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高中数学会考知识点总结53866数学学业水平复习知识点 第一章 集合与简易逻辑 1、 集合 (1)、定义:某些指定的对象集在一起叫集合;集合中的每个对象叫集合的元素。 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性;表示一个集合要用 。 (2)、集合的表示法:列举法()、描述法()、图示法(); (3)、集合的分类:有限集、无限集和空集(记作，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集); ,(4)、元素a和集合A之间的关系:a?A，或aA; ,(5)、常用数集:自然数集:N ;正整数集:N;整数集:Z ;整数:Z;有理数集:Q;实数集:R。 2、子集 (1)、定义:A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集 ;记作:AB， ,注意:AB时，A有两种情况:A,与A? ,A,A,AA,B,B,CA,B,B,AA,C(2)、性质:?、;?、若，则;?、若则A=B ; 3、真子集 A,B(1)、定义:A是B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于A;记作:; A,AA,B,B,CA,C(2)、性质:?、;?、若，则; A CAU4、补集 ?、定义:记作:; CA,x|x,U,且x,AU?、性质:; A:CA,，A:CA,U，C(CA),AUUUU5、交集与并集 A B (1)、交集: A:B,x|x,A且x,BA:A,A,A:,A:B,BB,A性质:?、 ?、若，则 (2)、并集: A:B,x|x,A或x,BA B A:A,A,A:,AA:B,BA,B性质:?、 ?、若，则 1 6、一元二次不等式的解法:(二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系) 2判别式:?=b-4ac ,0,0,0y y 二次函数 y 2 f(x),ax，bx，c(a,0)O xxx 2 1 x x 的图象 x=x12 O O 一元二次方程 有两相异实数根 有两相等实数根 没有实数根 b2 xx ,x,x(x,x)的根 ax，bx，c,0(a,0)1212122ab一元二次不等式 R x|x,x|x,x,x,x122a2的解集 ax，bx，c,0(a,0)“,”取两边 一元二次不等式 , x|x,x,x122的解集 ax，bx，c,0(a,0)“,”取中间 不等式解集的边界值是相应方程的解 22,含参数的不等式ax，b x，c>0恒成立问题含参不等式ax，b x，c>0的解集是R; 其解答分a,0(验证bx，c>0是否恒成立)、a?0(a<0且?<0)两种情况。 7、绝对值不等式的解法:(“,”取两边，“,”取中间) |x|,ax|x,a,x,a|x|,ax|,a,x,aa,0(1)、当时，的解集是，的解集是 |ax，b|,c,ax，b,c,ax，b,c|ax，b|,c,c,ax，b,cc,0(2)、当时， |x,3|，|2x，1|,2(3)、含两个绝对值的不等式:零点分段讨论法:例: 8、简易逻辑: (1)命题:可以判断真假的语句;逻辑联结词:或、且、非; 简单命题:不含逻辑联结词的命题;复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题; 三种形式:p或q、p且q、非p; 互逆 逆命题 原命题 判断复合命题真假: 若q则p 若p则q 否 互 1、思路:?、确定复合命题的结构， 逆 为 互 互 ?、判断构成复合命题的简单命题的真假， 为 逆 否 否 互 ?、利用真值表判断复合命题的真假; 否 逆否命题 否命题 2、真值表:p或q，同假为假，否则为真; ，q则p 若若p则q 互逆 2 p且q，同真为真;非p，真假相反。 (2)、四种命题: 原命题:若p则q; 逆命题:若q则p; ，否命题:若p则q; 逆否命题:若q则p; 互为逆否的两个命题是等价的。 原命题与它的逆否命题是等价命题。 (3)、反证法步骤:假设结论不成立?推出矛盾?否定假设。 (4)、充分条件与必要条件: 若，则p叫q的充分条件; p,q若，则p叫q的必要条件; p,q若，则p叫q的充要条件; p,q第二章 函数 1、映射:按照某种对应法则f ，集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和它对应， a,A,b,B记作f:A?B，若，且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。 