2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：第三章空间向量与立体几何测试卷.docx

第三章空间向量与立体几何测试卷一、选择题1 .下列各组两个向量中，平行的一组向量是()A. a=(1, 2,3), b=(1,2,1)B. a=(0, 3,3), b=(0,1, 1)3C. a=(0, 3,2), b= 0, 1, -2 1c.3D. a = 1, 一2，3，b= 2, - 1, 2解析：对于B,因为a=(0, - 3,3)=- 3(0,1, - 1)=- 3b,所以两个向量平行, 而对于A, C, D不存在实数 N使得a=不，所以两个向量不平行，故选 B. 答案：B2.已知点 A(4,1,3), B(2,C的坐标为() 5,1), C为线段AB上一点且1=1,则点 |AB| 37A. 2,1 52' 210C. W 35D. 2,3一83-27 一 2解析：,C 为线段 AB 上一点，且 3|AC|= |AB|,aC = AB, -(OC=OA+3aB=(4,1,3) + 3(-2, 6, -2)= 1f, T, 7 .答案：C3.已知 a=(2,1,3), b=(1,2,1),若 a1(a- ?b),则实数 入的值为()14A. 2 B 5C.一差 D. 2 3解析：a- ；b=(-2,1,3)-(- Z, 2Z,4=(L 2,12% 3九 a=( 2,1,3),若 a，(a，则一2(入一2)+12 入+ 3(3 =0,解得 壮 2. 答案：D4.正方体ABCDA1B1C1D1中，N为BB1中点，则直线AN与B1C所成角的余弦值为,5A.10b.C.3 .'1010D.,10 10解析：如图，以D为坐标原点，分别以 DA, DC, DD1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系,设正方体棱长为 2,则 A(2,0,0), N(2,2,1), C(0,2,0), Bi(2,2,2),-7、一 ，.则NA = (0, 2, 1), BiC = ( 2,0, 2),记直线 AN 与 BiC 所成角为也nrt AN BhC2 衣则 cos 0= (=T = 27.-|AN|B?C| 乖义 2班答案：D5 .下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是()A.点 P(1, 1,0)、Q(1,2,3)的距离为(1-1)2+(-1-2)2+(0-3)2=18B.点A(-3, 1,4)与点B(3, 1, 4)关于y轴对称C.点A(-3, 1,4)与点B(3, 1, 4)关于平面xOz对称D.空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分 解析：对于 A,点 P(1, 1,0)、Q(1,2,3)的距离为11 2+ 12 2+ 03 2=372, A错误；对于B,点A(3, 1,4)与B(3, 1, 4)关于y轴对称，B正确；对于C,点A(-3, 1,4)与B(3, 1, -4)不关于平面xOz对称，C错误；对于D,空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，D错误.故选B.答案：B6 .已知二面角 a- l- 3,其中平面 a的一个法向量 m = (1,0, 1),平面3的一个法向量 n=(0, 1,1),则二面角 al 3的大小可能为()A. 60° B. 120°C. 60°或 120° D, 135°解析：m= (1,0, 1), n = (0, 1,1),设m与n之间的夹角为 0cos e= "m-n-= 1 厂=10 < 180 ；0= 120 °|m| |n| V2X V22，二面角al 3的大小可能为60°和120°.答案：C7.若直线l的方向向量 a=(1,2, 1),平面a的一个法向量 m = (-2, 4, k),若l, a, 则实数k=()A. 2 B. - 10C. - 2 D. 10解析：I，a,，l的方向向量a=(1,2, 1)与平面的法向量 m=(2, 4, k)共线.一，故选A项.1 = 2 入k=2，a=加，即2= 4入,解得- 1 = k 入答案：A8.已知a=(2, 3,1),则下列向量中与 a平行的是()A. (1,1,1) B. (-4,6, -2)C. (2, 3,5) D. (-2, 3,5)解析：若 b = ( 4,6, 2),则 b= 2(2, 3,1) = 2a,所以 all b.