《应用数理统计》第三章假设检验课后作业参考答案.docx

精品文档第三章假设检验课后作业参考答案3.1某电器元件平均电阻值一直保持2.64,今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为2.61。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为0.06(0.01)解：(1)提出假设H0 ：2.64, H1 ：,问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响?2.64(2)构造统计量U2.61 2.640.06/6(3)否定域V u u1(4)给定显著性水平0.01时，临界值u_22.575, u1.2.5752(5) u u ,落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。73.2 一种元件，要求其使用寿命不低于1000 (小时)，现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为 950 (小时)。已知这种元件寿命服从标准差100(小时)的正态分布，试在显著水平 0.05下确定这批元件是否合格。解：提出假设：H。：1000, 修：1000构造统计量：此问题情形属于u检验，故用统计量:Xu=7I 0 此题中：X 950 代入上式得：0 100n=2501000二950-1000100 25拒绝域：2.5V= u u1本题中：0.05u0.95 1.64即，uu°.95拒绝原假设H0认为在置信水平0.05下这批元件不合格。3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布N2 ,其中 40 kg / cm2 。现从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ,与以往正常生产时的相比，X较2大20( kg/cm )。设总体万差不变，问在0.01下能否认为这批钢索质量显著提高?解:(1)提出假设0,Hi :(2)构造统计量U150 八 n 40/3(3)否定域V uUi(4)给定显著性水平0.01时，临界值U12.33(5) U U1 ,在否定域之外，故接受原假设,认为这批钢索质量没有显著提高o3.4某批矿砂的五个样品中馍含量经测定为(%):3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值服从正态分布，问在0.01下能否接受假设,这批矿砂的馍含量为3.25?提出假设：H0： 1构造统计量：本题属于3.252未知的情形，可用0t检验，即取检验统计量为:t= -X，S、n 1本题中，x 3.252,S=0.0117,n=5代入上式得：,3.252-3.25t= 0.34190.0117、5 1否定域为:V=t>t (n 1)i-一20.01,t0.995(4)4.6041本题中， 解：CQt t1 _2接受H。,认为这批矿砂的镣含量为3.25。3.5确定某种溶液中的水分，它的10个测定值X 0.452%, S 0.035%,设总体为正态分布 N( , 2),试在水平5%检验假设：(i) H0:0.5%H1:0.5%(ii) H0:0.04%H1:0.0.4%构造统计量：本文中未知，可用t检验。取检验统计量为t=_X 0.S n 1本题中，X 0.452%S=0.035%代入上式得：0.452%-0.5%t= -4.11430.035%、,10-1拒绝域为：V= t >3- (n 1)本题中，0.05n=10t0.95(9) 1.8331 t 4.1143拒绝H 0(ii)构造统计量：未知，可选择统计量2 nS2本题中，S 代入上式得:20.035%n=100 0.04%10 (0.035%) 2(0.04%)27.656312 (n 1)否定域为：V=本题中，221 (n 1)0.95(9) 16.919Q 212 (n 1)接受H 03.6使用A(电学法)与B(混合法)两种方法来研究冰的潜热，样品都是0.72oC的冰块，下列数据是每克冰从0.72oC变成0oC水的过程中吸收的热量(卡/克)；方法 A : 79.98,80.04,80.02,80.04,80.03,80.03, 80.0479.97,80.05,80.03,80.02,80.00,80.02方法 B: 80.02,79.94,79.97,79.98,79.97,80.03, 79.95, 79.97假设每种方法测得的数据都服从正态分布,且他们的方差相等。检验H 0 ：两种方法的总体解:113均值相等。(0.05)13Xi80.0208,YS2i 1138Yi i 179.978813 i 1Xi5.410 4,S；Yi8.610 4(1)提出假设H。：2, H 1 :1(2)构造统计量tn1n2 n1 n2ni3.98(3)否定域V t tn1万n2tn11 一 2n2 2 t t1n1n222(4)给定显著性水平0.05 时,临界值tn1n221 _2t0.975 192.0930t t n1n2 2 ,样本点在否定域内,1 - 2故拒绝原假设，认为两种方法的总体均值不相等。