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高中数学讲义必修一第一章复习 知识点一集合的概念1集合：一般地，把一些能够_对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象_构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，来表示2元素：构成集合的_叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，来表示3空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .知识点二集合与元素的关系1属于：如果a是集合A的元素，就说a_集合A，记作a_A.2不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a_集合A，记作a_A.知识点三集合的特性及分类1集合元素的特性 _、_、_.2集合的分类：(1)有限集：含有_元素的集合；(2)无限集：含有_元素的集合3常用数集及符号表示名称非负整数集(自然数集) 整数集 实数集符号NN*或NZQR 知识点四集合的表示方法1列举法：把集合的元素_，并用花括号“”括起来表示集合的方法2描述法：用集合所含元素的_表示集合的方法称为描述法知识点五集合与集合的关系1子集与真子集 定义符号语言图形语言(Venn图)子集如果集合A中的_元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集_(或_)真子集如果集合A?B，但存在元素_，且_，我们称集合A是集合B的真子集_(或_) 2.子集的性质(1)规定：空集是_的子集，也就是说，对任意集合A，都有_(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即_(3)如果A?B，B?C，则_(4)如果AB，BC，则_3集合相等 定义符号语言图形图言(Venn图)集合相等如果集合A是集合B的子集(A?B)，且_，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等AB 知识点六集合的运算1交集自然语言符号语言图形语言由_组成的集合，称为A与B的交集AB_ 2并集自然语言符号语言图形语言由_组成的集合，称为A与B的并集AB_ 3.交集与并集的性质交集的运算性质并集的运算性质AB_AB_AA_AA_A?_A?_A?B?AB_A?B?AB_ 4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的_，那么就称这个集合为全集，通常记作_5补集文字语言对于一个集合A，由全集U中_的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作_符号语言?UA_图形语言 典例精讲题型一 * 判断能否构成集合1在“高一数学中的难题；所有的正三角形；方程x220的实数解”中，能够构成集合的是 。 题型二 * 验证元素是否是集合的元素1、已知集合，判断3是不是集合A的元素。2、集合A是由形如的数构成的，判断是不是集合A中的元素.题型三 * 求集合1方程组的解集是( )A. Bx，y|x3且y7 C3，7 D(x，y)|x3且y72下列六种表示法：x1，y2；(x，y)|x1，y2；1,2；(1,2)；(1,2)；(x，y)|x1或y2能表示方程组的解集的是( )A B C D题型四 * 利用集合中元素的性质求参数1已知集合Sa，b，c中的三个元素是ABC的三边长，那么ABC一定不是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形2.设a，bR，集合1，ab，a，则ba_.3.已知Px|2xk，xN，kR，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是_.4.已知集合A是由0，m，m23m2三个元素组成的集合，且2A，则实数m的值为( )A2 B3 C0或3 D0或2或3题型五 * 判断集合间的关系1、设,，则M与N的关系正确的是（ ）A. M=N B. C. D.以上都不对2判断下列集合间的关系：(1)Ax|x32，Bx|2x50；(2)AxZ|1x<3，Bx|x|y|，yA题型六 * 求子集个数1已知集合Ax|ax22xa0，aR，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为_2.已知集合A1，2，3，写出集合A的所有子集，非空子集，真子集，非空真子集题型七 * 利用两个集合之间的关系求参数1.已知集合A1,2，m3，B1，m，B?A，则m_.2已知集合A1,2，Bx|ax20，若B?A，则a的值不可能是( )A0 B1 C2 D3题型八 * 集合间的基本运算1下面四个结论：若a(AB)，则aA；若a(AB)，则a(AB)；若aA，且aB，则a(AB)；若ABA，则ABB.其中正确的个数为( )A1 B2 C3 D42已知集合Mx|3<x5，Nx|x>3，则MN( )Ax|x>3 Bx|3<x5 Cx|3<x5 Dx|x53已知集合A2，3，集合B满足BAB，那么符合条件的集合B的个数是( )A1 B2 C3 D44(2016·全国卷理，1)设集合Sx|(x2)(x3)0，Tx|x>0，则ST( )A2,3 B(，23，) C3，) D(0,23，)5下列关系式中，正确的个数为( )(MN)?N；(MN)?(MN)；(MN)?N；若M?N，则MNM.A4 B3 C2 D16(2016·唐山一中月考试题)已知全集Ux|x4，集合Ax|2<x<3，Bx|3x2，求AB，(?UA)B，A(?UB).题型九 * 根据集合运算的结果求参数1若集合A2,4，x，B2，x2，且AB2,4，x，则x_.2设Ax|x28x0，Bx|x22(a2)xa240，其中aR.如果ABB，求实数a的取值范围.3U1,2，Ax|x2pxq0，?UA1，则pq_.题型十 * 集合中的新定义问题1集合P3,4,5，Q6,7，定义P*Q(a，b)|aP，bQ，则P*Q的子集个数为( )A7 B12 C32 D642当xA时，若x1?A，且x1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M0,1,3的孤星集为M，集合N0,3,4的孤星集为N，则MN( )A0,1,3,4 B1,4 C1,3 D0,3知识点一函数的有关概念知识点二两个函数相等的条件1定义域_2_完全一致知识点三区间的概念及表示1一般区间的表示设a，bR，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间 x|a<x<b开区间 x|ax<b半开半闭区间 x|a<xb半开半闭区间 2.