一阶微分方程初值问题数值解32猪的最佳销售时机.docx

课题第三章微分方程模型与一阶常微分方程初值问题数值解§ 3.1 一阶微分方程初值问题数值解§ 3.2猪的最佳销售时机教学内容1. 常微分方程的两个模型2. 一阶常微分方程初值问题数值解法3. 猪的最佳销售时机问题的模型及实验教学目标1. 了解一阶微分方程的初值问题的两个数值解法：欧拉方法、 Runge-kutta(龙格库塔)方法。2. 会利用变化率分析并建立微分方程模型。3. 会用软件Mathematica和MATLA求解微分方程模型。教学重点1. 掌握微分方程数值解法得基本思想.2. 了解欧拉方法、利用改进的欧拉公式解一阶微分方程的初值问题的数值解教学难点Runge-kutta(龙格库塔)方法双语教学 内容、安排Differe ntial equatio n;微分方程nu merical value soluti on;数值解教学手段、措施板书、结合多媒体教学作业、后记P69,2教学过程及教学设计备注是 y=f(x)，则有y"|xx#00=O用多媒体某些类型的导 弹对目标追击 的数学模型于 此模型类似。牛顿冷却定律： 即尸体温度的 变化律与他同 周围的温度差 成正比。记 y(Xn) = yn X将向前和向后 欧拉公式加以 平均得到。迭代过程分为 两步：由向前欧 拉公式算出§ 3.1 一阶微分方程初值问题数值解一、两个模型1、饿狼追兔问题现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？解首先建立坐标系，兔子在 O处, 狼在A处。由于狼要盯着兔子追，所以 狼行走的是一条曲线，且在同一时刻， 曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为 曲线上该点处的切线。设狼的行走轨迹又因狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。假设在某一时刻，兔子跑到(0,h)处，而狼在(x,y)处，则有h vf(X)二 O x2h 二 1 f 2(x)dx整理得到下述模型2xf (x)=訂 f 2(x)f (100) =0, f (100) =0这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行走轨迹313諾宀0宀竽因f (0) = 200 . 60 ,所以狼追不上兔子。32、尸体冷却模型受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于晚上8:20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6 C; 一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4 C,室温在几个小时内始终保持 21.1 C。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无罪的，并有证人 说："下午张某一直在办公室上班， 5:00时打完电话后就离开了办公室”。从张某 到受害者家(凶案现场)步行需 5分钟，现在的问题是，张某不在凶案现场的证言 能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。解：首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下午5点5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能将张某排除。设T(t)表示t时刻尸体的温度，并记晚上8:20为t=0，贝U T(0)=32.6 C,T(1)=31.4 C。假设受害者死亡时体温是正常的，即T=37C是要确定受害者死亡的时间，也就是求 T(t)=37 C的时刻，进而确定张某是否是嫌疑犯。人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节的功能消失，尸体的温度受 外界环境温度的影响。假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变 化律与他同周围的温度差成正比。即-JT-k(T -21.1)k 是常数，dt分离变量积分得：T(t) =21.1 ae"由 T(0)=21.1+a=32.6 得 a=11.5 ; 由 T(1)=21.1+ae-k=31.4 得 e-k = 115/103，即 k=0.11，所以 T(t)=21.1+11.5e-0.11t .当T=37C时，有t=-2.95 小时=-2小时57分，8小时20分2小时57分=5 小时23分。