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初等数学研究课后习题答案初等代数研究课后习题 20071115033 数学院 07(1) 杨明 1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即 a,b,N(1)对任何，当且仅当时，b,a. a,ba,b,Na,b(2)对任何，在a,b，a,b，中有且只有一个成立. ,A,aB,ba,b,N证明:对任何，设， ,？B,BA，B,BAB(1)“,” a,b，则,使，,？b,a ,？AB,B，B,BBAb,a？a,b“,” ，则,使，, a,b,N综上 对任何，a,bb,a ,a,ba,bb,a？a,b(2)由(1), 与不可能同时成立， ,，B,BABAB？a,ba,b假设与同时成立，则,使且， ,？BB？a,ba,b与B为有限集矛盾，与不可能同时成立， a,b,Na,ba,ba,b综上，对任何，在，中有且只有一个成立. 2、证明自然数的加法满足交换律. a,b,N证明:对任何a，b,b，a设M为使等式成立的所有b组成的集合 a，1,1，a先证 ，设满足此式的a组成集合k，显然有1+1=1+1成立 ？1,k,a,ka，1,1，a，设，则 ，a，1,(a),(a，1),(1，a),1，a ，？a,k1,M,bMabba,，,，,？k,Na ， 取定，则，设，则 ，ababbaba，,，,，,，()()？,？,bMMN, ？a,b,Na，b,b，a 对任何， 3、证明自然数的乘法是唯一存在的 fg,a,bN 证明:唯一性:取定，反证:假设至少有两个对应关系，对，有 MfbgbN(),(),fbgb()(),b ，设是由使成立的所有的组成的集合， fbgba()()1,？,1M,fbgb()(),？，,，fbagba()()bN, 设则 ，？,fbgb()()？,bMfbgb()(),？,MN,bN， 即， 乘法是唯一的 K存在性:设乘法存在的所有组成集合 当时， a,1,bNa，111,1111,，,，bbbb？1,k, ，设aK,， ,bN，ab,ababa,，ababb,，有与它对应，且1,aa，对，令 ,bN，aaaa,，,，,1111 ，ababbabab,，,，1,，()(1)abba ，,，aba，？,aK？,KN 即乘法存在 AA,1,2A,1,2,3A,1,2,4A,1,2,5p245、解:满足条件的有， 1234A,1,2,3,4A,1,2,3,5A,1,2,3,4,5A,1,2,4,5 ， 5678,？,AAAAAAAA2,3,4,5 基数和为23343528，, 12345678ABAaBb,yp246、证明:，中的x与中的对应 ？，,BAbaab？，,ABab， ？，,，ABABBAABab，, p248、证明:1)3+4=7 ，3231(31)45，,，,，,3134，, ，3332(32)56，,，,，, ，3433(33)67，,，,，, 3412,2) ，32313136,，,313, ，33323239,，, ，343333312,，, ，()mnmn，,，p2412、证明:1) ，()1(1)mnmnmnmn，,，,，,， ，()mnnmm,， 2) ，()1(1)mnmnmnmnmm,，,，,， fmn(,)mnN,p2636、已知对任何满足 fnn(1,)1,，, fmfm(1,1)(,2)，,fmnfmfmn(1,1)(,(1,)，,，,fnn(2,)2,， 求证:1) fnn(3,)22,，) 2n，1fn(4,)22,3) fff(2,1)(11,1)(1,2)2112,，,，,，n,1 证明:1)当时，结论成立， fkk(2,)2,，nk,假设时，结论成立，即， nk,，1当时， fkfkffk(2,1)(11,1)(1,(2,)，,，, ,，,，,，fkkk(1,2)(2)1(1)2所以对一切自然数结论都成立 fnfnf(3,)(21,)(2,2)22212,，,，,，n,12)当时，结论成立 fkk(3,)22,，nk,假设时，结论成立，即 nk,，1当时， fkfkffk(3,1)(21,1)(2,(3,)，,，, ,，,，,，fkkk(2,22)2222(1)2所以对一切自然数结论都成立 11，fff(4,1)(31,1)(3,2)22222,，,，,n,13)当时，结论成立 k，1fk(4,)22,nk,假设时，结论成立，即 nk,，1当时， k，1fkffkf(4,1)(3,(4,)(3,22)，, kk，12,，,2(22)222所以对一切自然数结论都成立 p621、证明定理2.1 ,abcdZ,abcdacbd，,，证明:， ？，,，,acbdcadb 因为自然数加法满足交换律,cdabcadb，,，？，,，,abcdcdab而 ,abcdefZ， ,(),()abcdefacbdefacebdf，,，,， ？，,，(,),(,)abcdefabcdef以为自然数满足加法结合律 即整数加法满足交换律和结合律 ,abcdZ,abcd,1,1abcd,p622、已知，求证的充要条件是 ,abcd, 证明:“,” 已知则adbc，,， ？