（精选）海淀高三一模2020海淀高三数学一模答案.docx
海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案2020.春一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A 2. B 3. B4. D 5. C6. C 7. D 8. C9. A 10. B二、填空题:本大题共5小题,每小题5分，共25分.11. x = -12. 24：13. 0；14. 42; 26；15. (1) (2)三、解答题：本大题共6小题，共85分.16. (共 14 分)(1).AB丄平面88CCC】Bu 平面BB.C.C,AB 1 CB又4BC _ &BG为三棱柱AB = BB、= 2BC = 2"BB=2 = CC,BC = 1BC=8e.在A5CG中，SC2 + C,52 = CC,2b:.CB 1BC; BCnB = By 圣BC c WiABC,AB c ABC./CXB1 平面"CCXB丄平面如C:.QB1BC又v AB丄平面B8CCAB LBC, AB LBC,以8为空间直角坐标系原点，昭为x轴，BQ為轴，时为:轴建系如图8(0,0,0), C(l,0,0),C,(0,也 0), E( - 右,1)而=(?M,1)网= (1,0,0)设平面BCB法向量为 =(x, y,z).n丄BE.n丄BC n BE=0,n BC=0x + >/3y + z = 0x = 0/. x = 0令= 则:=-3 h = (0,a/3,-3)BC,丄平 ABC17. (共 14 分) 解：(I) /(O) = 2 cos 0 + sin 0 = 2 ；(II)当取口1 =1,勿2 = 2时 f(x)-2 cos2 x + sin 2x =sin2x + cos2x + l = V2sin(2x + -)+l,当2当=号时，即一等/(叽宀(-等)=7T = 7V当取y, = L 口2=1时，/(x) = 2 cos2 x + sin x = 2 sin2 x + sin x + 2。7t兀256则/'(x) = gQ) = -2+，+ 2/e -I,：所以加血=g(0mm = g(-1) = -2 - 1 + 2 = -1并且T = 2兀 请关注“海淀数学教研”微信公众平台。謁18. （共 14 分）解：（1）.由题意可知，从2010年到2019年共10年，其中研发投入占当年营收的百分比超过 10%的有9年；设从2010年到2019年随机选取一年，研发投入占当年营收的百分比超过 10%为事件A.所以P（N）=畚（2）.由图可知，研发投入超过500亿元的年份的有5个，未超过500亿元的年份有5个。 由题意可知X的可取值为：0,1,2.尸1厂*1p(x = i)=#。10所以X的分布列为:P012X295929252所以 £（X） = 0x + lx + 2x = 1.999（3）,由题意可知从2010年到2019年共10年，其中该年研发投入占当年营收的百分比超过 ,0%的有9年;而且从研发投入上看研发投入基本都在每年增加。可见该公司在发展的过程 中比较重视研发。请关注“海淀数学教研”微信公众平台。農19. （共 15 分） 解：（I）切线方程为y = l; /'(x) = e" -1,令 fx) = 0,得x = 0；所以，当x变化时，_f（x）与/'（X）的变化情况如下表所示:X(-8,0)0(0,1)r（x）0+/(x)所以 /«,n=/(O) = h(II )当ae(-2,0)珅，曲线y = _/(x)与y = -nx有目只有一个交点等价于P(x) =e* +ax + lnx l(x>0)有且只有一个零点;方法一:F'(x) = e' + a + 丄(x > 0)X、当 xg (0,1)时，ex > , > 1, -2 < a < 0 ；所以 Fx) > 0 所以F(x)在(0,1)上单调递增;当 xel,+oo), e'2e, 0<-<1, 2<a<0；所以 F'(x) > 0 ,所以万(X)在1,+8)上单调递增;综上可知：P(x)在(0,+8)上单调递增;又因为F(3) = + 3a + In3 1 >0 , F(e_l) = ee" +-+ Inie-1 )-1 < e5-2 + -< 0 ； ee由零点存在定理可知：F(x)=ex +ax + nx-l在(丄,3)上存在唯一零点，记为x°； e所以当a g (-2,0)时，曲线_y =，(x)与* = 1-Inx有且只有一个交点一方法二：F'(x) = ex +a + 其中 x g(0,+co) , ae (- 2,0)x设 g(x)=F'(x) g'(x) = e、-$, g'(x)单调递增，且&'(1)>0浦'修)<0, 女。,1)使g，(x。)= K 一丄=0 ,此时。=丄 所以g(x), g'(x)随x的变化情况如下表：（0, X。）g'(x)g(x)X。(%+8)0+极小值/x。扃 X。，g(Xo) = B'(Xo)=e*° +a + = F + a + 因为丄>Lr>l,所以g（x°）>0 所以尸（X）在X （0,+8）单调递增, e<4<2",所以芒<2,又因为。£（一2,0）,F(e)-ee +ae- + ee > e1 >1 ae > -2e > -6 F(e)- ee + ae- + > 0 根据零点存在性定理可得一定存在一个气使得”毎)=/' +气- l + lnX| =0所以当czg（-2,0）时，曲线_y = /（x）与_y = 1Tnx有且只有一个交点.请关注“海淀数学教研”微信公众平台。讒20. (共 14 分)解:（1）曰题得解得:a2 +b2 =c2椭圆C的方程为:y + / = l.