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华东师大通识限选课程“数学文化”期终复习提纲20102011学年第一学期1. 美国哥伦比亚大学收藏的Plimpton 322号巴比伦泥版的内容是什么？试推导勾股数公式。2. 介绍公元前6世纪萨莫斯隧道的设计方法。3. 分别用刘徽（3世纪）、欧几里得（Euclid, 前3世纪）、达·芬奇、伯里加尔的方法证明勾股定理。4. 叙述中国剩余定理。5. 简要介绍刘徽的割圆术。6. 写出数学上最美的五个定理。7. 证明：，其中a、b、c、d、u、v、p、q均为正整数，且。8. 解决伽莫夫（G. Gamow, 19041968）问题：有一张破旧发黄的羊皮纸，上面指出某一无人荒岛上海盗宝藏的位置，同时指示：岛上仅有一棵橡树和一颗松树，还有一座断头台。从断头台开始直线走向橡树并记下步数，到达后向右转90°继续直走相同的步数，然后在停止处钉下一根钉子。再回到断头台直线走向松树，到达后左转90°继续直走相同的步数，同样在停止处钉下一根钉子。这时只要在两钉连线的中点处挖掘，就可以找到宝物。一个年轻的探险家在得到这张羊皮纸后来到荒岛，他找到了两棵树，但断头台却荡然无存了！你能帮他找到宝藏位置吗？9. 文艺复兴时期，艺术家将透视学用于绘画，试介绍所涉及的三个定理。10. 一家旅馆有无穷多个房间，住满旅客。如何安排新来的10位旅客住宿？如何安排新来的可数无穷位旅客住宿？谈谈无限集和有限集的本质区别。11. 在著名的约瑟夫问题中，若设排成一圈的人数为，并且从1号开始按顺时针方向点数，每点到2，第2号被扔进大海。记最后剩下的一个人位于第号。当，时，相应的如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 9 11 13 15 1试给出与n的一般关系式，并计算和。1、第二单元“观察物体”。学生将通过观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的发展空间观念。12. 文艺复兴时期德国著名艺术家丢勒（A. Dürer, 1471-1528）在其作品忧郁中构造了如下四阶幻方：一锐角三角函数的图象可以由yax2的图象平移得到：（利用顶点坐标）试尽可能多地列举出该幻方所具有的性质。(一)教学重点13. 试计算达芬奇“猫眼”图中阴影部分的面积，已知正方形的边长为a。(2)如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.（直径添线成直角）一、指导思想：14. 拿破仑远征埃及途中曾提出如下数学问题：不用直线，仅仅用圆，将一个已知圆四等分。这个问题导致了下面的图形。试证明B = C，并求蘑菇形（B+C）的面积。(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.2、第三单元“生活中的数”。通过数铅笔等活动，经历从具体情境中抽象出数的模型的过程，会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。15. 爱丽丝漫游奇境记的作者卡洛尔曾提出一个著名的几何谬论，即“64=65”：如图，将边长为8的正方形分割为四块，重新拼合成边长为5和13的矩形。由此得到64=65！请解决这个谬论。对于其它尺寸的正方形，会出现类似的谬论吗？ 16. 爱丽丝漫游奇境记的作者卡洛尔有一个著名的几何谬论：如图，ABC为任一三角形，分别作顶角A的平分线和底边BC的垂直平分线，交于点O。过O分别作两腰AB和AC的垂线，垂足分别为D、F。易证RtDADO RtDAFO，RtDODB RtDOFC，从而得AD = AF，BD = CF。因此，AB = AC。因此，任意三角形均为等腰三角形！2、第三单元“生活中的数”。通过数铅笔等活动，经历从具体情境中抽象出数的模型的过程，会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。17. 在著名的“十五子戏”中，可以根据逆序数来判定一种给定的排列能否从初始自然排列得到。问：从自然排列出发，能否得到下面两种排列？115.75.13加与减（二）2 P61-63 数学好玩2 P64-67 18. 就两则文献发表你的任何评论。（1）陈子昂“登幽州台歌” ：“前不见古人，后不见来者。念天地之悠悠，独怆然而泪下。”（2）王蒙“生命的意义原则”：“与无限长远的永恒与无限辽阔的宇宙相比较，人类特别是人类个体就渺小得可以不计了。是的，当分母是无限大的时候，与之相比的人也好蚁也好菌也好，或者地球也好太阳系也好一个与几个银河系也好，蜉蝣之一进一夕也好，人之不满百年也好，古柏之五千岁也好，都是同样地几乎没有区别地趋向于零，趋向于可以略而不计。”19. 英国作家洛奇（W. J. Locke, 18631930）Marcus Ordeyne的道德（1905）中的男主角马库斯·奥戴尼如是说：“我年轻时曾在学校里混饭吃，教孩子一门最无用、最灾难性的、最禁锢心灵的学科，教师们无情地、愚蠢地损坏了无数同类的头脑，损毁了无数同类的生命初等数学。上帝的地球上没有任何人有任何理由去熟悉二项式定理，和三角形的求解，除非他是职业科学家回想起那些为了面包而滥用智力去浪费天真无邪的孩子的宝贵时光的日子，我感到羞愧和堕落，他们本可以学习如此多的美丽而有意义的事，而不是这门完全无用的、不近人情的学科。他们说，它训练头脑它教会孩子思考。其实不然。事实上，它是一门枯燥乏味的学科，易于用做学校课程。其神圣不可侵犯性为教育家们省却了巨大的麻烦，它的主要用处便是让没有头脑的年轻人大学毕业后不诚实地混饭吃。他们把这门学科教给其他人，而其他人又把它教给下一代。”请对此作出评论。20. 对于华师大通识限选课程“数学文化”的开设，你赞成还是反对？陈述你的理由。
