最新新课标创新人教A版数学选修2-323离散型随机变量的均值与方差优秀名师资料.doc

2016新课标创新人教A版数学选修2-323离散型随机变量的均值与方差第1课时 离散型随机变量的均值 核心必知 1(预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P,P的内容，回答下列问题( 6063(1)某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3?2?1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理, 111提示:由于平均在每1 kg的混合糖果中3种糖果的质量分别是 kg kg和 kg236111所以混合糖果的合理价格应该是18×，24×，36×,23(元/kg)( 236111它是三种糖果价格的一种加权平均这里的权数分别是和. 236(2)什么是权数,什么是加权平均, 提示:权是秤锤权数是起权衡轻重作用的数值(加权平均是指在计算若干个数量的平均数时考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同分别给予不同的权数( (3)如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗, 提示:根据古典概型计算概率的公式可知在混合糖果中任取一颗糖果这颗糖果为111第一、二、三种糖果的概率分别为即取出的这颗糖果的价格为18元/kg24元/kg236111或36元/kg的概率分别为和.用X表示这颗糖果的价格则它是一个离散型随机变量236其分布列为 X 18 24 36 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 111P 236因此权数恰好是随机变量X取每种价格的概率( 2(归纳总结，核心必记 (1)离散型随机变量的均值的概念及性质 ?一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x x x x 12inP p p p p 12in则称E(X),xp，xp，xp，xp为随机变量X的均值或数学期望(它反映了1122iinn离散型随机变量取值的平均水平( ?若Y,aX，b，其中a，b为常数，则E(Y),E(aX，b),aE(X)，b( (2)两点分布与二项分布的均值 ?若随机变量X服从两点分布，则E(X),p( 若X,B(n，p)，则E(X),np( ?问题思考 (1)随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量, 提示:随机变量的均值是一个常数它不依赖于样本的抽取,样本的平均值是一个随机变量它是随着样本的不同而变化的( (2)随着样本容量的增加，样本的平均值与总体平均值有什么关系, 提示:随着样本容量的增加样本的平均值越来越接近于总体平均值( 1(3)对于n个数x，x，x，称x,(x，x，x)为这n个数的平均数，如何从随12n12nn机变量的角度看这个问题, 提示:设X为从这n个数中任取的一个数则X所有可能的取值便为xxx12n1P(X,x),(i,12n)即X的概率分布列为 inX x x x x 123n1111P nnnn11111E(X),x?，x?，x?，x?,(x，x，x)( 123n12nnnnnn(4)若随机变量X,B(40，p)，且E(X),16，则p为何值, 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 16提示:?E(X),16?40p,16即p,0.4. 40课前反思 通过以上预习，必须掌握的几个知识点( (1)离散型随机变量的均值: ; (2)离散型随机变量均值的性质: ; (3)两点分布的均值: ; (4)二项分布的均值: ( 讲一讲 1(袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分X的均值( 尝试解答 取出4只球颜色分布情况是:4红得8分3红1黑得7分2红2黑得13CC4436分1红3黑得5分相应的概率为P(X,5),. 4C357版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 22CC1843P(X,6),. 4C35731CC1243P(X,7),. 4C35740CC143P(X,8),. 4C357随机变量X的分布列为 X 5 6 7 8 418121P 3535353541812144所以E(X),5×，6×，7×，8×,. 353535357求离散型随机变量的均值的一般步骤: (1)理解随机变量的意义写出随机变量的所有可能的取值, (2)求随机变量取每一个值的概率, (3)列出随机变量的分布列, (4)根据均值的计算公式求出E(X)( 练一练 1(在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品(从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和均值( 解:由题意知X的所有可能取值为0123. 03CC35737P(X,0), 3C120241012CC632137P(X,1), 3C120401021CC21737P(X,2), 3C120401030CC137P(X,3),. 3C12010?X的分布列为 X 0 1 2 3 72171P 244040120版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 721719?E(X),0×，1×，2×，3×,. 24404012010思考 若Y,aX，b，则E(X)与E(Y)之间有什么关系, 提示:E(Y),E(aX，b),aE(X)，b. 讲一讲 2(已知随机变量X的分布列如下: X ,2 ,1 0 1 2 1111P m 43520(1)求m的值; (2)求E(X); (3)若Y,2X,3，求E(Y)( 11111尝试解答 (1)由随机变量分布列的性质得，m，,1解得m,. 