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广东省梅州中学2012届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题梅州中学2012届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，满分40分，每题只有一个答案是正确的. 02,az1(已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是( ) za(15)，(13)，(15)，(13)，A( B( C( D( 1aSS,20S,2(记等差数列的前项和为，若，则( ) a,nnn4612A(16 B(24 C(36 D(48 3(某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19(现用一年级 二年级 三年级 分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三y x女生 373 年级抽取的学生人数为( ) z男生 377 370 A(24 B(18 C(16 D(12 表1 ,240xy，?，,xy，250，?,xy，zxy,，324(若变量满足则的最大值是( ) ,x0，?,y0，?,A(90 B(80 C(70 D(40 ABC，?GHI5(将正三棱柱截去三个角(如图1所示分别是三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( ) A A H G B B B B B B C C 侧视 I E E E D D E E E A( B( C( D( F F 图1 图2 p:q:6(已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) ()，,pqpq,()()，,，pq()()，,，pqA( B( C( D( axa,Ryex,，3x,R7(设，若函数，有大于零的极值点，则( ) 11a,3a,3A( B( C( D( a,a,33BDAEABCDACOE，OD8(在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的 FAF,CDAC,aBD,b延长线与交于点(若，则( ) 11211112A( B( C( D( ab，ab，ab，ab，42243333二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分( (一)必做题(912题) 开始 m,4n,69(阅读图3的程序框图，若输入， i,则输出 ， . a, 输入mn，268(1)，kx数 kx10(已知(是正整数)的展开式中，的系i,1 k,小于120，则 ( 22xy，,0xxy，,20C11(经过圆的圆心，且与直线 ami,， 垂直的直线方程是 ( ii,，1 fxxxx()(sincos)sin,fx()x,R12(已知函数，则的 n整除a? 最小正周期是 ( 否 是 f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x,R，13.设都有 ai，输出 xf(x),f(x，4)，且当x,0,2时，f(x),2,1，则方程 f(x),log(x，2),0的实数根的个数为 . 2结束 (二)选做题(1415题，考生只能从中选一题) 图3 CC，14(坐标系与参数方程选做题)已知曲线的极坐 12,cos3,标方程分别为， ,?,，4cos00,2,CC则曲线与交点的极坐标为 ( 21PAO15(几何证明选讲选做题)已知是圆的切线， APA,2ACOPCO切点为，(是圆的直径，与圆 BPB,1R,O交于点，则圆的半径 ( 三、解答题:本大题共6小题，满分80分(解答须写必要的出文字说明，证明过程或演算步骤( fxAxA()sin()(00,，,，)x,R16(本小题满分13分)已知函数，的最 1,大值是1，其图像经过点( M，,32,fx()(1)求的解析式; 312,f(),(2)已知，且，求的值( ,，,0f()f(),5213,17(本小题满分13分)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件(已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元(设1件,产品的利润(单位:万元)为( ,(1)求的分布列; ,(2)求1件产品的平均利润(即的数学期望); 1%(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为70%(如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少, 18(本小题满分14分) 22xy2b,0xyb,8()设，椭圆方程为，抛物线方程为(如图4所示，,1222bbFb(02)，G过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线xGF在点的切线经过椭圆的右焦点( 1(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; PAB，(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，?ABP使得为直角三角形,若存在，请指出共有几个这样的点,并说明理由(不y 必具体求出这些点的坐标)( F G F1 x A O B 图4 