故选B.答案：B-，一一一，一 、一，29.若向量a= (1,0, z)与向量b= (2,1,2)的夹角的余弦值为则z=()A. 0 B. 1C. 1 D. 2解析：.向量a=(1,0, z)与向量b= (2,1,1)的夹角的余弦值为2,3a,b=他|a| |b2+2z2=/= 3,解得z=0.故选A.+ z2 4+1 + 4 3答案：10.若平面夹角的余弦是(A.C.70 To-7014B.D.的法向量为 m= (3,2,1),平面 3的法向量为n2=(2,0, ),70.而,70.141),则平面a与3解析：由题 |n1|=超32+ 22+ 12 =414, |n2|= 22 + 02+ - 1 2 =V5,7014n1 n23X2 + 2X0+1X -1所以 cosn1, n2> = ；-：=r= r=|n1| 阳V14XV5故平面a与3夹角的余弦是 噜，故选D.答案：D.一 一 、_.一 f riL11.如图，M是三棱锥P ABC的底面 ABC的重心.若PM=xAP+yAB+zAC(x、y、zC R),则x + y+z的值为(B. 1d-22A.o31C- -3解析：如图，连结PM, AM,M是三棱锥 PABC的底面 ABC的重心，. . AM=1(AB + AC),3、 f5M = PA+ AlM = -AP + 1AB + 1AC, 33PM = xAP + yAB + zAC(x> y、xC R), ，x=1, y=z=g,31 一，x + y+z= 3.故选 C.答案：C12.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为线段 A1C1的中点，则异面直线 DE与B1C 所成角的大小为()A. 15° B. 30°C. 45° D. 60°解析：分别以DA, DC, DD1所在的直线为x, v, z建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,可得 D(0,0,0), E(1,1,2), Bi(2,2,2), C(0,2,0), 所以 DE = (1,1,2), BiC=(-2,0, 2),所以 cos DE, BiC>DE BiC |DE| |BiC|1X 2 +iX 0 + 2X -2 亚,32，a/6x2亚2，所以异面直线DE和BiC所成的角的余弦值为所以异面直线DE和BiC所成的角为30°,故选B.答案：B二、填空题13 .已知直线l与平面“垂直，直线l的一个方向向量为 u = (1,3, z),向量v = (3, -2,1) 与平面a平行，则Z=.解析：已知平面a的法向量为U=(1,3, Z),又V与平面a平行，U V= 1X3 + 3X(2) + zx 1 = 0,解得 z= 3.答案：314 .如图，在四棱锥 PABCD中，底面ABCD为菱形，/BAD=60°,侧棱PA，底面 ABCD , AB=V3, PA=2,则异面直线 AC与PB所成角的余弦值为 .解析：由题意，以OA,OB分别为x轴，y轴，以过。点平行与PA的直线为z轴建立空间直角坐标系，则3A 2，0330 , P 2，0, 2 ,所以 OA=0, 0 , PB =设AC与PB所成的角为0,则 cos所以AC与PB所成的角的余弦值为答案:警_ |<Oa PB| _370= 一 一 = 14，|OA| |PB|3 ；14 .15 .如图，在直三棱柱中 ABC-AiBiCi, /BAC=90°, AB=AC=AAi=1,已知 G 和 E 分别为Ai Bi和CCi的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若DG，EF , 则线段DF长度的取值范围为 .解析：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，11则 A(0,0,0), E(0,1,万)，Gy, 0,1), F(x,0,0), D(0, y,0),由于 GDXEF,则 GD EF=0,所以 x+ 2y-1=0,所以 DF = (x, - y,0)=(-2y+1, y,0), 0<x<1 ,-0<y<2所以 |DF| = q以+ y2+ 02 = q5y24y+1 = yj5 y-| 2+,21当y=5时，线段DF长度的最小值是 A，当y=0时，线段DF长度的最大值是1, 而不包括端点，故 y= 0不能取；故答案为答案:16 .