4352061111117(2)E(X),(,2)×，(,1)×，0×，1×，2×,. 4356203017,(3)法一:由公式E(aX，b),aE(X)，b得E(Y),E(2X,3),2E(X),3,2×,3,3062,. 15法二:由于Y,2X,3 所以Y的分布列如下: Y ,7 ,5 ,3 ,1 1 11111 P 4356201111162所以E(Y),(,7)×，(,5)×，(,3)×，(,1)×，1×,. 43562015若给出的随机变量Y与X的关系为Y,aX，b(其中ab为常数)一般思路是先求出版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn E(X)再利用公式E(aX，b),aE(X)，b求E(Y)( 练一练 2(已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 111 P 236且Y,aX，3，若E(Y),2，则a的值为_( 1115解析:E(X),1×，2×，3×,. 23635?Y,aX，3?E(Y),aE(X)，3,a，3,2. 3解得a,3. 答案:,3 讲一讲 (甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队三人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得3222一分，答错得零分(假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中三人答对的概率分别为，3331，且各人回答得正确与否相互之间没有影响( 2(1)若用表示甲队的总得分，求随机变量的分布列和均值; (2)用A表示事件“甲、乙两队总得分之和为3”，用B表示事件“甲队总得分大于乙队总得分”，求P(AB)( 2,尝试解答 (1)由题意知的所有可能取值为0123且，B3则有 ,33210,P(,0),C×1, 3,32722221,P(,1),C××1, 3,33922242,P(,2),C××1, 3,3393283,P(,3),C×, 3,327所以的分布列为 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 0 1 2 3 1248P 27992722,由于随机变量，B3则有E(),3×,2. ,33(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件AB,C?DCD互斥( ,P(C),C××1,×(××，××，××), 34,3333233233233222143,P(D),C××1,×1,×1, 35,333231043434P(AB),P(C)，P(D),，,. 455333243此类题的解法一般分两步:一是先判断随机变量服从两点分布还是二项分布,二是代入两点分布或二项分布的均值公式计算均值( 练一练 3(从饭店到火车站途中有6个交通灯，一出租车司机行驶在这条路线上，假设他在各1交通灯遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是. 3(1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了2个交通灯的概率; (2)求这位司机在途中遇到红灯数的均值( 解:(1)因为这位司机在第一个、第二个交通灯未遇到红灯在第三个交通灯遇到红灯 1114,所以P,1,×1,×,. ,333271,(2)因为，B6 ,31所以E(),6×,2. 3讲一讲 4(随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 等品20件、次品4件(已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位:万元)为X. (1)求X的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即X的均值); (3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少, 思路点拨 (1)利润X可以取621,2,(2)利用均值的定义求值,(3)根据平均利润不小于4.73万元建立不等式求解( 尝试解答 (1)X的所有可能取值有621,2 12650P(X,6),0.63P(X,2),0.25 200200204P(X,1),0.1P(X,2),0.02. 200200故X的分布列为 X 6 2 1 ,2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(X),6×0.63，2×0.25，1×0.1，(,2)×0.02,4.34(万元)( (3)设技术革新后的三等品率为x则此时1件产品的平均利润为E(X),6×0.7，2×(1,0.7,0.01,x)，1×x，(,2)×0.01,4.76,x(0?x?0.29) 依题意E(X)?4.73 即4.76,x?4.73 解得x?0.03所以三等品率最多为3%. 解决与生产实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小并列出分布列最后利用公式求出相应的均值( 练一练 4(在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5;战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁, 解:设这次射击比赛战士甲得X分战士乙得X分则分布列分别如下: 12版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn X 1 2 3 1P 0.4 0.1 0.5 X 1 2 3 2P 0.1 0.6 0.3 根据均值公式得 E(X),1×0.4，2×0.1，3×0.5,2.1, 1E(X),1×0.1，2×0.6，3×0.3,2.2, 2因为E(X)>E(X) 21故这次射击比赛战士乙得分的均值较大 所以战士乙获胜的希望较大( 课堂归纳?