最新人教版高二(上)数学教案(全册)优秀名师资料.doc

人教版高二（上）数学教案（全册）第六章 不等式第一教时教材：不等式、不等式的综合性质目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质。过程：一、引入新课1世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。2过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题二、几个与不等式有关的名称 （例略）1“同向不等式与异向不等式” 2“绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系（充要条件）1从实数与数轴上的点一一对应谈起 2应用：例一 比较与的大小解：（取差）- <例二 已知¹0, 比较与的大小解：（取差）- 从而>小结：步骤：作差变形判断结论例三 比较大小1和解： <2和 解：（取差）- 当时>；当时=；当时< 3设且，比较与的大小解： 当时；当时四、不等式的性质1性质1：如果，那么；如果，那么（对称性）证： 由正数的相反数是负数 2性质2：如果， 那么（传递性）证：， ，两个正数的和仍是正数 由对称性、性质2可以表示为如果且那么五、小结：1不等式的概念 2一个充要条件 3性质1、2六、作业：P5练习 P8 习题6.1 13补充题：1若，比较与的大小解： -= 2比较2sinq与sin2q的大小(0<q<2p)略解：2sinq-sin2q=2sinq(1-cosq)当qÎ(0,p)时2sinq(1-cosq)0 2sinqsin2q当qÎ(p,2p)时2sinq(1-cosq)<0 2sinq<sin2q3设且比较与的大小解：当时 >当时 >总有>第二教时教材：不等式基本性质（续完）目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。过程：一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2二、1性质3：如果，那么 （加法单调性）反之亦然证： 从而可得移项法则：推论：如果且，那么 （相加法则）证：推论：如果且，那么 （相减法则）证： 或证： 上式>0 2性质4：如果且, 那么；如果且那么 （乘法单调性）证： 根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：时即：时即：推论1 如果且，那么（相乘法则）证：推论1（补充）如果且，那么（相除法则）证： 推论2 如果, 那么 3性质5：如果，那么 证：（反证法）假设则：若这都与矛盾 三、小结：五个性质及其推论口答P8 练习1、2 习题6.1 4四、作业 P8 练习3 习题6.1 5、6五、供选用的例题（或作业）1已知，求证：证：2若，求不等式同时成立的条件解：3设， 求证证： 又 >0 4 比较与的大小解：- 当时即 <当时即 >5若 求证：解： 6若 求证：证： p>1 又 原式成立第三教时教材：算术平均数与几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。过程：一、 定理：如果，那么（当且仅当时取“=”） 证明： 1指出定理适用范围：2强调取“=”的条件二、定理：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）证明： 即： 当且仅当时 注意：1这个定理适用的范围： 2语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。三、推广： 定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明： 上式0 从而指出：这里 就不能保证 推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”） 证明： 四、关于“平均数”的概念1如果 则：叫做这n个正数的算术平均数叫做这n个正数的几何平均数2点题：算术平均数与几何平均数3基本不等式： 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。4的几何解释：ABDDCab以为直径作圆，在直径AB上取一点C， 过C作弦DDAB 则 从而而半径五、例一 已知为两两不相等的实数，求证：证： 以上三式相加：六、小结：算术平均数、几何平均数的概念基本不等式（即平均不等式）七、作业：P11-12 练习1、2 P12 习题5.2 1-3补充：1已知，分别求的范围 (8,11) (3,6) (2,4)2试比较 与（作差>）3求证：证： 三式相加化简即得第四教时教材：极值定理目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。过程：一、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式二、 若，设 求证： 加权平均；算术平均；几何平均；调和平均证：即：（俗称幂平均不等式）由平均不等式即：综上所述：例一、若 求证证：由幂平均不等式：三、 极值定理 已知都是正数，求证：1° 如果积是定值，那么当时和有最小值2° 如果和是定值，那么当时积有最大值证： 1°当 (定值)时， 上式当时取“=” 当时有2°当 (定值)时， 上式当时取“=” 当时有注意强调：1°最值的含义（“”取最小值，“”取最大值） 2°用极值定理求最值的三个必要条件：一“正”、二“定”、三“相等”四、 例题1证明下列各题： 证： 于是若上题改成，结果将如何？解： 于是从而若 则解：若则显然有若异号或一个为0则 2求函数的最大值求函数的最大值解： 当即时 即时 当时 3若，则为何值时有最小值，最小值为几？解： = 当且仅当即时五、 小结：1四大平均值之间的关系及其证明 2极值定理及三要素六、 作业：P12 练习3、4 习题6.2 4、5、6补充：下列函数中取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？1° 时2° 3°时 第五教时教材：极值定理的应用目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。过程：一、 复习：基本不等式、极值定理二、 例题：1求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？