2、函数:(1)、定义:设A，B是非空数集，若按某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，就称f:A?B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)， (2)、函数的三要素:定义域，值域，对应法则;自变量x的取值范围叫函数的定义域，函数值f(x)的范围叫函数的值域，定义域和值域都要用集合或区间表示; (3)、函数的表示法常用:解析法，列表法，图象法(画图象的三个步骤:列表、描点、连线); (4)、区间:满足不等式a,x,b的实数x的集合叫闭区间，表示为:a ，b 满足不等式a,x,b的实数x的集合叫开区间，表示为:(a ，b) a,x,ba,x,b满足不等式或的实数x的集合叫半开半闭区间，分别表示为:a ，b)或(a ，b; (5)、求定义域的一般方法:?、整式:全体实数，例一次函数、二次函数的定义域为R; 1y,0,0?、分式:分母，0次幂:底数，例: 2,|3x|2y,25,x,0?、偶次根式:被开方式，例: 1,0?、对数:真数，例: y,log(1,)ax|x|(6)、求值域的一般方法:?、图象观察法: y,0.23 1?、单调函数:代入求值法: y,log(3x,1),x,32322y,x，2x，2?、二次函数:配方法:， y,x,4x,x,1,5)x?、“一次”分式:反函数法:y, 2x，12,sinx?、“对称”分式:分离常数法:y, 2，sinx?、换元法: y,x，1,2x(7)、求f(x)的一般方法: 3f(x，1),2f(x,1),2x，17?、待定系数法:一次函数f(x)，且满足，求f(x) 112fx,x，?、配凑法:求f(x) (),2xx?、换元法:，求f(x) f(x，1),x，2x12f(x),f(x),?、解方程(方程组):定义在(-1，0)?(0，1)的函数f(x)满足，求f(x) x3、函数的单调性: (1)、定义:区间D上任意两个值，若时有，称为D上增函数; x,xx,xf(x),f(x)f(x)121212若时有，称为D上减函数。(一致为增，不同为减) x,xf(x),f(x)f(x)1212(2)、区间D叫函数的单调区间，单调区间定义域; ,f(x)(3)、判断单调性的一般步骤:?、设，?、作差，?、变形，?、下结论 y,fh(x)(4)、复合函数的单调性:内外一致为增，内外不同为减; ,1,1y,f(x)y,f(x)4、反函数:函数的反函数为;函数和互为反函数; y,f(x)y,f(x),1,1,1y,f(x)x,y反函数的求法:?、由，解出，?、互换，写成，?、写出x,f(y)y,f(x)y,f(x)的定义域(即原函数的值域); ,1y,f(x)反函数的性质:函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域; y,f(x),1y,f(x)函数的图象和它的反函数的图象关于直线y,x对称; y,f(x)点(a，b)关于直线y,x的对称点为(b，a); *5、指数及其运算性质:(1)、如果一个数的n次方根等于a()，那么这个数叫a的n次方n,1,n,N根; 4 a(a,0),nnnnn叫根式，当n为奇数时，;当n为偶数时， a,aa,|a|,a,a(a,0),mm,1nmnn(2)、分数指数幂:正分数指数幂:;负分数指数幂: a,aa,mna0的正分数指数幂等于1，0的负分数指数幂没有意义(0的负数指数幂没有意义); 1rsr，srsrsrrrrra,0,b,0,r,s,Q(3)、运算性质:当时:，; a,aa,a,a,(a),a,(ab),abb6、对数及其运算性质:(1)、定义:如果，数b叫以a为底N的对数，记作，logN,ba,N(a,0,a,1)a其中a叫底数，N叫真数，以10为底叫常用对数:记为lgN，以e=2.7182828为底叫自然对数:记为lnN (2)、性质:?:负数和零没有对数，?、1的对数等于0:，?、底的对数等于1:，log1,0loga,1aaM?、积的对数:， 商的对数:， log(MN),logM，logNlog,logM,logNaaaaaaN1nn幂的对数:， 方根的对数:， logM,nlogMlogM,logMaaaan7、指数函数和对数函数的图象性质 函数 指数函数 对数函数 x定义 a,0且a,1() y,logxa,0且a,1 () y,aaa>1 0<a<1 a>1 0<a<1 x y=axy 图象 y=ay y y x y=loga(非奇非偶) x O O 1 x 1 1 1 y=logx ax x O O 定义域 (-?，+?) (-?，+?) (0，+?) (0，+?) 值域 (0，+?) (0，+?) (-?，+?) (-?，+?) 性 单调性 在(-?，+?) 在(-?，+?) 在(0，+?) 在(0，+?) 