142xxy,1，2，4a3、要使函数在上恒成立。求的取值范围。 ，,x,1y,0a112xx2xx4.若a+?a,?0(a,0且a?1)，求y=2a,3?a+4的值域. 22十一(函数的图象变换 (1) 1、平移变换:(左+ 右- ，上+ 下- )即 h,0,右移;h,0,左移y,f(x),y,f(x，h)xy,f(x),y,f(x)k,0,下移;k,0,上移轴y,f(x),y,f(x)，kyy,f(x),y,f(,x)? 对称变换:(对称谁，谁不变，对称原点都要变) 轴y,f(x),y,f(,x)原点yxy,f(x),y,f(x),1yy,f(x),y,f(x)轴右边不变，左边为右边部分的对称图xxy,f(x),y,f(x)保留轴上方图，将轴下方图上翻, 例: 1(f(x)的图象过点(0,1)，则f(4-x)的反函数的图象过点( ) A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1) D.(1,4) （2）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)2(作出下列函数的简图: （2）顶点式：xx|x|(1)y=|log|; (2)y=|2-1|; (3) y=2; 2（2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：8 十二(函数的其他性质 1(函数的单调性通常也可以以下列形式表达: 二次方程的两个实数根fxfx()(),12 单调递增 ,0xx,12fxfx()(),12 单调递减 ,0xx,124、在教师的具体指导和组织下，能够实事求事地批评自己、评价他人。2(函数的奇偶性也可以通过下面方法证明: 圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。奇函数 fxfx()()0，,经过同一直线上的三点不能作圆.偶函数 fxfx()()0,1、认真研读教材，搞好课堂教学研究工作，向课堂要质量。充分利用学生熟悉、感兴趣的和富有现实意义的素材吸引学生，让学生主动参与到各种数学活动中来，提高学习效率，激发学习兴趣，增强学习信心。提倡学法的多样性，关注学生的个人体验。3(函数的凸凹性: 2. 图像性质：xxfxfx，()()1212f(), 凹函数(图象“下凹”，如:指数函数) 22xxfxfx，()()1212f(), 凸函数(图象“上凸”，如:对数函数) 22如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则9