即死亡时间大约在下午 5:23，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。二、一阶微分方程初值问题数值解”y = f (x, y).yd。)= V0(3-1)y1的预测值 yn.1再把它带 入梯形公式的 右端，作为较 正。此方程的解析 解为y = . 1 2x , 按这个解析式 子算出的准确 值y(Xn)同近 似值相比较欧 拉方法的精度 很差。改进欧拉法明 显改善了精度 在区间 kn/Xn内仍 取2个点，仿照 改进的欧拉公 式得 注意：虽然四阶 龙格-库塔方 法的计算量)比 改进的欧拉方 法大一倍，但由 于这里放大了 步长(h=0.2), 表3 3和表3 2所耗费的计 算量几乎相同。 利用多媒体 此处介绍 Logistic 模型 此处用Mathematica 计 算程序演示1、导入课程：微分方程的定解问题中着重考虑的一阶方程的初值问题(3-2)函数f (x, y)满足利普希茨条件：|f (x, y) - f (x, y)|兰Ly - y(3-1 )的解y =y(x)存在并且唯一。右端函数中的在小区间xn -0,1,2(1)(2)(3.3)常微分方程的解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中主要靠数值解法。所谓数值解法，就是寻求解y(x)在一系列离散节点Xi ：X2 ：:Xn :：: Xn 1 :：-上的近似值y丫2,，yn，yn 1，.相邻两个节点的距离h=xni -Xn称为步长，节点为xn =x0 nh, n =0,1,2,.初值问题(3-1)的数值解法都采用进步式，即只要给 出用已知信息yn, ynyn N，就能给出计算yn 1的递推公式。2、欧拉方法的递推公式：它的基本思想是在小区间l.xn,xn1 上用差商y(xn1 y(xn)代替导数，而方程hn,Xn 1 1的端点上取值，得到方程的近似表达式，称为欧拉公式。(1)向前欧拉公式：yn1 二 yn hf (Xn,yn) 20,1,2 被称作向前欧拉公式或显式欧拉公式。(2 )向后欧拉公式：yn 1 Yn hf(Xn1,yn1)n 0,1,2 I |被称作向后欧拉公式或隐式欧拉公式。(3 )梯形公式：hyn+ =yn +：f (Xn,yn)+ f ( Xn ,n=0,1,2,2被称作梯形公式。(4 )改进的欧拉公式：yn 1 二 yn hf(Xn,yn)yn 1 = ynh f (Xn,yn) f(Xn !n 1)被称作改进的欧拉公式。例1、求解初值问题y / = y - 2x (0 £ x £ 1)yy(0)= 12x解(1)向前欧拉公式的方法具体形式为：yn+ = yn +h(yn-n)yn取步长h=0.1，计算结果见表 3 1。y(Xn)y(Xn)0.11.10001.09540.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43511.41421.01.78481.7321hyn44 = yn 中 2(k1 *k2)2xnki = yn ,k = ( yn hki )yn(2)用改进的欧拉公式为y(Xn)y(Xn)0.11.09591.09540.61.48601.48320.21.18411.18320.71.55251.54920.31.26621.26490.81.61531.61250.41.34341.34160.91.67821.67330.51.41641.41421.01.73791.73212xn 1 yn hki仍取h=0.1，计算结果比较见表3-23、Runge-kutta(龙格库塔)方法它的基本思想是将y(x h)在x处进行泰勒展开，并取其前面几项来近似y(x h)而得到公式：y(x h) ： y(x) h (x, y(x), h)由上式产生的迭代公式：yn i二yn h'(xn，yn,t)n 0,1,2,若y(x + h) - k(x) +h©(x, y(x),h) 】=o(hp卅)，则称以上述公式为 P阶公式, P的大小反映出精度的高低。二阶 Runge kutta 公式yn十 yn + h1k1 + 丸2k2)k f(xn,yn)k2 二 f (Xn ： h,ynhkJO ，：1其中'2,为待定系数，它满足:+丸2 = 1，丸2a=1 a上式被称作是二阶 R- K公式。四阶Runge kutta公式n 十二 yn +h(人 K + 打 k2 + 爲 k3 +A4k4)k1 = f(Xn,yn), k2 = f(Xn 中。山，y p1hk1) k3 = f (Xn +ct2h, yn + 卩2hk1 + dhk2)=4 = f (Xn +sh, yn + 卩4hk1 + p5hk2 + 卩6hk3)'iCi的值,其中待定系数 -i, '-i共13个，由于计算复杂，直接给出一组 得yn1 Tn 6(k1 2k2 2k3 k4),ynhhk(Xn 2,yn 2k2), k4=(Xn h,yn hk3)称作四阶R-K公式。