方法一：设地g,（x"0,±2） .手 + %2 = 1可求得直线 AtM :y = (x + 2),直线 A.B :- + y = x0 + 22联立：y=L-(X+2)X°+2,解得：-+J = 12扣20-4外+4+ 2坊 + 2 .2x0-4y0+4-4y0-4oy x0-2y0-2Xo+2no + 2Xo + 2% + 2)同理：直线&W :y =豊(x 2),x°_2直线A,B: + y = 可求得疽。-饥+4,_4y,_) 一2x0 -2yn-2 x0- 2y0- 2可求得：r 2 s 2BQf = XQ2 + (1 -均)2 =端 + 言=号， |时=宀(_梢2=宀字竽,而v 22 _/2x0-40+4 2-2x0-4y0+4 2xq xp _(島_(； 厂)工0 + 2坊 + 2X。- 2坊-2=/|( Xo_2j，o+2 尸(Xo+2;vo_2 尸x0 + 2y0 + 2x0-2y0-2=4(0-2儿+2 I Xo+2y°-2)( x°-2v°+2。+2儿一2)x0 + 2y0 + 2 x0 -2y0-2 x0 + 2y0 + 2 x0 - 2y0 - 2 其屮工0一2打+2 I Xo+2vo-2Xo + 2% + 2 Xo_2%_2=(x o 2y o +2)(x° _ 2% _ 2) + (x o +2y o -2)(气 + 2为 + 2)(Xo+2% + 2)(Xo - 2月一 2)=(0-2, o)2 4 +(X。+ 2坊)2 _ 4(x()+ 2y0 + 2)(x0 - 2y0 - 2)2%()2+802 8°(x0 + 2y0 + 2)(x0 -2y0 - 2)BQf = BPf 即BQ = BP:.BPQ为等腰二角形请关注“海淀数学教研”微信公众平台。篇方法二:设 M(x°，为)，3。部,±2).3 + 坊2 = 1.可求得直线A,M:y = (,x + 2'),直.A2B:- + y = Xo + 22联立：、=旦%("2)*°+2，解得- + y=l2工=204光+4x° + 2% + 2q(2xo4vo+44口)4月X。+ 2坊 + 2' % + 2义)+ 2y X。一 2坊 _ 2同理：直线 A2M :y = (x-2),可求得户(一2旳-4无+4-4ya工0-2坊-2，Xo_2、o_2)线"。的中点H,湍成点泠=呑岩=|xQ-xP2(Xo2vo+2)(x° 2为 一 2) +(Xo+2vo2)(X()+ 2坊 + 2) (x0 + 20+2)(x0-2y0-2)(x0 + 2y0 + 2)(x0-2y0-2)lxo2 +8(|2 8_ o(x0 + 2y0+2)(x0-2y0-2)PQ的斜率不存在PQ 丄 AH:.BPQ为等腰三角形.请关注“海淀数学教研”微信公众平台。疆 方法三：. 02x。-4、。+4, -4丁 ),工0 + 2% + 2' X。+ 2为 + 2P(_2xo-4m)+4-4j,o)X。一 2为 一 2 x0- 2y0 - 2Y 2 r 2秒。|2 = xQ2 + (-yQ)2 =xQ2 + -=I明2 =X； +(l-'p)2 =Xp + -=而Y 2 _ Y 2 = z2x0-40+4 2 _ -2x0-4y0+4 2 。 P x0 + 2y0 + 2x0-2y0-2= 4(M"j"4)2Xo + 2%+2x0-2y0-2=* Xq_2j，o+2 I Xo+2y°_2)(工0_2)>0+2X0+2y0_2)x0 + 2y0 + 2 x°_2月_2 x0+2y0+2 x0-2y0-2其中2、o+2 i Xo+2V。-2Xo + 2% + 2 x0-2y0-2二(x。2儿+2)(工0 -2坊2) + (x°+2j，o2)(x° + 2为 + 2)(吒+2%+2)(工0-2坊-2)=(，-(，尸-彳+ 显 +儿尸彳(x0 + 2y0 + 2)(x0-2y0-2)_2%02+80_ 8_ °(x0+2y0+2)(x0-2y0-2)BQf = BPf 即BQ = BP.BPQ为等腰三角形.请关注“海淀数学教研”微信公众平台。靈21. (共 14 分)解(1)具有性质寸(2);不具有性质他(2).充分性：Vn N*, an-i > an-. Q2n > an,因此Q2”._i + O2n > 2a._ 等号成立当且 仅当吻“ 一«2n-i an>若如非常数列，设& = min(z N* |働丰,显然比> 2. 若2 | k,则a* = ak = ai；若2彳k,则 = ak-i = alt矛盾.因此。异为常数列. 必要性：因为 Vn e N*, an = <7，i,因此+ a2n. = 2q】=2a- Qi = 1, Qi +。2 = 4。1,可知。2 = 3,因此。3 +=钿2 = 12且电 N 4.若= 4,则 Q4 = 8,。5 +。6 N 9 + 10 > 16 = 4。3,矛盾；若> 6,则。4 < 6,矛盾. 因此。3 = 5, «4 = 7.下证= 2n 1.假设该命题不成立，设k = mini e N* | 吻-1 丰® 3或尹 4今一1),显然A; > 3.考虑数列如，其中如=Qn+2卜4 一 4住一 2),则数列如也具有性质机4),且bl = a2k-3 - 4(fc - 2) = 4fc - 7 - 4(fc - 2) = 1,同理有缶=5,饥=7,即。3+2心一4 一 4(k 2) = 5, Q4+2A-4 4(fc 2) = 7,有Q2k_1 = 4k- 3且Q2Ar = 4k - 1,矛盾.证毕.技海淀数学教研 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