特殊区间的表示定义Rx|xax|x>ax|xax|x<a符号(，)a，)(a，)(，a(，a) 知识点四函数的表示方法函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法知识点五分段函数如果函数yf(x)，xA，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的_，那么称这样的函数为分段函数分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的_，值域是各段值域的_知识点六映射的概念设A，B是两个_，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_，在集合B中都有_确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射知识点七函数的单调性1增函数、减函数：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数2函数的单调性：若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间3单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)g(x)仍为增(减)函数；若函数f(x)为增(减)函数，则f(x)为减(增)函数；若函数f(x)为增(减)函数，且f(x)>0，则为减(增)函数知识点八函数的最大值、最小值最值类别最大值最小值条件设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足(1)对于任意的xI，都有_(2)存在x0I，使得_(1)对于任意的xI，都有_(2)存在x0I，使得_结论M是函数yf(x)的最大值M是函数yf(x)的最小值 性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值知识点九函数的奇偶性1函数奇偶性的概念 偶函数奇函数条件对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)f(x)f(x)结论函数f(x)是偶函数函数f(x)是奇函数 2.性质(1)偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称，奇函数在原点有定义，则f(x)=0(2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数知识点十函数的周期性若存在非零常数T，对定义域内任意x，都有，称这样的函数为周期函数，T叫函数的一个周期。典例精讲题型一 * 函数的定义域1函数f(x)ln(x3)的定义域为( )Ax|x>3 Bx|x>0 Cx|x>3 Dx|x32函数f(x)的定义域为( )A(3,0 B(3,1 C(，3)(3,0 D(，3)(3,13.函数的定义域为 （ ）A B C D4.已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则m的取值范围是（ ）A.0<m4 B.0m1 C.m4 D.0m45、若函数的定义域是1，4，则的定义域是 6、若函数的定义域是1，2，则的定义域是 题型二 * 函数概念的考察1下列图象中，不可能成为函数yf(x)图象的是( )2 下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A.y=和 B.y=ln和C. D. 3 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A. BC D4 已知函数y=定义域为，则其值域为 题型三 * 分段函数的考察1、已知函数，则A.4 B. C.-4 D-2、已知函数f(x)若f(a)a，则实数a_. 3、设函数则不等式的解集是（ ）A. B. C. D.4、已知函数若则实数的取值范围是（ ）A B C D 题型四 * 函数图像的考察1、设,二次函数的图像可能是2、函数y=2x -的图像大致是3、函数的图像大致为 ( )4、已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 （ ）A. 在时刻，甲车在乙车前面 B. 时刻后，甲车在乙车后面C. 在时刻，两车的位置相同 D. 时刻后，乙车在甲车前面题型五 * 求函数的解析式1、求下列函数的解析式1 已知2 3 已知f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).4 已知f(x)满足求f(x).2、已知f(x)为奇函数，x>0, f(x)=x2+x,求f(x)解析式3、设是奇函数，是偶函数，并且，求。题型六 * 函数的值域与最值1、函数，的值域为 2、求函数 的最大值和最小值。3、求函数 的最大值和最小值。题型七 * 函数性质的考察1、写出函数的单调递减区间 2、设二次函数f(x)=x2-(2a+1)x+3(1)若函数f(x)的单调增区间为，则实数a的值_；(2)若函数f(x)在区间内是增函数，则实数a的范围_。3、定义在上的奇函数，则常数_,_4、已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为（ ）A B C D5、函数的图像 （ ）A.关于原点对称 B.关于主线对称 C .关于轴对称 D.关于直线对称6、函数的图象（ ）A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称7、定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,则 （） A. B. C. D. 8、已知偶函数在区间单调增加，则满足的x 取值范围( )（A）（，） B.，） C.（，） D.，）9、定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则 ( )(A) B. C. D.10、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 ( )A.0 B. C.1 D. 11、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则 12、已知函数f(x)的图象经过点(1,3)，并且g(x)xf(x)是偶函数(1)求函数中a、b的值；(2)判断函数g(x)在区间(1，)上的单调性，并用单调性定义证明基本初等函数、方程的根与函数的零点 知识点一指数函数（1）根式的概念：如果，且，那么叫做的次方根（2）分数指数幂的概念：正数的正分数指数幂的意义是：且0的正分数指数幂等于0正数的负分数指数幂的意义是：且0的负分数指数幂没有意义（3）运算性质： （4）指数函数函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象 定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低 知识点二对数函数（1）对数的定义：若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化： （2）几个重要的对数恒等式：，（3）常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中）（4）对数的运算性质 如果，那么加法： 减法：数乘： 换底公式：（5）对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对 图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高 知识点三幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数（2）幂函数的图象过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点知识点四 函数与方程1、函数零点的定义（1）对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。