感悟提升 1(本节课的重点是离散型随机变量的均值的求法难点是均值的实际应用( 2(要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论 (1)E(C),C(C为常数), (2)E(aX，bX),aE(X)，bE(X), 1212(3)如果XX相互独立则E(X?X),E(X)?E(X)( 1212123(要掌握与离散型随机变量有关的几个问题: (1)离散型随机变量的均值的求法见讲1, 见讲2, (2)离散型随机变量均值的性质(3)两点分布及二项分布的均值见讲3, (4)均值的实际应用见讲4. 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 课下能力提升(十四) 学业水平达标练 题组1 离散型随机变量的均值 1(篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分的均值是( ) A(0.2 B(0.8 C(1 D(0 解析:选B 因为P(,1),0.8P(,0),0.2所以E(),1×0.8，0×0.2,0.8.故选B. 11,2(已知X,Bn，Y,Bn，且E(X),15，则E(Y),_. ,231n1,解析:因为X，Bn所以E(X),.又E(X),15则n,30.所以Y，B30. ,2231故E(Y),30×,10. 3答案:10 3(某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如下表所示: 培训次数 1 2 3 参加人数 5 15 20 (1)从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率; (2)从这40名学生中任选2名，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及均值E(X)( 111CCC51520解:(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P,1,3C40419. 494版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn (2)由题意知X,012 222C，C，C6151520P(X,0), 2C156401111CC，CC255151520P(X,1), 2C524011CC5520P(X,2), 2C3940则随机变量X的分布列为 X 0 1 2 61255P 156523961255115所以X的均值E(X),0×，1×，2×,. 1565239156题组2 离散型随机变量均值的性质 4(随机变量X的分布列如下表，则E(5X，4)等于( ) X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A.16 B(11 C(2.2 D(2.3 解析:选A 由已知得E(X),0×0.3，2×0.2，4×0.5,2.4故E(5X，4),5E(X)，4,5×2.4，4,16.故选A. 5(若是一个随机变量，则E(,E()的值为( ) A(无法求 B(0 C(E() D(2E() 解析:选B 因为E(a，b),aE()，b(ab为常数)而E()为常数所以E(,E(),E(),E(),0.故选B. 题组3 两点分布、二项分布的均值 6(某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是( ) A(np(1,p) B(np C(n D(p(1,p) 解析:选B 供电网络中一天用电的单位个数服从二项分布故所求为np.故选B. 7(某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 设一年内E发生的概率为p，为使公司收益的均值等于a的10%，则公司应要求投保人交纳的保险金为_元( 解析:设保险公司要求投保人交x元保险金以保险公司的收益额X作为随机变量则其分布列为 X x x,a P 1,p p 所以保险公司每年收益的均值为 E(X),x(1,p)，(x,a)p,x,ap 由题意可知x,ap,0.1a 解得x,(0.1，p)a. 即投保人交(0.1，p)a元保险金时可使保险公司收益的均值等于a的10%. 答案:(0.1，p)a 8(某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的21概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为X，当这4盏装饰灯闪33烁一次时: (1)求X,2时的概率; (2)求X的均值( 解:(1)依题意知X,2表示“4盏装饰灯闪烁一次时恰好有2盏灯出现红灯”而每2222182,盏灯出现红灯的概率都是故X,2时的概率为C,. 4,332732,(2)?X服从二项分布即X，B4 ,328E(X),4×,. ?33题组4 均值的实际应用 9(交5元钱，可以参加一次摸奖(一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有“1元钱”，2个标有“5元钱”，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖金是所抽2个球上标的钱数之和(求抽奖人获利的均值( 解:设X为抽到的2个球上标的钱数之和 则X的可能取值如下: 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn X,2抽到两个标有“1元钱”的球, X,6抽到一个标有“1元钱”的球一个标有“5元钱”的球, X,10抽到两个标有“5元钱”的球( 由题意可知 2C288P(X,2), 2C451011CC1682P(X,6), 2C45102C12P(X,10),. 2C45102816116218因此E(X),2×，6×，10×,. 