最新高中数学：抽象函数常见题型及解法综述素材新课标人教A版必修1优秀名师资料.doc

高中数学：抽象函数常见题型及解法综述素材新课标人教A版必修1抽象函数常见题型及解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数(由于抽象函数表现形式的抽象性使得这类问题是函数内容的难点之一其性质常常是隐而不漏但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景对函数性质通过代数表述给出(抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计高考对抽象函数的要求是考查函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能(为了扩大读者的视野特就抽象函数常见题型及解法评析如下( 一、函数的基本概念问题 1(抽象函数的定义域问题 2f(x)例1 已知函数的定义域是12求f(x)的定义域( 22f(x)解:由的定义域是12是指1?x?2所以1?x?4 即函数f(x)的定义域是14( 评析:一般地已知函数fx(),的定义域是A求f(x)的定义域问题相当于已知fx(),中x的取值范围为A据此求,(x)的值域问题( 1flog(3,x)例2 已知函数f(x)的定义域是,12求函数的定义域( 2f(x)f解:由的定义域是,12意思是凡被作用的对象都在,12中由此易得 11112,1,1?log(3,x)?2 ()?3,x?()1?x?( ,12242111flog(3,x)?函数的定义域是1( 241 评析:这类问题的一般形式是:已知函数的定义域是A求函数的定义域(正确理f(x)f(,(x)解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键(一般地若函数的定义域是A则x必须f(x),f(x)是A中的元素而不能是A以外的元素否则无意义(因此如果有意义则必有xA(所f(x)00,以这类问题实质上相当于已知的值域是A据此求x的取值范围即由A建立不等式,(x),(x)解出x的范围(例2和例1形式上正相反( 2(抽象函数的求值问题 1，例3 已知定义域为R的函数同时满足下列条件:?= 1=,?=f(x)f(2)f(6)f(x,y)f(x)5，求、的值( f(y)f(3)f(9)解:取x = 2y = 3得=， f(6)f(2)f(3)14?f(2)= 1f(6)=?f(3)=,( 558又取x = y = 3得f(9)=f(3)，f(3)=,( 51评析:通过观察已知与未知的联系巧妙地取x = 2y = 3这样便把已知条件f(2)= 1f(6)=5与欲求的f(3)沟通了起来(这是解此类问题的常用技巧( 3(抽象函数的值域问题 ffff例4 设函数(x) 定义于实数集上对于任意实数x、y(x + y) =(x)(y)总成立且存在fffx?x使得(x)?( x)求函数(x)的值域( 22112ffff解:令x = y = 0得(0) =(0)即有(0) = 0或(0) = 1( fffff若(0) = 0则(x) =(x + 0) =(x)(0) = 0对任意x?R均成立这与存在实数x?x21ffff使得(x)?( x)成立矛盾(故(0)?0即(0) = 1( 21fff由于(x + y) =(x)(y) 对任意x、y?R均成立因此对任意x?R有 2 xxxxx2(x) =(+) =()() = ()?0( fffff22222下面只需证明对任意x?R(0)?0即可( f设存在x?R使得( x) = 0则(0) =( x,x) =( x)(,x) = 0 fffff000000这与(0)?0矛盾因此对任意x?R(x)?0( ff所以(x),0( f评析:在处理抽象函数的问题时往往需要对某些变量进行适当的赋值这是一般向特殊转化的必要手段( 4(抽象函数的解析式问题 x,1例5 设对满足 x?0x?1的所有实数 x 函数f(x) 满足f(x) +f() = 1 + x求f(x) 的x解析式( x,1x,1解:在f(x) +f() = 1 + x (1) 中以代换其中 x得: xxxx,112,1f() +f(,) = ? x,1xxx,211再在(1)中以,代换x得 :f(,) +f(x) = ? x,1x,1x,132x,x,1f(1),(2) + ? 