3.7今有两台机床加工同一种零件，分别取6个及9个零件侧其口径，数据记为X1,X , X6 及 丫1,丫2, 丫9,计算得669Xi 204.6,Xi2 6978.93, Yii 1i 1i 19307.8,Yi2 15280.173i 1假设零件的口径服从正态分布，给定显著性水平0.05,问是否可认为这两台机床加工零件口径的方法无显著性差异?解:nS2- Xi2n i 1一一 一一 20.345, S2nYi212Y 0.357提出假设Ho：(2)构造统计量nin21 S21 S21.031(3)否定域n11,n2 1F F n11 _21,n2 1F n1 1,n21 _2(4)给定显著性水平1n 10.05 时,F0.975 5,8临界值4.821,n2 1 ,样本点在否定域之外，故接受原假设，认为两台机床加I零件口径的方差无显著性影响。3.8用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中SiO2的含量，得如下结果重量法：n=5 次测量，X 20.5%,§ 0.206%比色法：n=5次测量，Y 21.3%$ 0.358%假设两种分析法结果都服从正态分布，问(i)两种分析方法的精度 ()是否相同？(ii)两种分析方法的 均值()是否相同？ (0.01)解：提出原假设：Ho： 12 乩：12对此可采用统计量匚 n1(n2 1)S2F=2电1)S2在Ho下，F: F (n1 1, n2 1),我们可取否定域为V= F<F (n1 1, n2 1) U F>F 1, n2 1)1 - 22此时 P( V Ho)=0.01本题中，n5,X20.5%,6=0.206%n15,y21.3%,§=0.358%代入上式得:F=n1(n2 1)S25 (5 1)(0.206%)2"n2(n1 1)S25 (5 1) (0.358%)21F0005(5，5)= 0.06690.00514.94F0.995(5, 5) =14.940.3311由于F0.005(5, 5) <F<F0.995(5, 5)接受H0即无明显差异。(ii)提出假设：H0：12H1 : 12这种 未知的场合，用统计量t=叵西工32)n n2c 1n1 cc其中 s 一 (Xi X)S2r1 i 1在H0成立时，t服从自由度为r1否定域为：(X Y)fS2 n2S21 n22一(Y Y)& i 1n2 2白t分布。V= t此时 P( V H0)=本题中，n 5,n1 5, 代入上式得：t (n1 n2 2)1 一20.01x 20.5%,S =0.206%y 21.3%,3=0.358%t=k1%(nn2 2)n n25 5 (5 5 2):5 5=-3.8737t, (n1 n2 2) t0.995 (8)1 -2Q t q g n2 2)2拒绝H0,即差距显著。(X Y)nS2n2S2(20.5% 21.3%)5(0.206%2 5(0.358%)23.35543.9设总体X : N( ,4), Xi,K木侄为样本,考虑如下检验问题：H0:0 H1:1(i)试证下述三个检验(否定域)犯第一类错误的概率同为 =0.05V1=2-1.645V2= 1.50 2X 2.125V尸 2X1.96 或 2X 1.96(ii)通过计算他们犯第二类错误的概率，说明哪个检验最好？解：(i)P x V Ho 0.05X即，P U U1 _ U 0.9750.05万这里H0 :0P |x| 2*1.960.05V12X 1.645X 0P 2X 1.645 P 1.645( 1.645)1(1.645).n=1-0.95=0.05一X 0V21.50 2X 2.1251.50- 2.120nPV2Ho (2.215)(1.50) 0.98 0.93 0.05I- I一 X 0V32X 1.96 或 2X 1.96 2X 1.96 1.96I /n IP(V3 Ho)=1-P 2X | 1.962(1(1.96)0.05(ii)犯第二类错误的概率=P -V HiV1 :1=P 2X 1.6451_ X 1=P0.3551(0.355) 0.36n V2 : 2 1 P 1.50 2X 2.1251X 1=1-P3.501 4.125n=1-(4.125)+ (3.50)=1V3: 3 P 2X| 1.961_X 1=P 0.04 1 3.96-n=(3.96)-(0.04)=0.99996092-0.516=0.48396092V出现第二类错误的概率最小，即 V最好3.10 一骰子投掷了 120次，得到下列结果:点数123456出现次数232621201515问这个骰子是否均匀？（0.05）解:1本题原假设为： H°:R 1i=1,2, L ,66这里 n=120,nP 20本题采用的统计量为Pearson 2统计量即2 k g np:'i 1npi代入数据为：2 k . npj2(23-20)2 (26-20)2 L(15-20)2=4.8npi20i2 (k-1)= 0.95(5)=11.071由于212 (k-1)所以接受Ho即认为这个是均匀的。3.11某电话站在一小时内接到电话用户的呼唤次数按每分钟记录的如下表:呼吸次数0123456>=7频数81617106210试问这个分布能看作为泊松分布吗？( =0.05)解:检验问题为:Ho: P(x k)k参数为k!