上是增函数 上是减函数 上是增函数 上是减函数 函数值,0,x,1,0,x,1,1,x,0,1,x,0,xxlogx,0,x,1logx,0,x,1a,1,x,0 a,1,x,0 ,aa 变化 ,1,x,0,1,x,0,0,0,x,1,0,0,x,1,质 5 0图 定 点 过定点(1，0) ？log1,0,？过定点(0，1) ？a,1,？ax图象 ？x,0,？图象在y轴右边 图象在x轴上方 ？a,0,？象 特征 x图象 的图象与的图象关于直线对称 y,xy,logxy,aa关系 第三章 数列 (一)、数列:(1)、定义:按一定次序排列的一列数叫数列;每个数都叫数列的项; ,数列是特殊的函数:定义域:正整数集(或它的有限子集1，2，3，n)， N值域:数列本身，对应法则:数列的通项公式; (2)、通项公式:数列的第n项与n之间的函数关系式;例:数列1，2，n的通项公式= n aaannnn1(1)，,n,1,1，-1，1，-1，的通项公式= ; 0，1，0，1，0，的通项公式 aa(,1)nn2(3)、递推公式:已知数列的第一项，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系用一个aaannn,11a,，公式表示，这个公式叫递推公式;例:数列 1 :，求数列 的各项。 aaa,1nnn1an,1,aS(n1),11,S,a，a，a，？，aa(4)、数列的前n项和:; 数列前n项和与通项的关系: ,n123nnS,S(n,2)nn,1,(二)、等差数列 :(1)、定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 d(2)、通项公式: (其中首项是，公差是;整理后是关于n的一次函数)， a,a，(n,1)dan11()na，a(1)nn,1n(3)、前n项和:1(S, 2. Snad(整理后是关于n的没有常数项的二次函数) ,，nn122a，bAAbb(4)、等差中项:如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即:A,或2A,a，b aa2说明:在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 (5)、等差数列的判定方法: ,?、定义法:对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。 aa,a,dann，1nn,?、等差中项:对于数列a，若2a,a，a，则数列a是等差数列。 nn，1nn，2n(6)、等差数列的性质: 6 ?、等差数列任意两项间的关系:如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公aam,nnmnma,a，(n,m)dnm，则有 差为d?、等差数列，若，则。 ,n，m,p，qa，a,a，aanmpqna，an1,a,a,a,a,a,a？n,n,n12321a，a,a，a,a，a,？也就是:，如图所示: ,1n2n,13n,2a，an2,1*k,N?、若数列是等差数列，是其前n项的和，那么，成等差数列。,aSSS,SS,Snnk2kk3k2kS3k,a，a，a，a，a，a，a，a？123，122，13kkkkk如下图所示: ,SS,SS,Sk2kk3k2kS,aSS偶nn奇?、设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和， nS,S,d偶奇S,S，Sn奇偶2则有:前n项的和， 当n为偶数时，其中d为公差; n，1n,1S,aS,a偶中奇中S,S,aa奇偶中中22当n为奇数时，则，(其中是等差数列的中间一项)。 aS'nn2,1?、等差数列,的前2n,1项的和为，等差数列,的前2n,1项的和为，则。 ,aSbSn2n,1n2n,1'bSnn2,1(三)、等比数列:(1)、定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示()。 q,0n,1(2)、通项公式:(其中:首项是，公比是) a,aqqan11,(,1)naq,1,n,aaq(1,)aq,S(3)、前n项和 (推导方法:乘公比，错位相减) ,1n1n,(q,1),1,1,qq,na,aqa(1,q)11n说明:?S,(q,1) 2 S,(q,1)?nn1,q1,qS,na3当时为常数列，非0的常数列既是等差数列，也是等比数列 q,1?n1(4)、等比中项: bGGbGb如果在与之间插入一个数，使，成等比数列，那么叫做与的等比中项。 aaaGb2G,ab也就是，如果是的等比中项，那么,，即(或，等比中项有两个) G,abaG(5)、等比数列的判定方法: an，1,?、定义法:对于数列，若，则数列是等比数列。 aa,q(q,0)nnan7 2?、等比中项:对于数列，若，则数列是等比数列。 ,aa,aaannnnn，2，1(6)、等比数列的性质: ?、等比数列任意两项间的关系:如果是等比数列的第项，是等比数列的第项，且， aam,nnmnmn,m公比为，则有 qa,aqnm?、对于等比数列，若，则 ,aa,a,a,an，m,u，vnnmuva,an1,a,a,a,a,a,a？n,n,n12321a,a,a,a,a,a,？也就是:。如图所示: ,1n2n,13n,2a,an2,1*,aSSS,SS,Sk,N?、若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成等比数列。 nnk2kk3k2kS3k,a，a，a，a，a，a，a，a？123，122，13kkkkk如下图所示: ,SS,SS,Sk2kk3k2k(7)、求数列的前n项和的常用方法:分析通项，寻求解法 n(n，1)1222221，2，3，？，n, ， 1，3，5，？，(2n,1),n1，2，3，？，n,n(n，1)(2n，1)26,1,2,n?公式法:“差比之和”的数列: (2,3，5)，(2,3，5)，？，(2,3，5),n,1?、并项法: 1,2，3,4，？，(,1)n,1111，？，,?、裂项相消法: 26(n,1)n1111，？，, 1，22，33，4n，n，1?、到序相加法: 2n,11，2x，3x，？，nx,?、错位相减法:“差比之积”的数列: 第四章 三角函数 1、角:(1)、正角、负角、零角:逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角; ,(2)、与终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合 ,|,，k,360,k,Z,(3)、象限的角:在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。 2、弧度制:(1)、定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。 180,'180,(2)、度数与弧度数的换算:弧度，1弧度,(),5718 y ,P(x，y) l,|,|r(3)、弧长公式: (是角的弧度数) , r 8 22 ,r,x，y,00 x 112 扇形面积: S,lr,|,|r223、三角函数 (1)、定义:(如图) (2)、各象限的符号: y y y yyr_ _ ,sintansec+ + + + rxx O x x O x O xxr_ _ _ _ cos,cot,csc,+ + ryy tan, cos, sin,(3)、 特殊角的三角函数值 的角度 0:30:45:60:90:120:135:150:180:270:360:,5,233 , 的弧度 02,64323426112332 sin, 0 0 0 ,11 222222112332 , cos, 00 ,111 22222233 tan,0 0 0 ,1,1 3,3334、同角三角函数基本关系式 sin, cos,(,)平方关系: (,)商数关系: (,)倒数关系: ,sin22sin,，cos,1 tan,cot,1 ,tan,cos, cot, tan,1 ,cos221，tan,sec, sin,csc,1 cot,sin,csc,22 sec,1，cot,csc, cos,sec,1 (4)同角三角函数的常见变形:(活用“1”) 222222sin,1,cos,cos,1,sin,?、， ;， ; sin,1,cos,cos,1,sin,2222,cossin2，,cos,sin2cos2,tancot?，,， cot,tan,2cot2,sin,cos,sin2,sincossin2,2?， 1,sin2,|sin,cos,| (sin,cos,),1,2sin,cos,1,sin2,5、诱导公式:(奇变偶不变，符号看象限) sin(,，k,360:),sin,cos(,，k,360:),cos,tan(,，k,360:),tan,公式一: 9 公式二: 公式三: 公式四: 公式五: ,sin(360:,),sinsin(,),sinsin(180:,),sinsin(180:，),sin, cos(,),cos cos(360:,),cos cos(180:,),coscos(180:，),costan(,),tan,tan(180:,),tan,tan(180:，,),tan,tan(360:,),tan,3,3,sin(，),cossin(,),cos,sin(，),cossin(,),cos2222,3,3补充: ,cos(，),sincos(,),sin,cos(,),sincos(，),sin2222,3,3tan(，,),cot,tan(,),cot,tan(，,),cot,tan(,),cot,22226、两角和与差的正弦、余弦、正切 