解一： 解二：当即时 答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二错在不是定值（常数）正确的解法是：当且仅当即时2若，求的最值解： 从而 即3设且，求的最大值解： 又即4已知且，求的最小值解： 当且仅当即时三、关于应用题1P11例（即本章开头提出的问题）（略）2将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：设剪去的小正方形的边长为则其容积为当且仅当即时取“=”即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为四、 作业：P12 练习4 习题6.2 7补充：1求下列函数的最值：1° (min=6)2° () 21°时求的最小值，的最小值2°设，求的最大值(5)3°若, 求的最大值4°若且，求的最小值3若，求证：的最小值为34制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）第六教时教材：不等式证明一（比较法）目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。过程：一、 复习： 1不等式的一个等价命题2比较法之一（作差法）步骤：作差变形判断结论二、作差法：（P1314）1 求证：x2 + 3 > 3x 证：(x2 + 3) - 3x = x2 + 3 > 3x2 已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证： 证：a,b,m都是正数，并且a<b，b + m > 0 , b - a > 0 即： 变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？3 已知a, b都是正数，并且a ¹ b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2 证：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) = a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)a, b都是正数，a + b, a2 + ab + b2 > 0又a ¹ b，(a - b)2 > 0 (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0即：a5 + b5 > a2b3 + a3b24 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m ¹ n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，则： 可得：S, m, n都是正数，且m ¹ n，t1 - t2 < 0 即：t1 < t2从而：甲先到到达指定地点。变式：若m = n，结果会怎样？ 三、作商法5 设a, b Î R+，求证： 证：作商：当a = b时， 当a > b > 0时， 当b > a > 0时， （其余部分布置作业）作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。四、小结：作差、作商五、作业： P15 练习 P18 习题6.3 14 第七教时教材：不等式证明二（比较法、综合法）目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。过程：一、比较法： a) 复习：比较法，依据、步骤 比商法，依据、步骤、适用题型b) 例一、证明：在是增函数。证：设2x1<x2, 则x2 - x1 > 0, x1 + x2 - 4 > 0 又y1 > 0， y1 > y2 在是增函数二、 综合法：定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。i. 已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc 证：b2 + c2 2bc , a > 0 , a(b2 + c2) 2abc 同理：b(c2 + a2) 2abc , c(a2 + b2) 2abc a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc 当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abcii. 设a, b, c Î R，1°求证：2°求证：3°若a + b = 1, 求证： 证：1° 2°同理：， 三式相加：3°由幂平均不等式：iii. a , b, cÎR, 求证：1°2°3° 证：1°法一：, , 两式相乘即得。 法二：左边 3 + 2 + 2 + 2 = 92° 两式相乘即得3°由上题：即：三、小结：综合法四、作业： P1516 练习 1，2 P18 习题6.3 1，2，3补充：1 已知a, bÎR+且a ¹ b，求证：（取差）2 设aÎR，x, yÎR，求证：（取商）3 已知a, bÎR+，求证：证：a, bÎR+ 4 设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：证： 第八教时教材：不等式证明三（分析法）目的：要求学生学会用分析法证明不等式。过程：一、 介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。二、 例一、求证：证： 综合法： 只需证明： 21 < 25 展开得： 即： 即： 21 < 25（显然成立） 例二、设x > 0，y > 0，证明不等式：证一：（分析法）所证不等式即： 即： 即： 只需证： 成立 证二：（综合法） x > 0，y > 0， 例三、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca 0证一：（综合法）a + b + c = 0 (a + b + c)2 = 0 展开得： ab + bc + ca 0证二：（分析法）要证ab + bc + ca 0 a + b + c = 0 故只需证 ab + bc + ca (a + b + c)2 即证： 即： （显然） 原式成立证三：a + b + c = 0 - c = a + b ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab - (a + b)2 = -a2 -b2 -ab = 例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。 证：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为 问题只需证：> 即证：> 两边同乘，得：因此只需证：4 > p （显然成立） > 也可用比较法（取商）证，也不困难。