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2011北京高考数学文科资料2011年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理) 本试卷共5页，150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 21(已知集合P=,x,x?1,M=,a,.若P?M=P,则a的取值范围是 A(-?, -1 B(1, +?) C(-1，1 D(-?，-1 ?1，+?)i,22(复数 ,12，i4343 A(i B(-i C( D(,i,，i5555 3(在极坐标系中，圆=-2sin的圆心的极坐标系是 , A( B( (1,)(1,),22C( (1,0) D(1，) ,4(执行如图所示的程序框图，输出的s值为 A(-3 1 B(- 21 C( 3D(2 5(如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F， 延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论: ?AD+AE=AB+BC+CA; ?AF?AG=AD?AE ?AFB ,?ADG 其中正确结论的序号是 A(? B(? C(? D(? c,x,A,x,6(根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为 f(x),c,x,A,A,(A，C为常数)。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是 A(75，25 B(75，16 C(60，25 D(60，167(某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A(8 B( C(10 D(6282A0,0B4,0Ct，4,4DttR,4,Nt8(设,，,.记为平行四边形ABCD内部(不，Nt含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域，为 9,10,119,10,12 A( B( ,9,11,1210,11,12 C( D( ,第二部分 (非选择题 共110分) 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 ,ABCB9(在中。若b=5，tanA=2，则sinA=_;a=_。，,4 10(已知向量a=(，1)，b=(0，-1)，c=(k，)。若a-2b与c共线，则33k=_。 111(在等比数列a中，a=，a=-4，则公比q=_;n142aaa，,._。 12n12(用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个。(用数字作答) 2,2x,13(已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的fx(),x,3,(1),2xx,取值范围是_ 2a(a,1)，0)和F?2(1，0)的距离的积等于常数14(曲线C是平面内与两个定点F1(-1的点的轨迹.给出下列三个结论: ? 曲线C过坐标原点; ? 曲线C关于坐标原点对称; 12 ?若点P在曲线C上，则?FPF的面积大于a。 212其中，所有正确结论的序号是 。 三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15(本小题共13分) , 已知函数。 fxxx()4cossin()1,，,6fx()?)求 (的最小正周期: ,，fx(), (?)求在区间上的最大值和最小值。 ,64，16(本小题共14分) PABCD,ABCDABCD 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，PA,. ABBAD,，,2,60PAC;(?)求证:平面 BD,PAAB,AC (?)若求PB与所成角的余弦值;PBCPDC (?)当平面与平面垂直时，求PA的长.17(本小题共13分 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。 (?)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (?)如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。 22212， (注:方差，其中为， sxxxxxx,，,，,？xxxx，n12n12,，n的平均数) 18(本小题共13分) x2k 已知函数fxxke()(),。 fx()?)求 (的单调区间; 1x,，,(0,)fx()k (?)若对于任意的，都有?，求的取值范围。e 19(本小题共14分) 2x222Gy:1，, 已知椭圆.过点(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A，B两点.xy，,14(I)求椭圆G的焦点坐标和离心率; ABAB (II)将表示为m的函数，并求的最大值. 20(本小题共13分) aakn,1(1,2,.,1) 若数列满足，数列为数列，Aaaan,.,(2)EAn，11nn12,n记=( aaa，.SA()12nn?)写出一个满足，且0的数列; (Eaa,0ASA()1sns(?)若，n=2000，证明:E数列是递增数列的充要条件是=2011;a,12Aa1nnSA (?)对任意给定的整数n(n?2)，是否存在首项为0的E数列，使得=0,A，nn如果存在，写出一个满足条件的E数列;如果不存在，说明理由。An参考答案 一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分) (1)C (2)A (3)B (4)D (5)A (6)D (7)C (8)C 二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分) 25210(9) (10)1 51n,1(11)2 2 (12)14 ,2(13)(0，1) (14)? 三、解答题(共6小题，共80分) (15)(共13分) ,)因为 解:(?f(x),4cosxsin(x，),1631,4cosx(sinx，cosx),1 222,3sin2x，2cosx,1 ,3sin2x，cos2x, ,2sin(2x，)6f(x) 所以的最小正周期为 ,2, (?)因为 ,x,所以,2x，,.64663,f(x)2, 于是，当时，取得最大值2; x，,即x,626, 当取得最小值1. 2x，,即x,时,f(x)666(16)(共14分) 证明:(?)因为四边形ABCD是菱形， 所以AC?BD. 又因为PA?平面ABCD. 所以PA?BD. 所以BD?平面PAC.(?)设AC?BD=O. 因为?BAD=60?，PA=PB=2, 所以BO=1，AO=CO=. 3如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，2)，A(0，0)，B(1，0，0)，C(0，0).333PB,(1,3,2),AC,(0,23,0).