45454545518若用Y表示抽奖人获利的可能值则Y,X,5故获利的均值E(Y),E(X),5,557,1.4. 510(端午节吃粽子是我国的传统习俗(设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同(从中任意选取3个( (1)求三种粽子各取到1个的概率; (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值( 解:(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”则由古典概型的概率计算公式有P(A)111CCC1235,. 3C410(2)X的所有可能值为012且 312CC7C7828P(X,0),P(X,1), 331515CC101021CC128P(X,2),. 3C1510综上知X的分布列为 X 0 1 2 771 P 1515157713故E(X),0×，1×，2×,. 1515155能力提升综合练 1(已知随机变量X和Y，其中Y,12X，7，且E(Y),34，若X的分布列如表，则m的版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 值为( ) X 1 2 3 4 11P m n 4121111A. B. C. D. 346891解析:选A 由Y,12X，7得E(Y),12E(X)，7,34从而E(X),所以E(X),1×，44191112×m，3×n，4×,又m，n，,1联立解得m,.故选A. 12412432(一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为21c(a，b，c?(0，1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则，的最小值为( ) a3b32281416A. B. C. D. 3333解析:选D 由已知得3a，2b，0×c,2即3a，2b,2 2其中0<a<0<b<1. 33a，2b1221,，,， ,a3b2a3b12ba102ba,3，?，2 ? 3a2b3a2b16, 3ba2,即a,2b时取“等号” 当且仅当a2b2116故，的最小值为.故选D. a3b33123(在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为，52331，每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试(假设每人每次投篮相43互独立，则晋级下一轮的大约有( ) A(2人 B(3人 C(4人 D(5人 解析:选B 5名同学投篮各10次相当于各做了10次独立重复试验他们投中的次3123数服从二项分布则他们投中的期望分别满足10×,610×<610×>610×>61052341×<6故晋级下一轮的大约有3人(故选B. 34(马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表，请小牛同学计算的均版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 值，尽管“”处完全无法看清，且两个“,”处字迹模糊，但能肯定这两个“,”处的数值相同(据此，小牛给出了正确答案E(),_. 1 2 3 P , , 解析:设“,”对应的概率为a则“:”处对应的概率为1,2a. E(),1?a，2?(1,2a)，3?a,2. 答案:2 5(某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕2业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让31其面试是相互独立的(记X为该毕业生得到面试的公司个数(若P(X,0),，则随机变量12X的均值E(X),_. 2113,解析:由P(X,0),1,(1,p)(1,p),可得p,p,舍去 ,3122222211211,从而P(X,1),?，1,?C?, 2,3232322212151,P(X,2),?C，1,?, 2,3232122211,P(X,3),?,. ,32611515所以E(X),0×，1×，2×，3×,. 12312635答案: 36(某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训(由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队( (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和均值( 解:(1)由题意参加集训的男、女生各有6名( 33CC134参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为,. 33CC10066版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 199因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1,. 100100(2)根据题意X的可能取值为123. 13CC133P(X,1), 4C5622CC333P(X,2), 4C5631CC133P(X,3),. 4C56所以X的分布列为 X 1 2 3 131P 555因此X的均值为 131E(X),1×P(X,1)，2×P(X,2)，3×P(X,3),1×，2×，3×,2. 