,，,1,1abcdadbc ,1,1abcd,1,1adbc，,“,” 已知则，adbc，,， ？,abcd a,b,N,(,),ababp624、已知，求证 ,abba,(,),abbaab证明: ,abcdZ,，(,),abcdabcdp625、已知，求证 ,，,，(,),abcdadbcbcad证明:左边 ,，,，,，,abcdbacdbcad 右边 ？,，(,),abcdabcd 所以左边等于右边 abcN,abcd,adbc，,，p627、已知，求证当且仅当时 ,abcdadbc,，,adbc，,，证明:“” 已知， ？，,adbc？,abcdadbc，,， 因为 是负数， ,abcd,abcdadbc,，, “” 已知则 ,adbc，？，,，adbc因为是负数， ,，,，,Zp629、已知，求证:1) ，2) ,abcd 证明:设？，,，,，,()()acbd,，,，,acbd 1) ,abcd, 而 ()()()()acbdabcdabcd，,，,，,，, ？，,，, ？,，,，,acbdadbc(),，,acbdadbc) 2,abcd, 而 acbdadbcacdbdcabcdabcd，,，,，,()()()()() ？, ab,p6312、n名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第k名胜负的次数各为， kk222222aaabbb，,，.kn,1,2,.,，求证: nn1212bjn(1,2,.,),ab,akn(1,2,.,),证明:对于，必存在一个使得 jkjk22222222abkjn,(,1,2,.,)？，,，aaabbb., kjnn1212pab10,pcd10,padbc,p6316、已知，求证 ，,stZ,10abps,10cdpt,证明:由已知:使， bapsdcpt,10,10, ？,adbcacaptaccpspcsat10(10)() ？,padbc 281a，ap6317、设2不整除，求证 qrZ,aqr,，2a02,r证明:因为2不整除，所以存在唯一一对，使，其中 2222？,81ar,1？,，aqq441aqq,，14(1), ， aaaa(1)(2)(3)1，p6320、设，求证是奇数的平方 aZ,证明: aaaaaaaa(1)(2)(3)1(1)1(1)(2)(2)11，,，,，22,，,，(1)(1)(2)(2)1aaaa 22,，,，(1)(2)2(1)(2)1aaaa2,，,(1)(2)1aaaa，1,2？，(1)(2)aa肯定一奇一偶肯定为偶数 ？，,(1)(2)1aa肯定为奇数 p6322、证明:前n个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9 (1)，nn证明:前n个自然数的和为 2因为:n个自然数的和仍为自然数 ？ 1+n与n中必定一个为奇数一个为偶数 若个位数码为2 则1+n与n的个位数码只能是1,4或4,1 ？ 而(1+n)- n=1 个位数码不能为2 若个位数码为4 则1+n与n的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立 若个位数码为7 则1+n与n的个位数码有2种可能，则2,7或1,14 也不可能成立，若个位数码为9 则1+n与n的个位数码有2种可能，即2,9或1,18 也不可能成立， 综上，前n个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9 aaa,.,aaa,.p6326、证明2.3定理1()=() 12n12naaa,.,aaa,. 证明:因为:()是的公因数中的最大数 12n12n？aaa,.,aaa,. 所以R需考虑非负整数 ()=() 12n12n(,)1ab,xyZ,axby，,1p6329、证明2.3定理4的推论的充要条件是有使得 (,)1ab,？ab, 证明:因为 不全为0 ，,xyZ,axbyab，,(,)1,“” 由定理4 使 dadb,？，daxby？d1(,)abd,？,dab(,)1,“” 设则， (,)(,)mambmab,mN,p6330、证明2.3定理6及其推论。定理6:若，则 ab,(0,0)(0,0),m证明:若都为0，则显然成立 ，,xyZ,axbyab，,(,)ab,不全为零，则使 若0000''''''maxmbymamb，,(,)maxmbymaxby，,，() 而 ''？，axbyaxbyaxbyaxby，,xyZ, 因为， 0000''''？，maxbymaxmby()mabmaxmby(,)，mabmamb(,)(,) ,00(,)(,)mambamxmbymab，,？,(,)(,)mambmab而 00ab,(/,/)1adbd,dab,(,)d是的公因数，则的充要条件是 推论:设ab,？,ddadbdab(/,/)(,)证明:“” d是的公因数 ,？,dNdab,(,)？，,xyZ,axbyd，, “,” 因为 ，使 ，,xyZ,(/)(/)1adxbdy，,(/,/)1adbd, , ，使, p6432、证明2.3定理七及其推论 (,)1ac,bc,(,)(,)abcbc,bZ,定理七:若，中至少有一个不为0，则 bc,？