已知的最大似然估计P88601* L 6* 7* L60606020e20!21e21!22e22!23e23!24e24!25e25!26e26!2* e0.13530.27072*e20.27071.5* e 20.20302 2*e34 * 2* e150.09020.036142*e20.012045k(nnp)2i 1 nR=0.61452(8 60*0.1353)260*0.13532(16 60*0.2707)260*0.27072(1 60*0.0120)260*0 .0120由于Q 212(k-1)=12( k-1)2 0.9 5(5) =11.071接受H0,即分布可以看作为泊松分布。3.12检查产品质量时，每次抽取10个来检查，共抽取 100次，记录每10个产品中的次品数如下表:次品数012345610频数35401851100试问生产过程中出现次品的概率能否看作是不变的，即次品数X是否服从二项分布?(0.1)解：提出假设H 0 ： P X kC kCn p参数p的极大似然估计为:?0 35 1 4010 0 /1000 0.1P0P X 00.910 0.3487_ 11_9 一RPX1 C100.1 0.90.3874P2PX2c1200.120.980.1937P3PX3C30 0.130.970.0574_4_4_6_P4PX4C100.1 0.90.0112_5_5_5_P5PX5C100.1 0.90.0015P6PX6C1600.160.940.0001P7 P8 P9 P10025.0734A npnpi12 k 10.9 610.645, 12 k 12,故在置性水平0.1下接受H0,认为次品数服从二项分布。15.015.815.215.115.914.714.815.515.615.315.115.315.015.615.714.814.514.214.914.915.215.015.315.615.114.914.214.615.815.215.915.215.014.914.814.515.115.515.515.115.115.015.314.714.515.515.014.714.614.23.13从一批滚珠中随机抽取了50个,测得他们的直径为（单位：mm）:是否可认为这批滚珠直径服从正态分布？（0.05）解:设X为滚球的直径，其分布函数为F(x),则检验问题为xH0：F(x)()在H0成立的条件下，参数2的最大似然估计为=15.078 ,2 0.1833Pi14.6-15.078(0.4282)(-1.1163)0.1321P214.8 15.0780.4282(-1.1163)(-0.6492)P3(15.1 15.078)0.4282(-0.6492)(0.0514)P415.4 15.078(0.4282)(-0.6492)(0.7520)(-1.1163) 0.1260(-0.6492) 0.2624(0.0514) 0.2535P521-P1P2P3P40.2260(k-m-1)= 0.95(2)=5.991221-(k-m-1)=5.991接受H 0,认为滚珠直径服从正态分布。表 3-13i(ai 1,ai)niPinPi(n nP )2 nP1(0,14.6)60.13216.60610.0556214.6,14.8)50.12606.29760.2674314.8,15.1)130.262413.12090.0011415.1,15.4)140.253512.67520.1385515.4,)120.226011.30030.04330.50593.14调查339名50岁以上吸烟习惯于患慢性支气管炎病的关系，得下表:吸烟不吸烟患慢性支气管炎431356未患慢性支气管炎162121283205134339患病率219.716.5试问吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率是否有所不同？(0.01)解：H。：吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率相同H1 :吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率不同对每个对象考察两个指标，X 是否吸烟，Y 是否患病X的取值：吸烟，不吸烟；Y的取值：患病，不患病要研究吸烟与患慢性支气管炎病是否有关，这是nn43 nl2131251口22 Q2 n21n162,n22 121nl.7.469对于.通/2 n.20.01,查表 210.99 16.635支气管炎病患病率较高。3.15下列为某种药治疗感冒效果的r=s=2的二元列联表56, n 1 205 n2. 283 n2 1342,所以拒绝H 0 ,认为吸烟者的慢性年龄 疗於、儿童成年老年显著583832128284445r 117 :较差23181455109100913003*3列联表。?试问疗效与年龄是否有关(0.05)设X为年龄 解：Y为疗效Xi儿童显著X2丫2成年一般X3老年丫3较差H°: PijPiPji=1,2,3 j=1,2,3即X与Y独立本题选择的统计量为2s nj n Pi Pj代入数据得:r2 n(i 12n.nj=300(j 1 nnj582 41)3222nn nj丁nnrn(i 1s 2-1)1 nnj442109*128 100*128 91*128 109*117 100*117 91*117109*55=13.586212- (r 1)(s 1)Q 212- (r 1)(s100*55+91*55-1)2.95(4)1)9.4880.95(4)拒绝H 0，认为疗效与年龄有关。