555(设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容7量为100的样本进行统计，结果如下: T(分钟) 25 30 35 40 频数(次) 20 30 40 10 (1)求T的分布列与均值E(T); (2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区作一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率( 解:(1)由统计结果可得T的频率分布为 T(分钟) 25 30 35 40 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得T的分布列为 T 25 30 35 40 P 0.2 0.3 0.4 0.1 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 从而E(T),25×0.2，30×0.3，35×0.4，40×0.1,32. (2)设TT分别表示往、返所需时间TT的取值相互独立且与T的分布列相同( 1212设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”由于讲座时间为50分钟所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”( ?70),P(T,25T?45)，P(T,30T?40)，P(T,35T法一:P(A),P(T，T12121212?35)，P(T,40T?30),0.2×1，0.3×1，0.4×0.9，0.1×0.5,0.91. 12法二:P(A),P(T，T>70),P(T,35T,40)，P(T,40T,35)，P(T,40T,1212121240),0.4×0.1，0.1×0.4，0.1×0.1,0.09. 故P(A),1,P(A),0.91. 第2课时 离散型随机变量的方差 核心必知 1(预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P,P的内容，回答下列问题( 6467要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛(根据以往的成绩纪录，第一名同学击中目标靶的环数X的分布列为 1X 5 6 7 8 9 10 1P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 第二名同学击中目标靶的环数X的分布列为 2X 5 6 7 8 9 2P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 (1)E(X)，E(X)各为何值, 12提示:E(X),8E(X),8. 12(2)能否根据X和X的均值来决定派哪名同学参赛, 12提示:不能( 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn (3)除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗, 提示:可以用两名同学射击成绩的稳定性来刻画两名同学的射击成绩( (4)如何定量刻画随机变量的稳定性, 提示:利用样本方差来刻画随机变量的稳定性( (归纳总结，核心必记 2(1)离散型随机变量的方差、标准差 随机变量X的分布列为 X x x x x 12inP p p p p 12inn2则把D(X), (x,E(X)p叫做随机变量X的方差，D(X)的算术平方根D(X)叫做,iii,1随机变量X的标准差，随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度( (2)服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 ?若X服从两点分布，则D(X),p(1,p); ?若X服从二项分布，即X,B(n，p)，则D(X),np(1,p)( (3)离散型随机变量方差的性质 2D(aX，b),a?D(X); ?D(C),0(C是常数)( 问题思考 (1)方差与标准差刻画了随机变量的什么特征, 提示:随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动、集中与离散的程度D(X)(或D,X,)越小稳定性越好波动越小显然D(X)?0(D,X,?0)( (2)离散型随机变量的方差与标准差的单位相同吗, 提示:不同方差的单位是随机变量单位的平方,标准差与随机变量本身有相同的单位( (3)随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别, 提示:样本的方差是随着样本的不同而变化的因此它是一个变量而随机变量的方差版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 是通过大量试验得出的刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度因此它是一个常数(量)(对于简单随机样本随着样本容量的增加样本方差越来越接近于总体的方差( 课前反思 通过以上预习，必须掌握的几个知识点( (1)方差的定义:; (2)标准差的定义: ; (3)两点分布的方差: ; (4)二项分布的方差: ; (5)离散型随机变量方差的性质: 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn ( 讲一讲 1(袋中有20个大小相同的球，其中标记0的有10个，标记n的有n个(n,1，2，3，4)(现从袋中任取一球，X表示所取球的标号( (1)求X的分布列、均值和方差; (2)若Y,aX，b，E(Y),1，D(Y),11，试求a，b的值( 尝试解答 (1)X的分布列为 X 0 1 2 3 4 11131P 22010205111311122则E(X),0×，1×，2×，3×，4×,1.5.D(X),(0,1.5)×，(1,1.5)×22010205220131222，(2,1.5)×，(3,1.5)×，(4,1.5)×,2.75. 1020522(2)由D(Y),aD(X)得a×2.75,11得a,?2. 