sin(,，,),sin,cos,，cos,sin,sin(,),sin,cos,cos,sin,S: S: (,，,)(,)cos(a，,),cos,cos,sin,sin,cos(a,),cos,cos,，sin,sin,: : CC(,，,)(,),tan，tan,tan,tan,TT: : tan(，),tan(,),(,，,)(,)1,tan,tan,1，tan,tan,tan,，tan,tan(,，,),(1,tan,tan,)T的整式形式为: (,，,)(1，tanA)(1，tanB),2例:若，则(反之不一定成立) A，B,45:,ab227、辅助角公式: ,asinx，bcosx,a，bsinx，cosx,2222a，ba，b,2222 ,a，b(sinx,cos,，cosx,sin,),a，b,sin(x，,)btan,(其中,称为辅助角，,的终边过点，) (多用于研究性质) (a,b)a8、二倍角公式:(1)、: sin2,2sin,cos, (2)、降次公式:(多用于研究性质) S2,122cos2,cos,sin, : Csin,cos,sin2,2,21cos211,222,1,2sin,2cos,1sincos2 ,，222,1cos2112tan,，2,tan2,coscos2: T,，2,22221,tan,(3)、二倍角公式的常用变形:?、1,cos2,2|sin,|， 1，cos2,2|cos,|; 10 1111，cos2,|cos,|?、， ,cos2,|sin,|22222sin2,444422cos,sin,cos2,sincos12sincos1?、，,; ; ,2,1,cossin,1,cos,1，cos,1,cossincos,tan,半角:，, ?222221，cos,sin,1，cos,9、三角函数的图象性质 (1)、函数的周期性:?、定义:对于函数f(x)，若存在一个非零常数T，当x取定义域内的每一个值时，都有:f(x+T)= f(x)，那么函数f(x)叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期; ?、如果函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f(x)的最小正周期。 (2)、函数的奇偶性:?、定义:对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有:f(-x)= - f(x)，则称f(x)是奇函数，f(-x)= f(x)，则称f(x)是偶函数 ?、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称; ?、奇函数，偶函数的定义域关于原点对称; (3)、正弦、余弦、正切函数的性质(k,Z) 函数 定义域 值域 周期性 奇偶性 递增区间 递减区间 ,，3， x,R -1，1 奇函数 T,2, 2k,2k,，,，2k,2k,y,sinx ,22，22，y,cosxx,R -1，1 T,2, 偶函数 ,2k,(2k，1),(2k,1),2k,y,tanx T, 奇函数 (-?,+?) ,，k,k,x|x,，k,222,3,y,sinx2,图象的五个关键点:(0，0)，(，1)，(，0)，(，-1)，(，0); ,22,32,y,cosx图象的五个关键点:(0，1)，(，0)，(，-1)，(，0)，(，1); ,22y y,sinx1 ,3, , 22 0 ,x 2, y 2 -1 , ,33,x o , , 2222y y,cosx1 y,tanx ,3, 22 ,0 ,x 2, 11 2 -1 ,2y,sinxy,Asin(,x，,)的对称中心为();对称轴是直线; 的周期; x,k，k,0T,2,2y,Acos(,x，,)的对称中心为();对称轴是直线; 的周期; y,cosxx,k,k，,0T,2,y,Atan(,x，,)y,tanx的对称中心为点()和点(); 的周期; k，,0T,k,0,2y,Asin(,x，,)(A,0,0)(4)、函数的相关概念: 函数 定义域 值域 振幅 周期 频率 相位 初相 图象 ,12 , ,x，, -A，A A 五点法 x,Ry,Asin(,x，,) f, T,T2,y,Asin(,x，,)y,sinx的图象与的关系: ,1当A时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍 y,sinxy,Asinx?振幅变换: ,1当0,A时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍 1当,1时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍 ,1y,sinxy,sin,x?