3.16自动机床加工轴，从成品中抽取11根，并测得它们直径（单位：mm）如下：10.52 10.4110.32 10.18 10.64 10.7710.82 10.67 10.59 10.38 10.49试检验这批零件的直径是否服从正态分布？（0.05,用W检验）解： 为了便于计算，列表如下：这里 n=11。表3-16kX(k)X (n 1 k)X(n 1 k) X (k)ak(W)110.1810.820.640.5601210.3210.770.450.3315310.3810.670.290.2260410.4110.640.230.1429510.4910.590.10.0695610.5210.520H 0 :总体服从正态分布H1 :总体不服从正态分布将观察值按非降次序排列成：X !)LXn)本题采用的统计量为： 2ak(W) X(n+1-k)X(k)k=1W=n(X(k) X)2k 111_-2(X(k)X)2 0.3821i 1X 10.52645 ak(W)X(12 k) X(k) i=1=0.5601*0.64+0.3315*0.45+0.2260*0.29+0.1429*0.23+0.0695*0.1=0.6130所以W=0.613020.38210.9834W0.050.85QW W0.05接受H0,认为这批零件的直径服从正态分布。一'- 一，. 一，.,一3.17用D Agostino D检验法才验例 3.20。解：H 0 :维尼纶纤度服从正态分布 H1 :维尼纶纤度不服从正态分布为了便于计算，统计量D的分子可以换成与其相等的形式:101定义统计量:Xk57.345 八 0.466123.18k X 101对于给定的显著性水平0.01,查表得D D0 9951.59,D1 一一22D0.0053.57，由于 D_22.D，故接受H 0 ,认为维尼纶1 一 2纤度服从正态分布3.18用两种材料的灯丝制造灯泡，今分别随机抽取若干个进行寿命试验，其结果如下:甲（小时）：161016501680170017501720 1800乙（小时）：15801600164016401700试用秩和检验法检验两种材料制成的灯泡的使用寿命有无显著差异（0.05） ?解：将两组数据按从小到大的次序混合排列如下表所示，其中第一组的数据下边标有横线。设两个总体的分布函数分别为）与52（*）,它们都是连续函数，但均为未知。我们要检验的原假设为：Ho：Fi(x) F2(x)表 3-18序号123456789101112数据158016001610164016401650168017001700172017501800这里1700两组都有，排在第 8,第9位置上，它的秩取平均数（8+9）/2=8.5 这里n1 7 n2 5,T 取 T2，即T=T 2 1 2 4 5 8.5 20.5从附表 13 查得 TT105 22,T(22 T205 43Q T</22拒绝H0,认为两种材料制成的灯泡的使用寿命有显著差异3.21对20台电子设备进行 3000小时寿命试验，共发生 12次故障，故障时间为34043056092013801520166017702100232023501650试问在显著水平0.10下，故障事件是否服从指数分布？原假设为：H0：F(x) F0(x; ) 1 ex , x>0求未知参数的极大似然估计值“1 121解：一 Xi (340 430 L 1650)=1416.6712 i=112X(i)按公式Fo(X(d； ) 1 eE计算X点的分布函数值，在列表计算di值。X(i)nif0(x«);)羽Fn(X(i1)|Fo (X (i);) Fn(X(i)l|Fn (X (i 1)Fo (X (i) ;)|di34010.213400.08330.21340.13000.213443010.26180.08330.16670.17850.09510.178556010.32650.16670.25000.15990.07650.159992010.47760.25000.33330.22760.14430.2276138010.62250.33330.41670.28910.20580.2891152010.65800.41670.50000.24130.15800.2413166010.69020.50000.58330.19020.10680.1902177010.71330.58330.66670.13000.04670.1300210010.77290.66670.75000.10620.02290.1062232010.80560.75000.83330.05560.02780.0556235010.80960.83330.91670.02370.10700.1070265010.84700.91671.00000.22870.31200.31202.2108由表可知Sn2.2108,给定显著水平0.10,查附表9得62,0.101.65QSnS12,0.10拒绝H0,既不认为故障时间服从指数分布。3.19 由10台电机组成的机组进行工作，在2000小时中有5台发生故障，其故障发生的时间为：1350 965 427 1753 665试问这些电机在2000小时前发生的故障时间 T是否服从平均寿命为 1500小时的指数分布?(0.1)解：H ° ：故障时间服从指数分布 H1 :故障时间不服从指数分布求未知参数？的极大似然估计值为1032F。