江苏专版2019版高考数学一轮复习第六章数列课时达标检测三十一数列求和与数列的综合问题2018053.wps

课时达标检测( (三十一） 数列求和与数列的综合问题 一、全员必做题 1(2017·山东高考)已知xn是各项均为正数的等比数列，且 x1x23，x3x22. (1)求数列xn的通项公式； (2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连结点 P1(x1，1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n 1)得到折线 P1P2Pn1，求由该折线与直线 y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积 Tn. 解：(1)设数列xn的公比为 q，由已知得 q0. 由题意得Error! 所以 3q25q20. 因为 q0，所以 q2，x11， 因此数列xn的通项公式为 xn2n1. (2)过 P1，P2，Pn1向 x 轴作垂线，垂足分别为 Q1，Q2，Qn1. 由(1)得 xn1xn2n2n12n1， 记梯形 PnPn1Qn1Qn 的面积为 bn， nn1 由题意得 bn ×2n1(2n1)×2n2， 2 所以 Tnb1b2bn 3×215×207×21(2n1)×2n3(2n1)×2n2. 又 2Tn3×205×217×22(2n1)×2n2(2n1)×2n1. 得 Tn3×21(2222n1)(2n1)×2n1 3 212n1 (2n1)×2n1. 2 12 2n1 × 2n1 所 以 Tn . 2 xnxn2 2(2018·泰州调研)对于数列xn，若对任意 nN*，都有 xn1成立，则称数 2 列xn为“减差数列”设数列an是各项都为正数的等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 a11， 7 S3 . 4 (1)求数列an的通项公式，并判断数列Sn是否为“减差数列”； (2)设 bn(2nan)tan，若数列 b3，b4，b5，是“减差数列”，求实数 t 的取值范围 1 解：(1)设数列an的公比为 q， 7 因为 a11，S3 ， 4 7 所以 1qq2 ， 4 即 4q24q30， 所以(2q1)(2q3)0. 1 因为 q0，所以 q ， 2 1 1 1 2n 1 所 以 an ，Sn 2 ， 2n1 1 2n1 1 2 SnSn2 1 1 1 所以 2 2 Sn1， 2 2n 2n2 2n 所以数列Sn是“减差数列” n 1 tn1 (2)由题设知，bn(22n1)t 2t . 2n1 2n1 bnbn2 由 bn1(n3，nN*)， 2 tn1 tn21 tn11 得 t t 2t ， 2n 2n2 2n tn1 tn21 tn11 即 ， 2n 2n2 2n 化简得 t(n2)1. 又当 n3 时，t(n2)1 恒成立， 1 即 t 恒成立， n2 1 所以 t(n2 )max1. 故实数 t 的取值范围是(1， ) 3已知二次函数 yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为 f(x)6x2，数列an的 前 n 项和为 Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数 yf(x)的图象上 (1)求数列an的通项公式； 3 (2)设 bn ，试求数列bn的前 n 项和 Tn. anan1 解：(1)设二次函数 f(x)ax2bx(a0)， 则 f(x)2axb. 由于 f(x)6x2，得 a3，b2， 2 所以 f(x)3x22x. 又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数 yf(x)的图象上， 所以 Sn3n22n. 当 n2 时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5. 当 n1 时，a1S13×122×116×15， 所以 an6n5(nN*) 3 3 (2)由(1)得 bn anan1 6n56n15 1 1 1 2( ， 6n1) 6n5 1 1 1 1 1 1 1 1 3n 故 Tn 1 . 