（2）方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点（3）变号零点与不变号零点若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。（2）函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法 代数法：函数的零点的根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。（3）零点个数确定有2个零点有两个不等实根； 有1个零点有两个相等实根；无零点无实根；对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定.1、 二分法（1）二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分法求方程的近似解的步骤: 确定区间,验证,给定精确度;求区间的中点;计算;()若,则就是函数的零点;() 若,则令(此时零点);() 若,则令(此时零点);判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复至步.典例精讲题型一 * 有关幂函数定义及性质1、函数是一个反比例函数，则m= .2、在函数y=x3 y=x2 y=x-1 y=中，定义域和值域相同的是 .3、将，按从小到大进行排列为_题型二 * 指数函数及其性质1、函数且的图像必经过点 2、 比较下列各组数值的大小：（1） ； （2） ；3、函数的递减区间为 ；值域是 4、设，求函数的最大值和最小值。5、设都是不等于的正数，在同一坐标系中的图像如图所示，则的大小顺序是 A B C D 题型三 * 指数函数的运算1、计算的结果是（）A、B、C、 D、2、等于（）A、 B、C、 D、3、若，则= 。题型四 * 对数运算166.116.17期末总复习1、求值(1) 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数) ； 2、已知描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”本册教材在第五单元之后安排了一个大的实践活动，即“分扣子”和“填数游戏”。旨在综合运用所学的知识，从根据事物的非本质的、表面的特征把事物进行分类，发展到根据客观事物抽象、本质的特征进行不同方式的分类，促进孩子逻辑思维能力的发展。同时，安排学生填数游戏，旨在对孩子的口算能力、逻辑思维能力和观察能力的训练，感受数学的乐趣!，那么推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.64.24.8生活中的数3 P30-35用tanA是一个完整的符号，它表示A的正切，记号里习惯省去角的符号“”；cos表示是（）A、 B、2、会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。 C、2.正弦： D、3、已知，那么等于（）A、B、C、D、题型五 * 对数函数及其性质1、指数函数且的反函数为 ；它的值域是 2、已知，则 ( )3、，的大小关系是 4、已知0 ，（0，1），则的取值范围是 .5、函数 （0，且1）的图像必经过点 6、已知y=loga(2ax)在0，1上是关于x的减函数，则a的取值范围是 （ ） A（0，1） B（1，2） C（0，2） D题型六 * 零点区间的判断1、函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是（ ） A、(2，1) B、(1,0) C、(0,1) D、(1,2)2、函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 （ ） A、 B、 C、 D、(1,2)3、设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是（ ） A、0,1 B、1,24、在下列区间中，函数的零点所在的区间为 （ ） A、 B、 C、 D、5、若是方程的解，则属于区间 （ ） A、 B、 C、 D、题型七 * 零点个数的判断1、方程的实数解的个数为 .2、函数的零点个数为 .3、函数在区间0,4上的零点个数为 （ ） A、4 B、5 C、6 D、74、函数在内 （ ）A、没有零点 B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点5、函数， 零点个数为 （ ）A、3 B、2 C、1 D、06、若函数(且)有两个零点，则实数的取值范围是 .7、若函数有3个不同的零点,则实数的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、题型八 * 二分法求函数零点1、下列函数中能用二分法求零点的是 （ ）2、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 （ ）3、设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区（ ）A、 B、 C、 D、不能确定4、用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点 ，第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 （ ）A、（0，0.5）， B、（0，1），C、（0.5，1）， D、（0，0.5），5、若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1) = 2f (1.5) = 0.625f (1.25) = 0.984f (1.375) = 0.260f (1.4375) = 0.162f (1.40625) = 0.054 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为 （ ）A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5