在空间直角坐标系中，点 P(0,0,1)为平面ABC外一点，其中A(1,1,0), B(0,2,3),若面ABC的一个法向量为n = (1, m,1),则点P到平面ABC的距离为 解析：. 西=(1,1,3), n AB = 0, m=- 2,一=(1,1, 1),.P到平面ABC的距离为d =|n PA| 2=V6=ni答案：6T3三、解答题ABCD 为矩形，PA=AD=AB=2, M , N 分别为 AB,17 .如图，已知 PA，平面ABCD,PC的中点.求证：(1)MN /平面PAD;(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值.1解析：(1)取 PD 中点 Q,连接 AQ, QN,则 QN / DC, QN = DC,又因为 AM / DC, AM 1= 2DC,所以四边形 AMNQ为平行四边形，所以 MN/AQ,因为MN?平面PAD, AQ?平面 FAD,所以 MN /平面FAD;(2)建立空间直角坐标系如图，因为PA = AD=AB = 2,所以P(0,0,2), D(0,2,0), M(1,0,0), 一 ，一，C(2,2,0), PD=(0,2,2), PM=(1,0,2), PC=(2,2,2).设平面PMC 法向量为n= (x,-7，I人一，、，一v, z),则 n PC=0, n PM = 0,解得 x=2z, y= z,令 z= 1,则 n=(2, 1,1).设 PD 与平_ -、.fx/3面 PMC 所成角为 a 则 sin 9= |cos PD, n> 1= .18.如图，四棱锥 S-ABCD的底面是直角梯形， AB/CD, / BAD = / ADC = 90°, SD± 平面 ABCD, M 是 SA 的中点，AD = SD=CD = 2AB=2.(1)证明：DM，平面SAB;(2)求二面角 A-SB- C的大小；解析：SD，平面 ABCD, AB?平面 ABCD ,ABXSD,又 ABAD, SDAAD = D,，AB，平面 SAD.-.DM ±AB, -，AD=SD = 2, M 是 SA 的中点，.DMSA,又 SAP AB = A, . DM，平面 SAB.(2) DA, DC, DS两两互相垂直，以 DA, DC, DS所在直线分别为 x轴，y轴，z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz,则S(0,0,2), B(2,1,0), C(0,2,0), M(1,0,1),取ni= DM = (1,0,1)为平面SAB的一个法向量，设n2 = (x, y, z)为平面SBC的一个法向量, SB=(2,1 -2), SC= (0,2, 2),则n2 SB= 0,2x+ y-2z=0,11n2 SC= 02y- 2z= 011x= 2，y= 1，z= 1， n2= 2.cos ni,19.在矩形n1 n2n2=|m|n2|1 2+12奇，由图形得：求二面角 A-SB- C的大小为135.ABCD中，AB= 1 , AD=2, E为线段 AD的中点，如图1,沿BE将 ABE折起至 PAE,使BPXCE,如图2所示.(1)求证：平面 PBEL平面BCDE;(2)求二面角C-PD-E的余弦值.解析：(1)证明：在图 1 中连接 EC,贝U/AEB= /CEB = 45°, Z BEC = 90°, BEXCE. . PBXCE, PBAPE=P,，CE，平面 PBE, . CE?平面 BCDE,.平面 PBEL 平面 BCED.(2)解：取 BE 中点 O,连接 PO, PB=PE, POXBE,平面 PBEL 平面 BCDE,，PO,平面 BCDE.以O为坐标原点，以过点。且平行于CD的直线为x轴，过点。且平行于BC的直线为y轴,直线PO为z轴,建立如图所示的直角坐标系，则11B 2, 2， 0 ， E1 12' 2,0 ,1 C2,32, 01 3,D2,0 , P 0, 0,孚，12'-斗，DE = (0,1,0),CP =13 亚 一 一一 ，一-, CD = (-1,0,0).设平面 PDE 的法向量为 m=(x1, y1，zi),平面 PCD 的法向量为 n = (x2, y2, z2),一 11 血m PE = -2X1 + 2y1- 2 Z1 = 0, 由m DE = -y1=0, 可得 m= (2,0, 72);一 13 啦n CP = 2X22丫2+ 2 z2= 0, 由n CD = X2 = 0,可得n= 0, 3，娘；3则cosm, n > = m n ="33,由图形知二面角 CPD E的平面角为钝二面角， |m| |n|11所以二面角CPD E的余弦值为一 暗20.