又E(Y),aE(X)，b所以 当a,2时由1,2×1.5，b得b,2, 当a,2时由1,2×1.5，b得b,4. ,a,2a,2,所以或 b,2b,4.,版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 求离散型随机变量的方差的步骤: (1)理解的意义明确其可能取值, (2)判定是否服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)若服从特殊分布则可利用公式直接求解,若不服从特殊分布则继续下面步骤, (3)求取每个值的概率, (4)写出的分布列并利用分布列性质检验, (5)根据方差定义求D()( 练一练 1(袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分(从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差( 解:由题意可知X的所有可能的取值为543. 21123CCC1C3C124244P(X,5),P(X,4),P(X,3),. 333555CCC666故X的分布列为 X 5 4 3 131P 555131E(X),5×，4×，3×,4. 5551312222D(X),(5,4)×，(4,4)×，(3,4)×,. 5555讲一讲 (1)抛掷一枚硬币1次，正面向上得1分，反面向上得0分(用表示抛掷一枚硬币2的得分数，求E()，D(); 1(2)某人每次投篮时投中的概率都是.若投篮10次，求他投中的次数的均值和方差; 2(3)5件产品中含有2件次品，从产品中选出3件，所含的次品数设为X，求X的分布列及其均值、方差( 1尝试解答 (1)服从两点分布抛掷一枚硬币1次正面向上的概率为所以E()2版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 11,D(),. 2411,(2)，B10所以E(),10×,5. ,22115D(),10××,. 222(3)X可能取的值是012. 03CC123P(X,0), 3C10512CC323P(X,1), 3C5521CC323P(X,2), 3C105所以X的分布列为 X 0 1 2 133P 10510133E(X),0×，1×，2×,1.2. 10510133222(0,1.2)D(X),×，(1,1.2)×，(2,1.2)×,0.36. 10510由于两点分布、二项分布的方差已有现成的计算公式所以在计算服从这些常见分布的随机变量的方差时既可以利用定义进行计算也可以代入它们的计算公式直接求解很显然后一种方法不但计算量小而且准确率高但使用后一种方法的前提是必须判断出随机变量服从这些常见的分布( 练一练 (某人投篮命中的概率为p,0.4. 2(1)求投篮一次，命中次数X的均值和方差; (2)求重复10次投篮时命中次数Y的均值和方差( 解:(1)X的分布列为: X 0 1 P 0.6 0.4 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn E(X),0×0.6，1×0.4,0.4. 22D(X),(0,0.4)×0.6，(1,0.4)×0.4,0.24. (2)由题意知命中次数Y服从二项分布即Y，B(100.4)( 所以E(Y),np,10×0.4,4D(Y),10×0.4×0.6,2.4. 讲一讲 3(2015年4月1日至7日是江西省“爱鸟周”，主题是“关注候鸟保护，守护绿色家园”(为更好地保护鄱阳湖候鸟资源，需评测保护区的管理水平(现甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相等，两个保护区内每个季度出现违反保护条例的事件次数的分布列分别为: X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平( 思路点拨 要比较两个保护区的管理水平要先比较两个保护区违反保护条例的事件的平均次数然后比较其稳定性即方差( 尝试解答 甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为 E(X),0×0.3，1×0.3，2×0.2，3×0.2,1.3 2222D(X),(0,1.3)×0.3，(1,1.3)×0.3，(2,1.3)×0.2，(3,1.3)×0.2,1.21. 乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为 E(Y),0×0.1，1×0.5，2×0.4,1.3 222D(Y),(0,1.3)×0.1，(1,1.3)×0.5，(2,1.3)×0.4,0.41. 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 因为E(X),E(Y)D(X)>D(Y)所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散和波动较大乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定(相对而言乙保护区的管理更好一些( 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度(因此在实际决策问题中需先计算均值看谁的平均水平高然后再计算方差分析谁的水平发挥相对稳定(当然不同的情形要求不同应视情况而定( 练一练 3(甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如表(试对这两名工人的技术水平进行比较( X 0 1 2 613P 101010Y 0 1 2 532P 101010解:工人甲生产出次品数X的均值和方差分别为 613E(X),0×，1×，2×,0.7 101010613222D(X),(0,0.7)×，(1,0.7)×，(2,0.7)×,0.81. 101010工人乙生产出次品数Y的均值和方差分别为 532E(Y),0×，1×，2×,0.7 101010532222D(Y),(0,0.7)×，(1,0.7)×，(2,0.7)×,0.61. 101010由E(X),E(Y)知两人生产出次品的平均数相同技术水平相当但D(X)>D(Y)可见乙的技术比较稳定(