X i ,X i1 e 1032计算X i点的分布函数值，再计算 di，计算过程见下表:XiniF0 X i , ?i 1 nin? i 1 F0 X i , ?n-F0 X i , ? ndi42710.33900.20.3390.1390.33966510.4750.20.40.2750.0750.27596510.6070.40.60.2070.0070.207135010.7300.60.80.1300.0700.130175010.8170.81.00.0170.1830.183合计1.134由表知Sn1.134 ,在给定的置性水平0.1下，查表得SnS5,0.1 1.23 Sn ,故接受H0 ,认为服从平均寿命为1500小时的指数分布3.20 考察某台仪器的无故障工作时间12次，的数据如下：(0.1)28 42 54 92 138 159 169 181 210 234 236 265试问无故障工作时间是否服从指数分布？ 解:H 0 :无故障工作时间服从指数分布H i :无故障工作时间不服从指数分布求未知参数？的极大似然估计值为1 1212 i iXi150.667F0 Xi ,1 e 150.667计算X i点的分布函数值，再计算 di ,计算过程见下表:XiniF0 X i , ?i 1 ninF0 X i , ? ni9F0 X i , , ndi2810.17000.0830.1700.0870.1704210.2430.0830.1670.1600.0760.1605410.3010.1670.250.1340.0510.1349210.4570.250.3330.2070.1240.20713810.6000.3330.41702.670.1830.26715910.6520.4170.50.2350.1520.23516910.6740.50.5830.1740.0910.17418110.6990.5830.6670.1160.0320.11621010.7520.6670.750.0850.0020.08523410.7880.750.8330.0380.0450.04523610.7910.8330.9170.0420.1260.12626510.8280.9171.0000.0890.1720.172合计1.891*由表知Sn1.891 ,在给定的置性水平0.1下，查表得Sn62,0.11.65 Sn，故拒绝Ho,认为无故障工作时间不服从指数分布3.21 对20台电子设备进行 3000小时的寿命试验，共发生 2次故障，故障时间为：340 430 560 920 1380 1520 1660 1770 2100 2320 2350 2650试问在显著性水平0.10下，故障时间是否服从指数分布?解:H 0 :故障时间服从指数分布H1 :故障时间不服从指数分布求未知参数 的极大似然估计值:1 1212 i iXi15001500Fo X计算X i点的分布函数值，再计算 di ,计算过程见下表:XiniFo X i , ?i 1 ninFo X i , ? n-Fo X i , ? ndi34010.202800.08330.20280.11950.202843010.24920.08330.16670.16590.08250.165956010.31150.16670.250.14480.06150.144892010.45840.250.33330.20840.12510.2084138010.60150.33330.41670.28170.18480.2817152010.63950.41670.50.22020.13690.2202166010.66950.50.58330.16950.08620.1695177010.69270.58330.66670.10940.0260.1094210010.75340.66670.750.08670.00340.0867232010.78710.750.83330.03710.04620.4062235010.79120.83330.91670.04210.12550.1255265010.82910.91671.00000.087 50.17080.1708合计1.9319*Sn1.9319,Sn 1.65 Sn,故在 0.10下，拒绝H0 ,认为故障时间不服从指数分布。3.22 甲乙两位工人在同一台机床上加工相同规格的主轴，从两人加工的主轴中分别随机的抽取7个，然后测量它们的外径（单位：mm）,的数据如下：甲20.519.819.720.420.120.019.0乙19.720.820.519.819.420.619.2试用柯尔莫哥洛夫检验法和秩和检验法分别检验这两位工人加工的主轴外径是否服从相同的分布？ (0.20)解：(1)柯尔莫哥洛夫检验法H 0 :两位工人加工的主轴外径服从相同的分布Hi :两位工人加工的主轴外径不服从相同的分布1 n求未知参数,的极大似然估计值：？ - xi 19.96n i i2?2Xi一 _ 一2x0.5492i 1计算过程见下表:XiniXi ? ?Uii 1 nini 1Ui niUindi19.01-1.7490.0400.0710.0400.0310.0419.21-1.3840.0840.0710.1430.0130.0590.05919.41-1.0200.1540.1430.2140.0110.060.0619.72-0.4740.3190.2140.3570.1050.0380.10519.82-0.2910.3860.3570.50.0290.1140.11420.010.0730.52790.50.5710.027