，,xyZ,abxcyabc，,(,)证明:中至少有一个不为0 使 (,),(,)abcbabcc(,)(,)bcabc(,)1ac,？,(,)(,)abcbc 因为 因为 (,)1ac,(,)1bc,(,)1abc,推论:若，则 (,)1bc,？bc,？,(,)(,)1abcbc证明:因为，不为零 nabnab，,nab(,)np6433、已知是奇数，求证 nabnab，,？，,，,nababnabab()(),()()证明:因为 nanb2,2nab2(,)nab(,),n ，因为是奇数， ''''''''(,),(,)abdabd,(,)aaababbbdd,p6436、已知，求证 ''''''''(,)(,),(,)aaabaabadabbbbd,证明: '''''''？,(,)(,)aaababbbadbddd aana,2,.(,)naaN,np6440、已知，求证中的倍数的个数等于 nna(,)1na,证明:当时，结论成立， ada,(,)1na,(,)nad,aana,2,.时，令，则可改写为 当d,111dadanda,2,.nanadnadna,2,.(1),因为d,1所以其中一定包括 1111111都是的倍数，共有d个 n2241p,pp6442、已知是异于3的奇素数，求证 22？,p1p,3p,19p证明:是异于3的奇素数，为偶数，, 2ppp,，,1(1)(1)pp，,1,1 其中都为合数，且都大于3 21p,？，,pp1,1pp，,，1(1)2都可被2、3中的一个整除，若，则由 2？,241p21p，pp，,13,13，因为 na,1an,p6444、已知整数都大于1，是素数，求证a,2且n是素数 na,1证明:反证 na,2n不是素数 当时不是素数与已知矛盾，所以是素数 p6445、求不大于50的一切素数 解:平方不大于50的素数是2,3,5,7则不大于50的一切素数 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47 p6446、求下列各数的标准分解式:1)82798848 8532311,解:82798848= abc,(,),(,)(,)acbcabc,p6449、已知整数都大于1，求证 (,)(,)acbcab证明: (,),(,)(,)(,)acbccabc,(,),(,)(,)acbcabppp123.(1)0(mod)，,pppp6669、已知是奇素数，求证1) ppp,111123.(1)1(mod)，,pp2) (1,)1,(2,)1,.,(1,)1pppp,证明:1)因为 (1)三边之间的关系：a2+b2=c2；pppp？,11(mod)p22(mod),p(1)1(mod)ppp,33(mod),p ， ppp？，,，,123.(1)(123.(1)(mod)ppp 1.概念：一般地，若两个变量x，y之间对应关系可以表示成(、b、c是常数,0)的形式，则称y是x的二次函数。自变量x的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。pp(1),pp(1),因为 p123.(1)，,p22点在圆内 <=> d<r;ppp？，,123.(1)0(mod)pp p,1p,1p,1p,121(mod),p31(mod),p(1)1(mod)pp,11(mod),p2)， 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即ppp,111？，,123.(1)1(mod)pp qp,11pqpq，,1(mod)p6670、设pq,是相异素数，求证 （7）二次函数的性质：q,1p,1qp,11pp,0(mod)qp,1(mod)？，,pqp1(mod)证明:， qp,11qp,11pqq，,1(mod)？，,pqpq1(mod,) 同理 qp,11pqpq，,1(mod) 即 2,(1)()().()，,pppppp6672、已知是素数，,N，求证 定义：在RtABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即;kkk,1,(),pppkN,p证明:因为是素数，所以 221,？,()1,(),.,()pppppppp (一)情感与态度：2,？，,(1)()().()pppp,(1)1,因为 ,(66150)p6673、计算 7.三角形的外接圆、三角形的外心。322661502357,解:66150的标准分解式为 02？,(66150)2357(21)(31)(51)(71)15120 2(),aa,2p6674、已知整数，求证 33.123.18加与减（一）3 P13-17,n12appp,.ppp,.,证明:设a的标准分解式为，其中为素数 12n12naa,1n,1,(1,2,.,)in,()22a,？2(),aa,2 ，若显然， i43.193.25观察物体2 生活中的数1 P22-23np,1？2(),a，,p2a,2当时，一定且为偶数， 112(),aa,2综上所述时