所以 ,设PB与AC所成角为，则 PB,AC66. cos,422，23|PB|,|AC|BC,(,1,3,0).(?)由(?)知 设P(0，,，t)(t>0)， 3BP,(,1,3,t)则 m,(x,y,z)设平面PBC的法向量, BC,m,0,BP,m,0则 ,x，3y,0,所以 ,x,3y，tz,0,6令则 y,3,x,3,z,.t6所以 m,(3,3,)t6同理，平面PDC的法向量 n,(,3,3,)t因为平面PCB?平面PDC, 36所以=0，即 m,n,6，,02t解得t,6所以PA= 6(17)(共13分) 解(1)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是:8，8，9，10，所以平均数为 8，8，9，1035 x,;44方差为 1353535351122222 s,(8,)，(8,)，(9,)，(10,),.4444416(?)当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是:9，9，11，11;乙组同学的植树棵数是:9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以21该事件有2种可能的结果，因此P(Y=17)= ,.1681111同理可得P(Y,18),;P(Y,19),;P(Y,20),;P(Y,21),.4448 所以随机变量Y的分布列为: Y 17 18 19 20 21 11111 P 84448EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21)11111=17×+18×+19×+20×+21× 84448=19 (18)(共13分) x1221,f(x),(x,k)e.解:(?) k,x,k令，得.，f0,0,当k>0时，的情况如下 f(x)与f(x),k(k,，,)() x k ,k,k (,k) ,f(x) + 0 0 + 2,1f(x) 4ke ? ? 0 ? f(x),k(k,，,)(,k,k)所以，的单调递减区间是()和;单高层区间是当,k<0时，的情况如下 f(x)与f(x),k(k,，,)() x k ,k,k (,k) ,f(x) 0 + 0 2,1f(x) 4ke ? 0 ? ? f(x),k(k,，,)(k,k)所以，的单调递减区间是()和;单高层区间是1，111kfke，,(1)(?)当k>0时，因为，所以不会有,x,(0,，,),f(x),.ee2k4f(x)f(,k),.当k<0时，由(?)知在(0，+)上的最大值是,e24k11().f,k,x,(0,，,),f(x),所以等价于 eee1解得. ,k,0211 故当时，k的取值范围是,x,(0,，,),f(x),.,0).2e(19)(共14分) a,2,b,1,解:(?)由已知得22 所以c,a,b,3.所以椭圆G的焦点坐标为 (,3,0),(3,0)c3 e,.离心率为a2|m|,1(?)由题意知，. 33(1,),(1,),m,1x,1当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为22此时|AB|,3当m=,1时，同理可得 |AB|,3|m|,1y,k(x,m),当时，设切线l的方程为 y,k(x,m),222222得(1，4k)x,8kmx，4km,4,0由x,2，y,1.,4,设A、B两点的坐标分别为，则 (x,y)(x,y)11222228km4km,4x，x,xx, 1212221，4k1，4k|km|22222又由l与圆x，y,1相切,得,1,即mk,k，1.2k，122所以 |AB|,(x,x)，(y,y)2121422,kmkm,644(44)2,，k,(1) 222，k，k(14)14m43|,. 2m，3m,3由于当时， |AB|,3,43|m|AB|,m,(,1:1,，,)所以. 2m，343|m|43|AB|,2,因为 23m，3|m|，|m|且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.m,3(20)(共13分) 解:(?)0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A。 5(答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A)5 (?)必要性:因为E数列A是递增数列， 5所以. a,a,1(k,1,2,？,1999)k，1k所以A是首项为12，公差为1的等差数列. 5七、学困生辅导和转化措施所以a=12+(20001)×1=2011. 2000充分性，由于aa?1， 20001000aa?1 100020005、多一份关心、帮助，努力发现他们的闪光点，多鼓励、表扬他们，使其体验成功、努力学习。 aa?1 21（2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。所以aa?19999，即a?a+1999. 200020001又因为a=12，a=2011, 12000所以a=a+1999. 20001故是递增数列. a,a,1,0(k,1,2,？,1999),即An，1nn综上，结论得证。 (?)令c,a,a,1,0(k,1,2,？,n,1),则c,1.kk，1kA因为 a,a，c，a,a，c，c2111112描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O” a,a，c，c，？，c,n112n，1所以S(A),na，(n,1)c，(n,2)c，(n,3)c，？，cn1123n,1（2）经过三点作圆要分两种情况:n(n,1) ,(1,c)(n,1)，(1,c)(n,2)，？，(1,c).12n,12（2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。因为 c,1,所以1,c为偶数(k,1,？,n,1).kk如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则所以为偶数, *1,c)(n,1)，(1,c)(n,2)，？，(1,c)12nn(n,1)S(A),0,所以要使为偶数, 必须使n25.圆周角和圆心角的关系:即4整除. n(n,1),亦即n,4m或n,4m，1(m,N*)当n,4m，1(m,N*)时,E数列A的项满足a,a,0,a,1,a,1n4k，14k,14k,24k12.与圆有关的辅助线(k,1,2,？,m)时，有a,0,S(A),0;1na,1(k,1,2,？,m),a,0时,有a,0,S(A),0;4k4k，11na,a,0,a,1,4k,13k,34k,2当的项满足，n,4m，1(m,N*)时,E数列An定义：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即;当不能被4整除，此时不存在E数n,4m，2或n,4m，3(m,N)时,n(m,1)列A， n使得a,0,S(A),0.1n