1,，x,1,Fxfxkx()(),k,R1,x19(本小题满分14分)设，函数，fx(),xx11，?,Fx()x,R，试讨论函数的单调性( RPABCD,ABCD的底面是半径为20(本小题满分14分)如图5所示，四棱锥BDPD，,ABD60，,BDC45的圆的内接四边形，其中是圆的直径，垂直PEDFEABCDEF，PBCD，PDR,22底面，分别是上的点，且，过点,EBFCBCPCG作的平行线交于( P BDABP,(1)求与平面所成角的正弦值; E G ?EFG(2)证明:是直角三角形; PE1?EFG(3)当时，求的面积( ,A D EB2F B C 图5 21(本小题满分12分) 2pq，,，xpxq,，,0x设为实数，是方程的两个实根，数列满足n2xp,xpxqx,n,34，xpq,，()( 1nnn,122,，,p,q(1)证明:，; x(2)求数列的通项公式; n1p,1xS(3)若，求的前项和( q,nnn4梅州中学2012年届理科数学热身题答案 一、CDCC ADBB 126,17.【解析】的所有可能取值有6，2，1，-2;，,P(6)0.6320050204， ,P(2)0.02P(2)0.25P(1)0.1200200200,故的分布列为: , 6 2 1 -2 P0.63 0.25 0.1 0.02 E,，,，,60.6320.2510.1(2)0.024.34(2) (3)设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为 xExxxx()60.72(10.70.01)(2)0.014.76(00.29),，,，,，, Ex()4.73,4.764.73,xx,0.033%依题意，即，解得 所以三等品率最多为 y 122xyb,8()18. 【解析】(1)由得， yxb,，F 8G yb,，2x,4(4,2)b，当得，G点的坐标为， ？ F1x A O B 1y'|1,， yx',x,44图4 ybx,，,(2)4yxb,，,2过点G的切线方程为即， y,0(2,0),b(,0)bxb,2？FF令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为， 112x22？,2bbb,1xy,8(1)即，即椭圆和抛物线的方程分别为和; ，,y121,kxx,1,1,x19. 【解析】Fxfxkx()(),xkxx1,1, 1,kx,1,2,(1),x,Fx'(), ,1,kx,1,21x,1对于， Fxkxx()(1),1,xk,0Fx()(,1),当时，函数在上是增函数; 11k,0Fx()当时，函数在上是减函数，在上是增函数; (1,1),(,1),kk1对于， Fxkx()(1),21x,Fx()k,01,，,当时，函数在上是减函数; ，,11，,，,Fx()k,0当时，函数在上是减函数，在上是增函1,，,1,1，,22,4k4k，,，,数。 RtBAD,，,ABD60？,ABRADR,320。【解析】(1)在中， 而PD垂直底面ABCD， P 2222PAPDADRRR,，,，,(22)(3)11 E G 2222PBPDBDRRR,，,，,(22)(2)23, A D F B C 图5 222,PABPAABPB，,PAB，PAB在中，,即为以为直角的直角三角形。 DPABHPAABHABADPD,VV,设点到面的距离为,由有, PABDDPAB,ADPDRR322266H66即 ; ,sinHR,BD11PA1111RPEPGPEDF,而,即(2)EGBC/,？,EBGCEBFC22ppqppq,，,44,21. 【解析】(1)由求根公式，不妨设，得 ,2222ppqppq,，,44，,？，,，,p2222ppqppq,，,44 ,，,q22(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.xsxtxsx,()xstxstx,，,()xpxqx,(2)设，则，由 nnnn,112nnn,12nnn,12stp，,得， ,stq,(4)直线与圆的位置关系的数量特征:22tspsq,，,0xpxq,，,0消去，得，是方程的根， ？sss,由题意可知， 12ss,stp，,12,或?当时，此时方程组的解记为 ,tt,stq,12,？,xxxx(),xxxx,(), nnnn,112nnnn,1128、加强作业指导、抓质量。s,s,xtx,xtx,即、分别是公比为、的等比数列， ,12nn11,nn21,推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；n,2n,2xxxx,()xxxx,()由等比数列性质可得, nn,121nn,121应用题nn,22()()(),xxxxx两式相减，得 n,12121222x,，xpqxp,？,，x,， 1212nnn,222nnn,222？,()xx,()xx,， 2121推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。nnnn，11,nn？,(),x，即， xx？,？,1n,1nn,11122p,1xpxq,，,0(3)把，代入，得，解得 ,q,xx,，,0,4423.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。11nn xn？,，()()n2211.弧长及扇形的面积11111111,2323nn Sn,，()()().()()2()3().(),n22222222,（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。11111,nn23,，n1()()2()3().(),22222,对称轴：x=1111nnnn,1 ,，,，nn1()2()()3(3)()2222