微分方程(数学竞赛部分).doc
第十二章 微分方程(数学竞赛部分)1若,求解 由得,故,2设在区间上连续,且满足方程,且,求函数解 由已知得,上式对求导,得 ,即 ,是一阶线性微分方程,所以,将代入,有,故3求满足的可微函数解 ,原式可化为 ,上式对x求导,得,即 (1)式对x求导,得 (2)式对x求导,得 ,1 / 7于是,该微分方程通解为由(1), (2) ,可得,故4设在,求解 由已知,得。 ,又5设是二阶常系数线性微分方程的一个特解,求解1 将代入方程有,比较等式两端同类项系数,可得解得,所以解2 由二阶常系数线性微分方程解的结构可知:,是常系数齐次线性微分方程的两个特解,是微分方程的特征根。所以特征方程为,即,故,。又是非齐次线性微分方程的一个特解,代入方程有,故,所以6。解 所以7设函数在内具有二阶导数,且是的反函数。(1)试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解。分析 将转化为比较简单,=,关键是应注意:=然后再代入原方程化简即可。解 (1) 由反函数的求导公式知 ,于是有=代入原微分方程,得 * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程的通解为设方程( * )的特解为:,代入方程( * ),求得,故,从而的通解为 由,得. 故,所求初值问题的解为8利用代换将方程化简,并求出原方程的通解。解 由,即,可得,代入原方程,得 ( * )此方程所对应的齐次方程的通解为:,设方程( * )的特解为。代入方程( * ),求得,从而,方程的通解为 ,再将代入,得原方程通解为。9设函数可导且,二元函数满足,求。解 令,则,。代入,整理得,是可分离变量微分原方程。其通解为,再由得,故。10设函数方程,求。解 微分方程的通解为,由得。于是 .11(容器侧壁的形状问题)一容器的侧面是由曲线绕铅直中心轴y轴旋转而成, 其中在 连续, 容器底面(过x轴的水平截面)为半径R=1的圆(即f (0)=1). 当匀速地向容器内注水时, 若液面高度h的升高速度与(2V+)成反比(这里V表示当时容器内水的体积) ,求容器侧壁的轴截线.解 设在时刻t, 容器内水的液面高度为h, 而水的体积为V, 则有.于是有. 根据题意, , 代如上式, 可得 化简得 . 由 f (0)=1 可得 , 上式两端同时对h求导得 , 即 .求出满足f (0)=1 的解为, 即容器侧壁的轴截线为. 友情提示:方案范本是经验性极强的领域,本范文无法思考和涵盖全面,供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。