江苏专版2019版高考数学一轮复习第六章数列课时达标检测三十一数列求和与数列的综合问题2018053.doc

课时达标检测(三十一） 数列求和与数列的综合问题一、全员必做题1(2017·山东高考)已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1x23，x3x22.(1)求数列xn的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连结点P1(x1，1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n1)得到折线P1P2Pn1，求由该折线与直线y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积Tn.解：(1)设数列xn的公比为q，由已知得q0.由题意得所以3q25q20.因为q0，所以q2，x11，因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn，由题意得bn×2n1(2n1)×2n2，所以Tnb1b2bn3×215×207×21(2n1)×2n3(2n1)×2n2.又2Tn3×205×217×22(2n1)×2n2(2n1)×2n1.得Tn3×21(2222n1)(2n1)×2n1(2n1)×2n1.所以Tn.2(2018·泰州调研)对于数列xn，若对任意nN*，都有xn1成立，则称数列xn为“减差数列”设数列an是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且a11，S3.(1)求数列an的通项公式，并判断数列Sn是否为“减差数列”；(2)设bn(2nan)tan，若数列b3，b4，b5，是“减差数列”，求实数t的取值范围解：(1)设数列an的公比为q，因为a11，S3，所以1qq2，即4q24q30，所以(2q1)(2q3)0.因为q0，所以q，所以an，Sn2，所以22Sn1，所以数列Sn是“减差数列”(2)由题设知，bnt2t.由bn1(n3，nN*)，得tt2t，即，化简得t(n2)1.又当n3时，t(n2)1恒成立，即t恒成立，所以tmax1.故实数t的取值范围是(1，)3已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，试求数列bn的前n项和Tn.解：(1)设二次函数f(x)ax2bx(a0)，则f(x)2axb.由于f(x)6x2，得a3，b2，所以f(x)3x22x.又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上，所以Sn3n22n.当n2时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5.当n1时，a1S13×122×116×15，所以an6n5(nN*)(2)由(1)得bn，故Tn1.二、重点选做题1(2017·北京高考)设an和bn是两个等差数列，记cnmaxb1a1n，b2a2n，bnann(n1,2，3，)，其中maxx1，x2，xs表示x1，x2，xs这s个数中最大的数(1)若ann，bn2n1，求c1，c2，c3的值，并证明cn是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，M；或者存在正整数m，使得cm，cm1，cm2，是等差数列解：(1)c1b1a1110，c2maxb12a1，b22a2max12×1,32×21，c3maxb13a1，b23a2，b33a3max13×1，33×2,53×32.当n3时，(bk1nak1)(bknak)(bk1bk)n(ak1ak)2n0，所以bknak关于kN*单调递减所以cnmaxb1a1n，b2a2n，bnannb1a1n1n.所以对任意n1，cn1n，于是cn1cn1，所以cn是等差数列(2)证明：设数列an和bn的公差分别为d1，d2，则bknakb1(k1)d2a1(k1)d1nb1a1n(d2nd1)(k1)所以cn当d10时，取正整数m，则当nm时，nd1d2，因此cnb1a1n.此时，cm，cm1，cm2，是等差数列当d10时，对任意n1，cnb1a1n(n1)maxd2,0b1a1(n1)(maxd2,0a1)此时，c1，c2，c3，cn，是等差数列当d10时，当n时，有nd1d2.所以n(d1)d1a1d2n(d1)d1a1d2|b1d2|.对任意正数M，取正整数mmax，故当nm时，M.2(2018·江苏名校联考)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于3，则称这个数列为“S型数列”(1)已知数列an满足a14，a28，anan18n4(n2，nN*)，求证：数列an是“S型数列”；(2)已知等比数列an的首项a1与公比q均为正整数，且an为“S型数列”，记bnan，当数列bn不是“S型数列”时，求数列an的通项公式；(3)是否存在一个正项数列cn是“S型数列”，当c29，且对任意大于等于2的自然数n都满足·？如果存在，给出数列cn的一个通项公式(不必证明)；如果不存在，请说明理由解：(1)an1an8n4，anan18n4.，得an1an18.所以a2n8n，a2n18n4.因此an4n，从而anan143.所以数列an是“S型数列”(2)由题意可知a11，且anan13，因此an单调递增且q2.而(anan1)(an1an2)an1(q1)an2(q1)(q1)(an1an2)0，所以anan1单调递增又bnan，因此bnbn1单调递增，又bn不是“S型数列”，所以存在n0，使得bn0bn013，所以b2b1bn0bn013，即a1(q1)4.又因为a2a13，即a1(q1)3且a1·qN*.所以a1(q1)4，从而a14，q2或a12，q3或a11，q5.an2n1或an2·3n1或an5n1.(3)可取cn(n1)2可验证符合条件，而且cncn1(n1)2n22n13.三、冲刺满分题1(2018·如皋月考)已知数列an，bn中，a11，bn·，nN*，数列bn的前n项和为Sn.(1)若an2n1，求Sn；(2)是否存在等比数列an，使bn2Sn对任意nN*恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列an的通项公式；若不存在，说明理由；(3)若a1a2an，求证：0Sn2.解：(1)当an2n1时，bn·.所以，Sn.(2)满足条件的数列an存在且只有两个，其通项公式为an1和an(1)n1.证明：在bn2Sn中，令n1，得b3b1.设anqn1，则bn.由b3b1，得.若q±1，则bn0，满足题设条件此时an1和an(1)n1.若q±1，则，即q21，矛盾综上，满足条件的数列an存在，且只有两个，一个是an1，另一个是an(1)n1.(3)因1a1a2an，故an0,01，于是01.所以bn·0，n1,2,3，所以Snb1b2bn0. 又bn···2.故Snb1b2bn222222.所以0Sn2.2(2018·扬州中学模拟)若数列an和bn的项数均为n，则将aibi|定义为数列an和bn的距离(1)已知an2n，bn2n1，nN*，求数列an和bn的距离dn.(2)记A为满足递推关系an1的所有数列an的集合，数列bn和cn为A中的两个元素，且项数均为n.若b12，c13，数列bn和cn的距离大于2 017，求n的最小值(3)若存在常数M0，对任意的nN*，恒有aibi|M则称数列an和bn的距离是有界的若an与an1的距离是有界的，求证：a与a的距离是有界的解：(1)dn(2)设a1p，其中p0且p±1.由an1，得a2，a3，a4，a5p.所以a1a5，a2a6，因此集合A中的所有数列都具有周期性，且周期为4.数列bn中，b4k32，b4k23，b4k1，b4k(kN*)，数列cn中，c4k33，c4k22，c4k1，c4k(kN*)，因为bici|bici|，所以项数n越大，数列bn和cn的距离越大因为bici|，而bici|bici|×8642 016，|c1b1|1，|c2b2|1，因此，当n3 457时，bici|2 017，当n3 458时，bici|2 018，故n的最小值为3 458.(3)因为an与an1的距离是有界的，所以存在正数M，对任意的nN*，有|an1an|anan1|a2a1|M.|an|anan1an1an2a2a1a1|anan1|an1an2|a2a1|a1|M|a1|.记KM|a1|，则有|aa|(an1an)(an1an)|(|an1|an|)|an1an|2K|an1an|.因此|aa|aa|aa|2KM.故a与a的距离是有界的7