八年级数学上册5.5三角形内角和定理妙用三角形外角定理解题素材(新版)青岛版.doc

点拔：在求一个不规则图形的度数和时， 利用外角进行巧妙的转化成内角和或是已知度 妙用三角形外角定理解题 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角” 这就是由三角形内角和定理推出的外角定理，该定理中集中体现了 外角和内角间的两种关系：等量关系和不等量关系 .常应用于在已知两角度数时求第三角的 度数或证明两个角之间的不等关系.下举几例说明外角定理在解题过程中的妙用 利用外角定理求角的度数 例1如图，.ABC中，.A =60 , . B =50 ,点D在的延长线上，则 NACD= 度. 分析：从图中可以看出，.ACD是 ABC的外角，所以可以直接利用 三角形的外角定理得出的度数。 解：因为.ACD 是 ABC 的外角，所以.ACD =A+Z B=50 +60 =110. 例 2 如图所示,/ A=50 , / B=40 , / C=30 ,则/ BDC= _ . 分析：右图是一个四边形，直接求/ BDC的度数有一定的困难，所以可以考虑 通过添加辅助线变成三角形的问题来解决， 所以我们可以通过延长 BD与AC交于点 E,利用外角定理来求解。 解：延长BD交AC交于点E,因为/ BDC是厶DEC的外角，所以/ BDCM C+Z DEC 又因为 Z DEC是 ABE 的外角，所以 Z DECZ A+Z B, 所以 Z BDCZ C+Z DECZ C+Z A+Z B=50 +40 +30 =120 . 点拔：求角的度数时，若不能直接求得时，可以考虑添加辅助线来把它变 成三角形中的有关问题，通过外角定理加以解决。 二 利用外角来求不规则图形的角度和 例3 如图，求出Z A+Z B+Z C+Z D+Z E+ZF 的度数. 分析：这是一个不规则的图形，所以不能直接求出其度数和，三角形的外 角定理来解决。 解：由图知Z A+Z F=Z OQAZ B+Z C=Z QP(CZ D+Z E=Z EOP 而Z OQAZ QPCZ EOP 是厶OPQ的三个外角. Z OQAZ QPCZ EOP=360 . Z A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F=Z OQAZ QPCZ EOP=360 .C 2 数是成功的关键。 三利用外角来说明角之间的不等关系 例4 .如图，在 ABC中，E是AC延长线上的一点， D是BC上的一点, /Ao 分析：因为/ BDE和/A并不在一个三角形上，所以没有办法直接证 明，因此需要一个中间量来过渡一下，从图中不难发现，/ DCE 正好是 桥梁。 解：因为/ BDE DCE的外角，所以/ BDEN DCE,又因为/ DCE 是厶ABC的外角，所以/ DCEN A,所以/ BDEZ Ao 例5已知E是厶ABC中/C的外角的平分线与 BA的延长线的交点, 求证：/ BAOZ B 分析：由于/ BAC ZB均在ABC的内部，所以直接证明是 有很大的困难的，而三角形中外角大于两个与它不相邻的内角， 所以可以通过转化成外角来处理。首先看大角是哪个三角形的外 角，小角是哪个三角形的内角， 有时，还需要中间量来过渡证明。 本题中大角/ BAC是的外角，/ BAOZ 1而/仁/ 2,所以只需 要证明/ 2Z Bo而/2为ABE的外角，所以/ 2Z B,故/ BAC / B。 证明：因为/ BAC是厶ACE的外角，所以 / BAOZ 1;因为CE是角平分线，所以/仁/ 2;又因为/2是厶BCE的外角，所以/2Z B, 所以/ BAOZ Bo 点拔：证明角的不等关系，往往不能直接证明，所以借助外角就成了解决问题的法宝 四三角形外角定理在生活中的应用 例6如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门 AB冲近，说明 这是为什么？ 分析：这是一个体现数学价值的好题， 球员在球门附近射门， 不仅是力量 大，更主要的是，射门的张角变大了，在数学上可以用外角知识来解决。 解：如图，设球员接球时位于点 C,他尽力向球门冲近到 D, 试说明：/ BDE A 3 此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门 AB的张角也扩大，球就更容易射中.4 理由说明如下： 延长 CD至U E,则/ ADEN ACE / BDEN BCE / ADEN BDEN ACEN BCE 即/ ADBN ACB 点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题. 精典练习： 1如图1，/ 1、/ 2、/3的大小关系为 _ 2 如图 2, / A+N B+N C+N D+N E+N F= _ 3 如图 3,已知 AC/ ED / C=26,Z CBE=37，则/ BED的度数是( A.63 B.83 C.73 l 5-? 附练习答案： 1 (/ 1N 2N 3) , 2 (360 ) 3 ( A)