化简得:(x) =( 2x(x,1)x,1评析:如果把x和分别看作两个变量怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键(通x常情况下给某些变量适当赋值使之在关系中“消失”进而保留一个变量是实现这种转化的重要策略( 二、寻觅特殊函数模型问题 1(指数函数模型 f(x)f(x)f例6 设 定义于实数集R上当x,0时,1 且对于任意实数x、y 有(x + y) 2f(x)f(y)ff=?同时(1) = 2解不等式(3x,x),4( x，yxyxf(x)f联想:因为a= a?a(a,0a?1)因而猜测它的模型函数为= a(a,0a?1)(由(1) = 23 x还可以猜想= 2)( f(x)2思路分析:由=?= 4需解不等式化为(3x,x),(这样证明函f(2)f(1，1)f(1)f(1)ff(2)x数的(由= 2只证明单调递增)成了解题的突破口( f(x)f(x)2解:由 (x + y) =(x) ?(y) 中取x = y = 0 得(0) =(0) fffff若(0) = 0令x,0 y = 0 则 (x) = 0与(x),1 矛盾(? (0)? 0即有(0) = 1 ( fffff当x,0 时 (x),1,0 当x,0 时 ,x,0(,x),1,0 ff而(x) ?(,x) =(0) = 1 fff1? (x) =,0 ( ff(,x)又当x = 0 时(0) = 1,0 ?x?R (x),0 ( ff设 ,?,x,x,+? 则x,x,0 ( x,x),1 ( f222111? f( x) =f x+ ( x,x) =f(x)f( x,x),f( x) ( 22211111? y =f(x) 在R 上为增函数 2又?f(1) = 2?f(3x,x),f(1) ?f(1) =f(1 + 1) =f(2)由f(x)的单调递增性质可得: 23x,x,2解得1,x,2( 2(对数函数模型 1f(x)f例7 已知函数满足:?() = 1,?函数的值域是,11,?在其定义域上单调递减,211,1,1f(x)()fx()fy()ff?，=(x?y) 对于任意正实数x、y 都成立(解不等式?( 1,x21联想:因为log(x?y) = logx，logy而log= 1y = logx在其定义域,11内为减函数aaa112221,1,1xf(x)f(x)f(x)所以猜测它的模型函数为= logx且的模型函数为= ()( 1221,1f(1)f(x)思路分析:由条件?、?知的反函数存在且在定义域,11上递减由?知=(剩211,1,1,fxx()，f(x)f(x)f(x)下的只需由的模型函数性质和运算法则去证明?=问题就能解决了( 12124 1,1解:由已知条件?、?知(x)的反函数存在且(1) =又在定义域,11上单调递减( ff2,1,1设y=(x)y=(x)则有x=(y)x=( y) ffff22221111,1?x+ x=(y) +( y) =(yy)即有yy=(x+ x)( ffff222221111111,1,fxx()，f(x)f(x)?= ?1212于是原不等式等价于: 11,1,1f(x，),f(1),x，,1,1,x1,x,11,1,x，,1,1,x，,1,1,x1,x x = 0( ,1,x,1,1,x,1,11,11.,1,1.,1,x1,x,故原不等式的解集为0( 解这类问题可以通过化抽象为具体的方法即通过联想、分析然后进行类比猜测经过带有非逻辑思维成份的推理即可寻觅出它的函数模型由这些函数模型的性质、法则来探索此类问题的解题思路( 3(幂函数模型 例8 已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)?f(y)且f(,1)=1f(27)=9当0?x,1时0?f(x),1时( ?判断f(x)的奇偶性, )?判断f(x)在0，?上的单调性并给出证明, 39f(a，1)?若a?0且?求a的取值范围( 2nnnn3yf(x)f(27)f(x)联想:因为x?= (x?y)因而猜测它的模型函数为=x(由=9还可以猜想= x)( 23f(x)f(x)思路分析:由题设可知是幂函数y = x的抽象函数从而可猜想是偶函数且在0，)?