周期变换: 当0,1时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍 ,0当时，图象上的各点向左平移,个单位倍 当时，图象上的各点向右平移个单位倍 |,0,y,sinxy,sin(x，,)?相位变换: , ,0当时，图象上的各点向左平移个单位倍 ,y,Asin,xy,Asin(,x，,)?平移变换: 当时，图象上的各点向右平移个单位倍 |,0,y,sinx,0常叙述成: ?把上的所有点向左(时)或向右(时)平移|,|个单位得到,0y,sin(x，,); 1y,sin(x，,),10,1?再把的所有点的横坐标缩短()或伸长()到原来的倍(纵坐标不变),y,sin(,x，,)得到; Ay,sin(,x，,)A,1A,10,?再把的所有点的纵坐标伸长()或缩短()到原来的倍(横坐标不y,Asin(,x，,)变)得到的图象。 y,Asin(,x，,)先平移后伸缩的叙述方向: ,先平移后伸缩的叙述方向: y,Asin(x，),Asin(x，),12 10、反三角: 求角条件 x的值 x的范围 当x为钝角时 ，, () (反正弦) () sinx,a,1,a,1x,arcsinax,arcsina0,a,1,x,22，,x,0,() (反余弦) () ,1,a,1,1,a,0cosx,ax,arccosax,arccosa, () (反正切) () a,Ra,0tanx,ax,arctanax,，arctana,x,22,11、三角函数求值域 ,y,Asinx，By,sinxcosx(1)一次函数型:，例:， y,2sin(3x,)，51222y,asinx，bcosx,y,4sinx,3cosxa，b,sin(x，,)用辅助角公式化为:，例: y,sinx，cos2x(2)二次函数型:?二倍角公式的应用: y,sinxcosx，sinx，cosx?代数代换: 第五章、平面向量 1、空间向量:(1)定义:既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示。 (2)零向量:长度为0的向量叫零向量，记作;零向量的方向是任意的。 0ae,(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫单位向量;与向量平行的单位向量:; a|a|(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作;规定与任何向量平a/b0行; (5)相等向量:长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等; 任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。 2、向量的运算:(1)、向量的加减法: 向量的减法 向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 ab b bab a a，ba，b a ba,b ba a13 指向被减数 首位连结 (2)、实数与向量的积:?、定义:实数与向量的积是一个向量，记作:; ,a,a?:它的长度:; |,a|,|,|,|a|:它的方向:当，与向量的方向相同;当，与向量的方向相反;当时，?,0,0,0,aa,aa=; ,a03、平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对平面内的任一向量，有且e,ea12只有一对实数，使; a,e，,e,112212不共线的向量叫这个平面内所有向量的一组基向量，e,e 叫基底。 e,e1212，4、平面向量的坐标运算:(,)运算性质: a，b,b，a,a，b，c,a，b，c,a，0,0，a,a,(,)坐标运算:设，则 ，a,x,y,b,x,ya,b,x,x,y,y11221212,设A、B两点的坐标分别为(x，y)，(x，y)，则. ，AB,x,x,y,y11222121,(3)实数与向量的积的运算律: 设，则， ，a,x,ya,x,y,x,y,00ababcos,a0,b0,0,1800,a,0,(4)平面向量的数量积:?、 定义: ， . ,?、平面向量的数量积的几何意义:向量的长度|与在的方向上的投影|cos,的乘积; aabab,?、坐标运算:设,则 ; ，a,x,y,b,x,ya,b,xx，yy1122121222222,x，y|a|,a,a向量的模|:;模| ,x，yaaa,xx，yy1212cos,?