导数在不等式中的应用.docx
精心整理4.7导数在不等式证明中的应用一、利用单调性证明不等式 单调性本身就是体现了不等式关系，因而利用单调性来证明不等式便是顺理成章的事.在4.4中，我们利用导数的符号就能判断函数的单调性。例 1. 设 e<a<b<e2,证明 ln2 b -ln2a >-42 (b -a). e分析：ln2b - 2b ln2a-2a, (b a)ee证 1： 设 中(x)=ln2x-&x, 则 (x) = 2小。， ex e,芦 “(x) =212,当 xe时，"(x)<0, x故(x)单调减小.从而，当 x<e2 时，叫x)>(e2)=W-4=0,e eT(x)单调增加.平(b) *(a) ,一.即ln2 b-g b a ln2 a-ga ,故不等式成立.ee注：有时需要多次使用导数符号判断单调性.证 2 分析：ln b -ln a =2n >-4",(e < a < - < b < e2)b -ae- . IX 我s*/国4ln2bln2a ” 2 o ln / 声 2、因为=(ln x) r = 2- ,(e<a<<b<e)b -a一,二 0,(x >e),工n x、1 - ln x而()二x x从而,c ln c ln e24一ln2 b - ln2 a 4 e注：综合使用中值定理和单调性.例 2 证明x <sinx < x,xe fo,二2八2 sin x，冗)分析： <<1, X |0,-n xI 2)证令f(x产亚,XE(0,1x2xcosx -sin x cosx xTanxf ' x =2=20, 0 :二 x :二一x x 2从而 f x = sin-x 在 x (0,x,单调减少,0) +f I- < f (x)< f (0+)2.八二x : sin x : x, x ：- 10， .二2二、利用中值定理证明不等式1、利用Lagrange中值定理证明不等式设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则有f-f叽向,Wa,b)于是,我 b - a们依据关于f(x)的，得到不等式. 如：(1) A"(x)EB (a<x<b),(2) f'(x)单调，(a<x<b)r 丁i (3) 如果 | f (x) |<M, (a <x <b)I二“，例 3 证明：当 x >0时，-x <ln(1 +x) <x.1 x分析：1 ：二1n(1 "1 x x证注意到ln1 = 0 ,故可将不等式组变形为对函数f (x) =lnx在1,1 + x(x>0)上利用拉格朗日中值定理，于是，存在江(1,1 + x),由于乙<E故*e卜1，即2、利用柯西中值定理证明不等式设f(x), g(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且g'(x) *0(a <x<b),则存在/(a,b),使得f(b) -f(a) f () g(b) -g(a) - g ()如果N <f-()- <M(a <x<b),则可建立相应不等式 g(x)例4设当x ”0时，5(x) >0,且| f'(x)区叫x),证明：当x 2x0时,| f(x)-f (xo)|< :(x)- :(xo)(4.7.1)分析：=>:"%11p (x)|中(x)-中(xo)证 当x=x0时，式(4.7.1)的等号成立.当x>x0时，有中(x) A中(x0).由柯西中值定理知，存在之W(x0,x),使得考虑到中(x) A0,故中(x)单调增加，有综上可知，当x之七时，式(4.7.1)成立.3、利用泰勒中值定理证明不等式由泰勒公式或马克劳林公式可知，如果涉及具有二阶或更高阶导数，可考虑借 助于函数的泰勒公式或马克劳林公式来证明，如果是已知最高阶导数的取值范围时,可用此条件来估计有关的量，从而可以证明某些不等式.例5设函数f(x)的二阶导数f"(x)A0,且limf(x)=1，证明f (x) >x.x x解 由于函数f(x)且具有一阶导数且iim23=1，故得f(0)=0,f(0)=1 , x Q x利用函数f(x)一阶马克劳林公式：f ( ) c f ( ,)f(x) = f (0) + f (0)x 十x =x+x , 其中 己 介于 x 与 0N间，22f ( ) 0,.所以f (x) - x.例6 设函数f(x)在0,1上二阶可导,f(0) = f(1),且|f"(x)产2.试证证 注意到条件中含有高阶导数，故我们对函数f(t)在t = x点处用一阶泰勒公式:精心整理分别将t=0, t=1代入上式，注意到f (0)=f (1),两式相减，整理得到因此，三、利用凹凸性证明不等式曲线的凹凸性反映的也是不等关系:i'X1 +x2”为广 f。2)或 f l'i +x2f (X1 )+f (x2).22. 22如果可以从r(x)的符号判断曲线是凹或者凸的，则对应上面的不等式就一定成立.例7 证明 当x, y A0,x # y,n >1日寸，证 设函数f (t产tn,则因此当t >0, f (t)的图形是凹的.根据定义，有例8证明当0<x<n时，有sin'>二.2 二证 设 f (x) =sin x-二，有- 二2 二则曲线y = f (x )在(0* )内是凸的.又f (0)= f(n) = 0,所以当0<x<n时，点(0,0)和(町0 )所连的弦在曲线y=f(x)的下方，即f(x)>0,从而sidY.2 二四、利用最值证明不等式 , 1最值关系本身也是不等关系，因此要证明f(x)EM或f(x)主m(xw I),则只需证明 一r 1nn例 9 证明-r<xp +(1 -x)p <1,(0<x<1, p >1).2p证 令f (x)=xp+(1-x)p,显然f (x)在0,1上连续,故f(x)在0,1上有最大值 M ,最 小值m .又由于f(x) = pxp二-p(1-x严,令ftx)=0,得驻点X1=2，另有区间端点x2 = 0,x3=1,比较精心整理得f (X )的最大值M = f (0户f (1 )=1,最小值,11m=f(2卜产.因此，当"°时,2r< xp (1 -x)p <1.例 10 证明 ln x之1(x>0). x、人1r证 令 f (x) =ln x+,x >0.由 x得惟一驻点x=1.又，当0 <x <1时f '(x )<0, f (x )单调减少；当x>1时，f'(x»0, f(x)单调增加.因此，函数f(x )在点x=1处取得最小值，最小值为 "1)=1,所以当x>0时，有f(x)>1,即ln x + >1./ " J 广"jfx4.8*组合恒等式与相关变化率
