最新高中数学解题常用思想方法---分类讨论思想方法优秀名师资料.doc

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。高中数学解题常用思想方法-分类讨论思想方法135.215.27加与减（三）4 P75-80高中数学解题常用思想方法-分类讨论30 o45 o60 o思想方法 话题:情况 函数 教育学习 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面:? 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a,0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。? 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q,1和q?1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。? 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a,0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果;最后进行归纳小结，综合得出结论。?、再现性题组:1(集合A,x|x|?4,x?R，B,x|x,3|?a，x?R，若A B，那么a的范围是_。A. 0?a?1 B. a?1 C. a<1 D. 0<a<12.若a>0且a?1，p,log (a ，a，1)，q,log (a ，a，1)，则p、q的大小关系是_。A. p,q B. p<q C. p>q D.当a>1时，p>q;当0<a<1时，p<q3.函数y, ， ， ， 的值域是_。4.若?(0, )，则 的值为_。A. 1或,1 B. 0或,1 C. 0或1 D. 0或1或,15.函数y,x， 的值域是_。A. 2,+?) B. (-?,-2?2,+?) C. (-?,+?) D. -2,26.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_。A. B. C. D. 或7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_。A. 3x,2y,0 一、指导思想：B. x，y,5,0 C. 3x,2y,0或x，y,5,0 D.不能确定【简解】1小题:对参数a分a>0、a,0、a<0三种情况讨论，选B;2小题:对底数a分a>1、0<a<1两种情况讨论，选C;3小题:分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案4,-2,0;4小题:分, 、0<< 、 << 三种情况，选D;5小题:分x>0、x<0两种情况，选B;6小题:分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D;7小题:分截距等于零、不等于零两种情况，选C。?、示范性题组:例1. 设0<x<1，a>0且a?1，比较|log (1,x)|与|log (1，x)|的大小。【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。【解】 ? 0<x<1 ? 0<1,x<1 , 1，x>1? 当0<a<1时，log (1,x)>0，log (1，x)<0，所以|log (1,x)|,|log (1，x)|,log (1,x),log (1，x),log (1,x )>0;? 当a>1时，log (1,x)<0，log (1，x)>0，所以|log (1,x)|,|log (1，x)|,log (1,x) ,log (1，x),log (1,x )>0;由?、?可知，|log (1,x)|>|log (1，x)|。【注】本题要求对对数函数y,log x的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0<a<1时其是减函数。去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性;最后差值的符号判断，也用到函数的单调性。例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A?B含|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数: ?. C A?B且C中含有3个元素; ?. C?A? 。【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类:?属于A 元素;?不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。【解】 C ?C ，C ?C ，C ?C ,1084【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C ,C ,1084。例3. 设a 是由正数组成的等比数列，S 是前n项和。 ?. 证明: <lgS ; ?.是否存在常数c>0，使得 ,lg(S ,c)成立,并证明结论。(95年全国理)【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形;再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q,1和q?1两种情况。【解】 设a 的公比q，则a >0，q>0?(当q,1时，S ,na ，从而S S ,S ,na (n，2)a ,(n，1) a ,a <0;当q?1时，S , ，从而S S ,S , , ,a q <0;由上可得S S <S ，所以lg(S S )<lg(S )，即 <lgS 。?. 要使 ,lg(S ,c)成立，则必有(S ,c)(S ,c),(S ,c) ,分两种情况讨论如下:当q,1时，S ,na ，则(S ,c)(S ,c),(S ,c) ,(na ,c)(n，2)a ,c,(n，1)a ,c ,a <0当q?1时，S , ，则(S ,c)(S ,c),(S ,c) , ,c ,c, ,c ,a q a ,c(1,q)? a q ?0 ? a ,c(1,q),0即c,而S ,c,S , , <0 ?对数式无意义由上综述，不存在常数c>0, 使得 ,lg(S ,c)成立。【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为:证明 >log S ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减。例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。例4. 