三、 作业： P18 练习 13 及 习题6.3 余下部分补充作业：1 已知0 < q < p，证明：略证：只需证： 0 < q < p sinq > 0故只需证：即证： 1 + cosq > 0只需证：即只需证：即： （成立）2 已知a > b > 0，q为锐角，求证：略证：只需证： 即：（成立） 3 设a, b, c是的ABC三边，S是三角形的面积，求证：略证：正弦、余弦定理代入得： 即证：即：即证：（成立）第九教时教材：不等式证明四（换元法）目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。过程：一、 提出课题：（换元法）二、 三角换元：例一、求证：证一：（综合法）即： 证二：（换元法） 令 x = cosq , qÎ0, p则 例二、已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：证一： 即：证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设 则例三：若，求证： 证：设， 则例四：若x > 1，y > 1，求证： 证：设 则例五：已知：a > 1, b > 0 , a - b = 1，求证： 证：a > 1, b > 0 , a - b = 1 不妨设 则 , 0 < sinq < 1 小结：若0x1，则可令x = sinq ()或x = sin2q ()。若，则可令x = cosq , y = sinq ()。若，则可令x = secq, y = tanq ()。若x1，则可令x = secq ()。若xÎR，则可令x = tanq ()。三、 代数换元：例六：证明：若a > 0，则 证：设则 （ 当a = 1时取“=” ）即 原式成立四、 小结：还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法，有兴趣的课后还可进一步学习。五、 作业：1 若，求证：2 若|a| < 1，|b| <1，则3 若|x|1，求证：4 若a > 1, b > 0 , a - b = 1，求证：5 求证：6 已知|a|1，|b|1，求证：第十教时教材：不等式证明五（放缩法、反证法）目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。过程：一、 简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法提出课题：放缩法与反证法二、 放缩法：例一、若a, b, c, dÎR+，求证：证：记m = a, b, c, dÎR+ 1 < m < 2 即原式成立例二、当 n > 2 时，求证： 证：n > 2 n > 2时, 例三、求证： 证： 三、 反证法：例四、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于 证：设(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >,则三式相乘：ab < (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a < 又0 < a, b, c < 1 同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c 与矛盾原式成立例五、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 证：设a < 0, abc > 0, bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c = -a > 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， 必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0四、 作业：证明下列不等式：1 设x > 0, y > 0, ，求证：a < b放缩法：2 lg9lg11 < 1 3 4 若a > b > c, 则 5左边6 7已知a, b, c > 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn < cn (n3, nÎR*) ，又a, b, c > 0, 8设0 < a, b, c < 2，求证：(2 - a)c, (2 - b)a, (2 - c)b,不可能同时大于1仿例四9若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2反设2，2 x, y > 0，可得x + y 2 与x + y >2矛盾 第十一教时教材：不等式证明六（构造法及其它方法）目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。过程：一、 构造法：1构造函数法例一、已知x > 0，求证： 证：构造函数 则， 设2a<b 由显然 2a<b a - b > 0, ab - 1 > 0, ab > 0 上式 > 0f (x)在上单调递增，左边例二、求证： 证：设 则用定义法可证：f (t)在上单调递增令：3t1<t2 则 2构造方程法：例三、已知实数a, b, c，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a, b, c中至少有一个不小于2。 证：由题设：显然a, b, c中必有一个正数，不妨设a > 0，则 即b, c是二次方程的两个实根。 即：a2例四、求证： 证：设 则：(y - 1)tan2q + (y + 1)tanq + (y - 1) = 0当 y = 1时，命题显然成立当 y ¹ 1时，= (y + 1)2 - 4(y - 1)2 = (3y - 1)(y - 3)0综上所述，原式成立。（此法也称判别式法） 3构造图形法：例五、已知0 < a < 1，0 < b < 1，求证： A B C D O 1-b b a 1-a 证：构造单位正方形，O是正方形内一点 O到AD, AB的距离为a, b， 则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|AC| + |BD| 其中， 又： 5 作业：证明下列不等式：令，则 (y - 1)x2 + (y + 1)x + (y - 1) = 0用法，分情况讨论6 已知关于x的不等式(a2 - 1)x2 - (a - 1)x - 1 < 0 (aÎR)，对任意实数x恒成立，求证：。