7 ( 13) 2(16n1) 2 7 6n5 6n1 6n1 二、重点选做题 1(2017·北京高考)设an和bn是两个等差数列，记 cnmaxb1a1n，b2a2n，bn ann(n1,2，3，)，其中 maxx1，x2，xs表示 x1，x2，xs 这 s 个数中最大的数 (1)若 ann，bn2n1，求 c1，c2，c3的值，并证明cn是等差数列； cn (2)证明：或者对任意正数 M，存在正整数 m，当 nm 时， M；或者存在正整数 m，使 n 得 cm，cm1，cm2，是等差数列 解：(1)c1b1a1110， c2maxb12a1，b22a2max12×1,32×21， c3maxb13a1，b23a2，b33a3max13×1，33×2,53×32. 当 n3 时， (bk1nak1)(bknak)(bk1bk)n(ak1ak)2n0， 所以 bknak 关于 kN*单调递减 所以 cnmaxb1a1n，b2a2n，bnannb1a1n1n. 所以对任意 n1，cn1n，于是 cn1cn1， 所以cn是等差数列 (2)证明：设数列an和bn的公差分别为 d1，d2，则 bknakb1(k1)d2a1(k1)d1n b1a1n(d2nd1)(k1) 所以 cnError! 当 d10 时， d2 取正整数 m ，则当 nm 时，nd1d2， d1 因此 cnb1a1n. 3 此时，cm，cm1，cm2，是等差数列 当 d10 时，对任意 n1， cnb1a1n(n1)maxd2,0 b1a1(n1)(maxd2,0a1) 此时，c1，c2，c3，cn，是等差数列 当 d10 时， d2 当 n 时，有 nd1d2. d1 cn b1a1nn1d2nd1 所以 n n b1d2 n(d1)d1a1d2 n n(d1)d1a1d2|b1d2|. 对任意正数 M，取正整数 M|b1d2|a1d1d2 d2 m max d 1， ， d1 cn 故当 nm 时， M. n 2(2018·江苏名校联考)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差都大于 3， 则称这个数列为“S 型数列” (1)已知数列an满足 a14，a28，anan18n4(n2，nN*)，求证：数列an是“S 型数列”； 3 (2) 已知等比数列an的首项 a1与公比 q 均为正整数，且an为“S型数列”，记 bn an， 4 当数列bn不是“S 型数列”时，求数列an的通项公式； (3)是否存在一个正项数列cn是“S型数列”，当 c29，且对任意大于等于 2 的自然数 n 1 1 1 1 1 1 1 1 都满足 n1·(2cn) cn(n1)(2cn1)？如果存在，给出数列cn的一个通 n cn1 n 项公式(不必证明)；如果不存在，请说明理由 解：(1)an1an8n4， anan18n4. ，得 an1an18. 所以 a2n8n，a2n18n4. 因此 an4n，从而 anan143. 所以数列an是“S 型数列” (2)由题意可知 a11，且 anan13，因此an单调递增且 q2. 而(anan1)(an1an2)an1(q1)an2(q1)(q1)(an1an2)0， 4 所以anan1单调递增 3 又 bn an，因此bnbn1单调递增， 4 又bn“不是 S 型数列”， 所以存在 n0，使得 bn0bn013， 所以 b2b1bn0bn013， 即 a1(q1)4. 又因为 a2a13，即 a1(q1)3 且 a1·qN*. 所以 a1(q1)4， 从而 a14，q2 或 a12，q3 或 a11，q5. an2n1或 an2·3n1或 an5n1. 1 1 1 1 1 1 1 1 (3)可取 cn(n1)2可验证符合( n1)条件，而 n1)(2cn) c n (2cn1)( n cn1 n 且 cncn1(n1)2n22n13. 三、冲刺满分题 a2n 1 1(2018·如皋月考)已知数列an，bn中，a11，bn(1an21)· ，nN*，数列bn an1 的前 n 项和为 Sn. (1)若 an2n1，求 Sn； (2)是否存在等比数列an，使 bn2Sn 对任意 nN*恒成立？若存在，求出所有满足条件 的数列an的通项公式；若不存在，说明理由； (3)若 a1a2an，求证：0Sn2. 1 1 3 解：(1)当 an2n1时，bn(14 )· . 2n 2n2 3 1 1 3 3 所以，Sn8(1 2n1) . 2 4 2n2 (2)满足条件的数列an存在且只有两个，其通项公式为 an1 和 an(1)n1. 证明：在 bn2Sn 中，令 n1，得 b3b1. 1 1 设 anqn1，则 bn(1q2) . qn 1 1 1 1 由 b3b1，得(1q2)q3(1q2) . q 若 q±1，则 bn0，满足题设条件 此时 an1 和 an(1)n1. 1 1 若 q±1，则 ，即 q21，矛盾 q3 q 综上，满足条件的数列an存在，且只有两个，一个是 an1，另一个是 an(1)n1. 5