、设是向量的夹角，则， ，a,x,y,b,x,ya11222222x，yx，y1122, b,a,b,0,a/b,a,b(,R)5、重要结论:(1)、两个向量平行的充要条件: ,a/b,设，则 ，a,x,y,b,x,yxy,xy,011221221,a,b,a,b,0(2)、两个非零向量垂直的充要条件: ,设 ，则 ，a,x,y,b,x,ya,b,xx，yy,01122121214 22|AB|,(x,x)，(y,y)(3)、两点的距离: ，Ax,y,Bx,y12121122,|PP|1(4)、P分线段PP的:设P(x，y) ，P(x，y) ，P(x，y) ，且 ，(即,) PP,PP1211122212|PP|2,xx，xx，,1212x,x,1，2则定比分点坐标公式 ， 中点坐标公式 ,yyyy，1212,yy,1，,2,',x,x，h,(5)、平移公式:如果点 P(x，y)按向量 平移至P(x，y)，则 ，a,h,k,',y,y，k.,111 6、解三角形:(1)三角形的面积公式: S,absinC,acsinB,bcsinA,222(2)在?中:， ABCA，B，C,180:sin(A，B),sinCcos(A，B),cosCtan(A，B),tanC因为:， ， A，B,180:,CA，BCA，BCA，BCA，BCsin(),coscos(),sintan(),cot,90:,因为:， ， 22222222(3)正弦定理，余弦定理 abc?正弦定理: ,2R,边用角表示:a,2RsinA,b,2RsinB，c,2RsinsinAsinBsinC222222a，b,c,aba,b，c,2bc,cosA222222b,a，c,2ac,cosBa，b,c,2ab?余弦定理:若:则: 2222222c,a，b,2abcosC,(a，b),2ab(1，cocC)a，b,c,3ab222222222bcaacbabc，,，,，,cosAcosBcosC求角: , 2bc2ac2ab第六章:不等式 a,b,b,a 1、不等式的性质:(1)、对称性:; a,b,b,c,a,c(2)、传递性:; a,b,c,d,a，c,b，d(3)、; a,b,a，c,b，ca,b,a,b,0,c,d,0,ac,bdc,0,ac,bcc,0,ac,bc(4)、若，若; y nnnn(5)、(没有减法、除法) a,b,0,a,b,a,b,(n,N,n,1)22a，b1、 均值不等式:(1)、 () ab,22a,a15 x a ,2a a，b2(2)、或 一正、二定、三相等 ab,()a，b,2ab21f(x),x，不满足相等条件时，注意应用函数图象性质(如图) x应用:证明(注意1的技巧)，求最值，实际应用 (3)、对于n个正数:， a,a,a？,a(n,2)123naaa，？，12nnaa？a那么:叫做n个正数的算术平均数，叫做n个正数的几何平均数; 12nn3、不等式的证明常用方法: a,b,0,a,b,a,b,0,a,b(1)比较法:?、作差:，(作差、变形、确定符号) aa?、作商: ,1(b,0),a,b(b,0),1(b,0),a,b(b,0)bb？,？;？,？;(2)综合法:由因到果，格式: ？，,？，,？，,？，(3)分析法:执果索因，格式:原式 (4)反证法:从结论的反面出发，导出矛盾。 4、不等式的解法:,不等式解集的边界值是相应方程的解, 2一元二次不等式(的系数为正数):,0时“>”取两边,“<”取中间 x绝对值不等式:含一个绝对值符号的:“>”取两边,“<”取中间 含两个绝对值符号的: 零点分段讨论法(注意取“交”，还是取“并”) 高次不等式的解法:根轴法 (重根:奇穿偶不穿) 分式不等式的解法:移项、通分、根轴法 |a|,|b|,|a，b|,|a|，|b|a|,|b|,|a,b|,|a|，|b|5、绝对值不等式: 例:(最小值) f(x),|2x,3|，|2x，5|,|3,2x|，|2x，5|,|3,2x，2x，5|,8f(x),|x，2|,|x,3|,|x，2|,|3,x|,|x，2，3,x|,5 (最大值) 第七章:直线和圆的方程 ,1、倾斜角和斜率:(1)倾斜角: ?、范围: ,0,180)?、定义:在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴饶交点按逆时针方向旋转到和,直线重合时的最小正角记为，则叫直线的倾斜角;当直线与和x轴平行或重合时，倾斜角为;当,0,直线与和x轴垂直时，倾斜角为9 0,o 216 (2)斜率:， k,tan,k,(,，,)当k,0时,arctank;当是特殊角的三角函数值时，直接写出角 k 当k,0时,，arctank当不是特殊角的三角函数值时，可用反三角表示斜率: ky,y21(3)直线上两点，则斜率为 k,P(x,y),P(x,y)111222x,x211直线的方向向量 PP,(x,x,y,y),或PP,(x,x,y,y),(1，k)122112122112x,x21PP,(1,k)所以直线的方向向量或 PP,(1,k)12122、直线方程:直线方程的五种形式(1)、点斜式:; y,y,k(x,x)11y,yx,x11,y,kx，b(