分a2 - 1 = 0和 讨论7 若x > 0, y > 0, x + y = 1，则左边 令 t = xy，则在上单调递减 8 若，且a2 < a - b，则令，又，在上单调递增 A B C D F9 记，a > b > 0，则| f (a) - f (b) | < | a - b|构造矩形ABCD, F在CD上，使|AB| = a, |DF| = b, |AD| = 1, 则|AC| - |AF| < |CF|10 若x, y, z > 0，则作ÐAOB = ÐBOC = ÐCOA = 120°, 设|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z第十二教时教材：不等式证明综合练习目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。过程：四、 简述不等式证明的几种常用方法比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造五、 例一、已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较的大小。解一： 0 < 1 - x2 < 1, 解二： 0 < 1 - x2 < 1, 1 + x > 1, 解三：0 < x < 1, 0 < 1 - x < 1, 1 < 1 + x < 2, 左 - 右 = 0 < 1 - x2 < 1, 且0 < a < 1 变题：若将a的取值范围改为a > 0且a ¹ 1，其余条件不变。例二、已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xyac + bd证一：（分析法）a, b, c, d, x, y都是正数 要证：xyac + bd 只需证：(xy)2(ac + bd)2 即：(a2 + b2)(c2 + d2)a2c2 + b2d2 + 2abcd 展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2a2c2 + b2d2 + 2abcd 即：a2d2 + b2c22abcd 由基本不等式，显然成立 xyac + bd证二：（综合法）xy = 证三：（三角代换法） x2 = a2 + b2，不妨设a = xsina, b = xcosay2 = c2 + d2 c = ysinb, d = ycosb ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)xy例三、已知x1, x2均为正数，求证：证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证： 即： 再平方： 化简整理得： （显然成立） 原式成立证二：（反证法）假设 A B C D P M 化简可得： （不可能） 原式成立证三：（构造法）构造矩形ABCD，使AB = CD = 1, BP = x1, PC = x2 当ÐAPB = ÐDPC时，AP + PD为最短。 取BC中点M，有ÐAMB = ÐDMC, BM = MC = AP + PD AM + MD 即： 六、 作业： 2000版 高二课课练 第6课第十三教时教材：复习一元一次不等式目的：通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论。过程：一、 提出课题：不等式的解法（复习）：一元一次与一元二次不等式板演：1解不等式： 2解不等式组： （）3解不等式： 4解不等式： 5解不等式： 二、含有参数的不等式例一、解关于x的不等式 解：将原不等式展开，整理得： 讨论：当时，当时，若0时；若<0时当时，例二、解关于x的不等式解：原不等式可以化为：若即则或若即则 若即则或例三、关于x的不等式的解集为求关于x的不等式的解集解：由题设且， 从而 可以变形为即： 例四、关于x的不等式 对于恒成立，求a的取值范围s解：当a>0时不合 a=0也不合必有： 例五、若函数的定义域为R，求实数k的取值范围解：显然k=0时满足 而k<0时不满足k的取值范围是0,1三、 简单绝对不等式 例六、（课本6.4 例1）解不等式解集为：四、 小结五、 作业：6.4 练习 1、2 P25 习题6.4 1补充：1解关于x的不等式：1° 2° 2不等式的解集为，求a, b ()3不等式对于恒成立，求a的取值 (a>4)4已知, 且BÍA, 求p的取值范围 (p4)5已知 当-1x1时y有正有负，求a的取值范围 第十四教时教材：高次不等式与分式不等式目的：要求学生能熟练地运用列表法和标根法解分式不等式和高次不等式。过程：一、 提出课题：分式不等式与高次不等式二、 例一(P22-23) 解不等式略解一（分析法）或解二：（列表法）原不等式可化为列表（见P23略）注意：按根的由小到大排列解三：（标根法）作数轴；标根；画曲线，定解-101234-2小结：在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列表法和标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式，其中最值得推荐的是“标根法”例二 解不等式 解：原不等式化为 原不等式的解为例三 解不等式 解：恒成立原不等式等价于 即-1<x<5例四 解不等式 解：原不等式等价于且 原不等式的解为若原题目改为呢？例五 解不等式解：原不等式等价于即： 三、 例六 解不等式解：原不等式等价于原不等式的解为：例七 k为何值时，下式恒成立：解：原不等式可化为：而原不等式等价于由得1<k<3四、 小结：列表法、标根法、分析法五、 作业：P24 练习 P25 习题6.4 2、3、4补充：1k为何值时，不等式对任意实数x恒成立 2求不等式的解集 3解不等式 4求适合不等式的x的整数解 (x=2)5若不等式的解为,求的值 第十五教时教材：无理不等式目的：通过分析典型类型例题，讨论它们的解法，要求学生能正确地解答无理不等式。过程：一、 提出课题：无理不等式 关键是把它同解变形为有理不等式组二、 例一 解不等式解：根式有意义 必须有： 又有 原不等式可化为 两边平方得： 解之：三、例二 解不等式解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集： ：解： 解：原不等式的解集为四、例三 解不等式解：原不等式等价于 特别提醒注意：取等号的情况五、 例四 解不等式解 ：要使不等式有意义必须：原不等式可变形为 因为两边均为非负 即x+10 不等式的解为2x+10 即 例五 解不等式解：要使不等式有意义必须： 在0x3内 03 03>3- 因为不等式两边均为非负两边平方得： 即>x因为两边非负，再次平方： 解之0<x<3综合 得：原不等式的解集为0<x<3例六 解不等式解：定义域 x-10 x1原不等式可化为：两边立方并整理得：在此条件下两边再平方, 整理得：解之并联系定义域得原不等式的解为六、 小结七、 作业：P24 练习 1、2、3 P25 习题 6.4 5补充：解下列不等式1 2 3 ()s4 5 第十六教时（机动）教材：指数不等式与对数不等式目的：通过复习，要求学生能比较熟练地掌握指数不等