如图，四边形 ABEF 是矩形，AD / BC, ABXBC,且 AB=BC=2, AD=AF=1, CF =3.(1)证明：AFL平面 ABCD;(2)求二面角A-DF C的余弦值.解析：(1).AC= 22+ 22 =22, -AC2+AF2= (22)2+12=9= CF2,即 AC2+AF2=CF2, ./ FAC= 90°,即 FAX AC.四边形 ABEF为矩形，AFXAB.,. ABnAC = A, AB, AC?平面 ABCD , .AF，平面 ABCD.(2) / AD / BC, ABXBC, /.ABI AD,-. AF ±AB, AF AAD = A,，AB，平面 ADF ,.AB, AD, AF两两互相垂直，建立如图空间直角坐标系，则A(0,0,0), B(2,0,0), C(-2, 2,0), D(0,1,0), F(0,0,1),n FC=0,n FD = 0取y=2,则x=1, z= 2, n = (1,2,2), . |cos < AB|AB n|n|= 一 = r|AB| |n I 2y|-2+0 + 0|12+22+2213'FC=(-2,2, 1),品=(0,1, - 1) . AB，平面 ADF ,平面ADF的一个法向量 AB= (-2,0,0)设平面的FCD 一个法向量为 n=(x, v, z),则2x+ 2y- z= 0,即，y z= 0二面角ADF C的余弦值为一3.FAD,平21 .如图，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面为正三角形，且平面 面 ABCD, E 为 PD 中点，AD = 2.证明：平面 AEC，平面PCD;(2)若二面角A-PC-E的平面角。满足cos仁平，求四棱锥P ABCD的体积.解析：(1)取AD中点为O, BC中点为F,由侧面PAD为正三角形，且平面 PAD，平面 ABCD知PO,平面 ABCD ,故FO XPO,又 FOLAD,则 FOL平面 PAD ,所以 FOXAE,又 CD / FO,贝 U CDXAE,又 E 是 PD 中点，贝 U AEXPD,由线面垂直的判定定理知 AEL平面PCD,又AE?平面 AEC,故平面 AECL平面PCD.(2)如图所示，建立空间直角坐标系O xyz,令 AB = a,则 P(0,0, V3), A(1,0,0), C(-1, a,0). .一 3/3 一由知EA= 3, 0,13为平面PCE的法向量，1-V3z= 0,即解2 ay = 0,令n = (1, v, z)为平面PAC的法向量，一一n PA=。,由于 PA=(1,0, -V3), CA=(2, a,0)均与 n 垂直，故 一n CA=0,2故门=1, a,当故四棱锥P-ABCD片a，EA n 2V2厂由 cos 0=二-=缶 A /44 = 解得 a=V3.|EA| |n|"3 丫3 十 a24的体积 V=：Sabcd PO = 1 2 7373=2.3322 .如图，在四边形 ABCD中，AB/CD, / BCD = y,四边形ACEF为矩形，且 CF ±平面 ABCD, AD=CD = BC=CF.(1)求证：EF，平面BCF;(2)求二面角A-FB-C的余弦值.解析：(1)证明：在梯形 ABCD 中，AB/CD,设 AD = CD = BC=1又/BCD = ¥，AB=2,AC2= AB2 + BC2-2AB BC cos 60=33-AB2=AC2+BC2,则 BCXAC平面 ABCD, AC?平面 ABCDACXCF,而 CFABC=C, .AC，平面 BCF1. EF /AC, EFL平面 BCF(2)分别以直线CA, CB, CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设 AD =CD = BC= CF= 1则 C(0,0,0), A市 0,0), B(0,1,0), F(0,0,1),.Ab = (-V3, 1,0), BF=(0, 1,1),设n = (x, v, z)为平面FAB的一个法向量，n AB = 0- V3x+y=0由，得，取 x=1,则 n = (1, 43,43)n BF = 0y+z= 0m = (1,0,0)是平面FCB的一个法向量,-cosn, m>|n|m|一夜一，二面角AFBC的余弦值为 李