例 3.2设取步长h=0.2，从x=0直到x=1用四阶龙格库塔方法求解初值问题(3-3)。解四阶龙格-库塔公式hK2= yn + K1hyn 半=yn + K(Kl + 2K2 + 2K3 + K4 )6L2Xn2人 hyn ；KihK3 二 yn2 K22x h , k 丄h # yn2 K2_ 2(Xn h)yn hK3yn表3-3列出计算结果，表中 y(xn)仍表示准确解。表3-3yg0.21.18321.18320.41.61251.34160.61.48331.48320.81.61251.61251.01.73211.7321比较例3.3和例3.2的计算结果，显然以龙格一库塔方法的精度为高。值得指出：龙格-库塔方法的推导基于泰勒展开方法，因而它要求所求的解具有较 好的光滑性质。如果解的光滑性差，使用四阶龙格-库塔方法求得的数值解，其精 度可能不如改进的欧拉法，实际计算时，我们应当针对问题的具体特点选择合适的 算法。§ 3.2猪的最佳销售与天然气储量问题、猪的最佳销售时机问题：1、问题的提出：对于猪的商业性饲养和销售，人们总是希望获得最大的利润， 在市场需求不变的情况下，如果我们不考虑猪的饲养技术、水平，猪的类型等因素 的影响，那么影响销售利润的主要因素，就是销售时机问题，由于随着猪的生长， 单位时间消耗的饲养费用逐渐增多，而猪的体重增长却逐渐变慢，因此对猪的饲养 时间过长是不合算的。假定一头猪在开始饲养时的重量为 X。，在饲养后任意时刻t的重量为x(t)，对 于某一品种的猪，它的最大重量假定为X。，猪的最小出售体重为 Xs，相应的饲养时间为ts。一头猪从开始饲养到时刻 t所需的费用为y(t)，同时我们假定反映猪体重 变化速度的参数为 a，猪在达到最大体重后，单位时间的饲养费为y，反映饲养费用变化大小的参数为 入，请根据上面的假设， 建立起猪的最佳销售时机的数学模型， 并用下面所给的数据验证你的模型。假设=200 (kg), Xs=75 ( kg), a =0.5 (kg/天)，猪的市场销售价设为c=6元/kg , y =1.5 (元 / 天)，入=1 (元 / 天)，xo=5kg。2、问题分析：由于猪在进行饲养时已具有一定的体重，而其体重的增加随饲养时间的延长逐渐减慢，因此由Logistic模型可得d>：0-X<o）；又由于猪的体重增加，单位时间消耗的饲养费用就越多，达到最大体重后，饲养费用为常数以有dy仁Xo），因此，得到微分方程:dxx_=G(1)dtXody (1 x )dt (1 Xo)x(0) = xo y(0) =0«txx(t) =Xo (Xo Xo)e o求解可得：一.-ty(t) = t (X o -'Xo)(1 -0 )(1)养猪能否获利，主要看猪从出生到ts时，如果出售是否可以获利，因此，获利的充要条件为：XsC _ x°Coy(ts)（2）其中co为仔猪的价格。由（1）式可得：xs =Xo _ e Xo (Xo - Xo),解之可得：tsIn Xo 一却，将（1）, （2）式代入可得:一:：Xo - xsG(XsC XoCo) +h(Xs Xo) 叹 o In _xo x Xs(3)所以只要（3）设猪的最佳出售时机为 t*，由（1）式求导可得:dxxo、Xo=a（1 ）e dtXo式成立，饲养就会获利。tXo（4）由盈亏平衡原理：即单位时间内由猪增加体重所获得的利润与消耗的饲养费用 相等，可得cdx _dydt dtY,所_!t°%tox由(4 )式可得：c : e Xo ( -0 ) = *' Xo (1 一 0 ),解之可得XoXo+ Xo (ca + 丸)(Xo Xo) toIn 。Xo若 一: c时，to . ts故猪应在t“二 匹In )(Xo- x°)时出售。X o - Xs-X o"Xx X X若o一工ca*九时，to Ets故猪应在t*=ts=°lno 一 o时出售(因为X o - XsX o - Xs猪必须长到Xs)。猪的最佳销售时机问题的计算。下面给出Mathematica计算程序：%最佳销售时机ch411%文件名：ch411.mX=2oo.o；xs=75.o；xo=5.o；c=6.o；alpha=o.5;bet=1.o；gama=1.5;temp=gama*X/(X-xs)-(c*alpha+bet);t=iftemp<0,X/alpha*Log(c*alpha+bet)*(X-x0)/(gama*X),X/alpha*Log(X-x0)/(X-xs)执行后输出Out1=True,382.205,177.874即猪的最佳出售时间为饲养到382天左右。