数学分析第二章数列极限.doc

第二章 数列极限（计划课时：1 2 时）P2341§1 数列极限的定义 （ 4时 ）一、数列：1.数列定义 整标函数.数列给出方法: 通项, 递推公式.数列的几何意义.2.特殊数列: 常驻列,有界列,单调列和往后单调列.二、数列极限: 以 为例.定义 (的 “”定义)三、用定义验证数列极限： 思路与方法.例1 证明格式：（不妨设 ）（不妨设） 要使化简附加条件逐次放大不等式， 只须. 于是,，当时，有. 根据数列极限的“”定义知 = .例2 例3 例4 证 9 / 11 注意到对任何正整数时有 就有 于是，对 取 例5 证法一 令 有 用Bernoulli不等式，有 或 证法二 （用均值不等式） 例6 证 时， Ex 1P34 1； 2.四、关于数列极限定义的几点注记:1.的正值性, 任意性与确定性, 以小为贵.2. 的存在性与非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3. 数列极限的等价定义: 对 对任正整数4. 的几何意义.5. 数列极限的几何定义:五、收敛的否定叙述:1. 定义 ( 的“”定义 ).2. 定义 ( 数列发散的“”定义 ).3. 的“”几何定义4. 数列发散的“”几何定义Th1 改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性:例7 验证 例8 证明与都是发散数列.例9 设作数列如下:证明六、无穷小数列: 定义.Th2 ( 数列极限与无穷小数列的关系 ). Ex 1P35 3，4，5，6，7，8.§2 收敛数列的性质 （ 4时 ）一、极限唯一性：（ 证 ）Th 1 (极限唯一性)二、收敛数列有界性 收敛的必要条件：（ 证 ）Th2 (收敛数列有界性)三、收敛数列保号性：Th 3 设 若 则（ 证 ）推论1 设 若，（注意“ = ” ；并注意 和 的情况 ）.推论2 设 或. 则对 (或 (或推论3 若 则对 例1 设.证明:若,则.注: 用分子有理化的方法可证,但烦琐.可引入不等式:当时,有 . 一般化有, ,这一结论的证明可作为习题予以证明.四、迫敛性(双逼原理):Th4 (双逼原理). (证)例2 求下列极限: 例3 ( 例4 （1）求证：（2）求证:五、绝对值收敛性:Th 5 ( 注意反之不确 ). ( 证 )六、四则运算性质:Th 6 (四则运算性质, 其中包括常数因子可提到极限号外). ( 证 )系 设数列和收敛, 则 利用数列极限性质求极限:两个基本极限：,()例5 (1)(2).(3).其中例6 例7 七、子列收敛性: 子列概念.Th 7 (数列收敛充要条件) 收敛 的任何子列收敛于同一极限.Th 8 (数列收敛充要条件) 收敛 子列和收敛于同一极限. Th 9 (数列收敛充要条件)收敛 子列、和都收敛. (简证)利用子列性质证明数列发散:例8 证明数列 发散.Ex 1P3334 16§3 数列极限存在的条件（ 2时 ） 一、指出数列极限的“”定义的缺陷是非构造性的，即只能用来验证极限而不能用来求极限.在§2中根据极限的四则运算、夹逼原理利用简单已知数列的极限来求一些数列的极限，对于一些较为复杂数列通常考察是否有极限，若有极限再设法求其极限,因此有必要根据数列本身的特点建立数列极限存在的判别条件.二、数列收敛的一个充分条件 单调有界原理：回顾单调有界数列.Th 1 (单调有界定理). (证)例1 设 证明数列收敛.例2 (重根号),· · ·证明数列单调有界, 并求极限.例3 求( 计算的逐次逼近法, 亦即迭代法)解: 由均值不等式, 有有下界;注意到对有 有 ···,例4 证明 存在 数列单调有界证法欣赏:Cauchy (17891857 ) 最先给出这一极限，Riemann（18261866）最先给出以下证法一.证法一（ Riemann最先给出这一证法 ）设 应用二项式展开，得 ，+ 注意到 且比多一项 即. 有界.综上, 数列单调有界.评註: 该证法朴素而稳健, 不失大将风度.证法二 ( 利用Bernoulli不等式 ) 注意到Bernoulli不等式 为正整数 ), 有 由 利用Bernoulli不等式,有 .为证上方有界, 考虑数列 可类证. 事实上, (此处利用了Bernoulli不等式 ) .显然有 有 即数列有上界.评註: 该证法的特点是惊而无险，恰到好处.证法三(利用均值不等式)在均值不等式 中, 令 就有 即 .令 可仿上证得 时, ( 时无意义, 时诸=, 不能用均值不等式. ) 当时, 由 由 . < 4.评注: 该证法很奇巧. 以上证法二和证法三可参阅数学通报1980.4 P22.证法四 (仍利用均值不等式) < 即 .有界性证法可参阅上述各证法.评注: 该证法以简单而奇妙见长.证法四可参阅数学教学研究1991.1 马德尧文 “均值不等式妙用两则”.证法五 先证明:对 和正整数,有不等式 事实上， < 该不等式又可变形为 ( 为正整数 )在此不等式中, 取 则有 就有.取 又有 对成立,又由 评注: 该证法真叫绝, 1采用这一证法.可参阅 The American Mathematical Monthly1974. Vol 81. 9 P10111012.例6 例7 例8 二、数列收敛的充要条件 Cauchy收敛准则：1 Cauchy列：2 Cauchy收敛准则：Th 2 数列收敛（或数列收敛或数列收敛Th 2 又可叙述为：收敛列就是Cauchy列. (此处“就是”理解为“等价于”). (简证必要性,充分性的证明在第七章)例9 证明:任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列 收敛.其中是中的数.证：令 有 例10 设 试证明数列收敛.Ex 1P3839 1，2，3，4，5，6，7，8 友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。