设函数f(x),ax ,2x，2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数a的取值范围。1 4 x1 4 x【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。【解】当a>0时，f(x),a(x, ) ，2,? 或或? a?1或 <a<1或 即 a> ;当a<0时， ，解得;当a,0时，f(x),2x，2, f(1),0，f(4),6， ?不合题意由上而得，实数a的取值范围是a> 。【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a,0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。是“数形结合法”的运用。例5. 解不等式 >0 (a为常数，a?, )【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a，1的符号和两根,4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a,0、, <a<0、a<, 分别加以讨论。【解】 2a，1>0时，a>, ; ,4a<6a时，a>0 。 所以分以下四种情况讨论:当a>0时，(x，4a)(x,6a)>0，解得:x<,4a或x>6a;当a,0时，x >0，解得:x?0;当, <a<0时，(x，4a)(x,6a)>0，解得: x<6a或x>,4a;当a>, 时，(x，4a)(x,6a)<0，解得: 6a<x<,4a 。综上所述，当a>0时，x<,4a或x>6a;当a,0时，x?0;当, <a<0时，x<6a或x>,4a;当a>, 时，6a<x<,4a 。【注】 本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。例6. 设a?0,在复数集C中，解方程:z ，2|z|,a 。 (90年全国高考)【分析】由已知z ，2|z|,a和|z|?R可以得到z ?R，即对z分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解。【解】 ? |z|?R，由z ，2|z|,a得:z ?R; ? z为实数或纯虚数当z?R时，|z| ，2|z|,a,解得:|z|,1， ? z,?(,1， );当z为纯虚数时，设z,?y, (y>0)， ? ,y ，2y,a 解得:y,1? (0?a?1)由上可得，z,?(,1， )或?(1? ),【注】本题用(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。标准解法(设z,x，y,再代入原式得到一个方程组，再解方程组)过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。【另解】 设z,x，y,，代入得 x ,y ，2 ，2xy,a;?当y,0时，x ，2|x|,a，解得x,?(,1， )，所以z,?(,1， );当x,0时，,y ，2|y|,a，解得y,?(1? )，所以?(1? ),。由上可得，z,?(,1， )或?(1? ),【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住2xy,0而分x,0和y,0两种情况进行讨论求解。实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想。例7. 在xoy平面上给定曲线y ,2x，设点A(a,0)，a?R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 (本题难度0.40)【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x?0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。【解】 设M(x,y)为曲线y ,2x上任意一点，则|MA| ,(x,a) ，y ,(x,a) ，2x,x ,2(a,1)x，a ,x,(a,1) ，(2a,1)由于y ,2x限定x?0，所以分以下情况讨论:当a,1?0时，x,a,1取最小值，即|MA ,2a,1;当a,1<0时，x,0取最小值，即|MA ,a ;综上所述，有f(a), 。【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x?0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d,f(a)的函数表达式。?、巩固性题组:1. 若log <1，则a的取值范围是_。A. (0, ) B. ( ,1) C. (0, )?(1,+?) D. ( ,+?)2. 非零实数a、b、c，则 ， ， ， 的值组成的集合是_。A. -4,4 B. 0,4 C. -4,0 D. -4,0,43. f(x),(a,x)|3a,x|，a是正常数，下列结论正确的是_。A.当x,2a时有最小值0 B.当x,3a时有最大值0C.无最大值，且无最小值 D.有最小值但无最大值4. 设f (x,y),0是椭圆方程，f (x,y),0是直线方程，则方程f (x,y)，f (x,y),0 (?R)表示的曲线是_。A.只能是椭圆 B.椭圆或直线 C.椭圆或一点 D.还有上述外的其它情况5. 函数f(x),ax ,2ax，2，b (a?0)在闭区间2,3上有最大值5，最小值2，则a、b的值为_。A. a,1,b,0 B. a,1，b,0或a,1,b,3C. a,1，b,3 D. 以上答案均不正确6.方程(x ,x,1) ,1的整数解的个数是_。A. 1 B. 3 C. 4 D. 57. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_。A. 7 B. 6 C. 5 D. 48.z弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。?C，方程z ,3|z|，2,0的解的个数是_。A. 2 B. 3 C. 4 D. 59.复数z,a，a, (a?0)的辐角主值是_。10.解关于x的不等式: 2log (2x,1)>log (x ,a) (a>0且a?1)11.设首项为1，公比为q (q>0)的等比数列的前n项和为S ，又设T , ，求 T 。12. 若复数z、z 、z 在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且|z|,2，求z 。13. 有卡片9张，将0、1、2、8这9个数字分别写描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。14. 函数f(x),(|m|,1)x ,2(m，1)x,1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。