上是增函数( f(,x)f(x)f(,1)解:?令y =,1则=? f(,1)f(,x)f(x)f(x)?=1?= 即为偶函数( 5 2fxx(),fx()fx()fx()?若x?0则=?=?0( fx()x1设0?x,x则0?,1 12x2xx11f(,x)?f(x)=?f(x) f()212xx22?当x?0时?0且当0?x,1时0?,1( fx()f(x)x1?0?,1?f(x),f(x)故函数在0，?上是增函数( f(x)f()12x23?=9又=?=?= f(27)f(3，9)f(3)f(9)f(3)f(3)f(3)f(3)339?9 = ?= f(3)f(3)39?f(a，1)?f(a，1)?f(3) ,?a?0(a，1)30，?)函数在0，?)上是增函数( ?a，1?3即a?2 又a?0故0?a?2( 三、研究函数的性质问题 1(抽象函数的单调性问题 例9 设f(x) 定义于实数集上当x,0时f(x),1 且对于任意实数x、y有f(x + y) =f(x) ?f(y)求证:f(x) 在R 上为增函数( 2f(0)ffff证明:由 (x + y) =(x)(y) 中取x = y = 0得(0) = fffff若(0) = 0令x,0y = 0则 (x) = 0与(x),1 矛盾(? (0)?0即有(0) = 1( ff当x,0时(x),1,0当x,0时,x,0(,x),1,0 1ffff而(x) ?(,x) =(0) = 1? (x) =,0 ( f(,x)ff又当x = 0 时(0) = 1,0 ?x?R(x),0( f设 ,?,x,x,+?则x,x,0( x,x),1( 2221116 ? ( x) = x+ ( x,x) =(x)( x,x),( x)( fffff22211111? y =(x) 在R 上为增函数( f评析:一般地抽象函数所满足的关系式应看作给定的运算法则而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联( 2(抽象函数的奇偶性问题 例10 已知函数(x) (x?Rx?0,对任意不等于零实数x、x 都有(x?x) =(x) +(x)ffff212121试判断函数(x) 的奇偶性( f解:取x=,1x= 1得:(,1) =(,1) +(1)?(1) = 0( ffff21又取x= x=,1得:(1) =(,1) +(,1)?(,1) = 0( ffff21再取x= xx=,1则有f(,x) =f(,1) +f(x)即f(,x) =f(x) 21?f(x)为非零函数?f(x)为偶函数( 3(抽象函数的周期性问题 例11 函数f(x)定义域为全体实数对任意实数 a、b有f(a，b)，f(a,b) =2f(a) ?f(b)且C存在C,0 使得f()= 0 求证f(x) 是周期函数( 2,联想:因为cos(a，b)，cos(a,b) = 2cosacosb且cos= 0因而得出它的模型函数为y = cosx2由y = cosx的周期为可猜想2C为f(x)的一个周期( 2,C思路分析:要在证明2C为f(x)的一个周期则只需证f(x，2C)=f(x)而由已知条件f()= 02C和f(a，b)，f(a,b) =2f(a) ?f(b)知必须选择好a、b的值是得条件等式出现f()和f(x)( 2CCffff证明:令a = x，b =代入(a，b)，(a,b) = 2(a) ?(b) 可得 22ff(x，C ) =,(x)( fffff(x)?(x，2C ) =(x，C)，C =,(x，C ) =(x) 即是以 2C 为周期的函数( 评析:如果没有余弦函数作为模型就很难想到2C 就是所求函数的周期解题思路是难找的(由此可见寻求或构造恰当的模型函数可以为思考与解题定向是处理开放型问题的一种重要策略( 4(抽象函数的对称性问题 ,1,1f(x)f(2002,x)f(x)f(x)f(,x)例12 已知函数y =满足+= 2002求+的值( 7 解:由已知在等式+= 2b中a = 0b = 2002所以函数y =关于点(0f(a，x)f(a,x)f(x),1f(x)关于点(20020)对称( 2002)对称根据原函数与其反函数的关系知函数y =,1,1f(x，1001)f(1001,x)?+= 0 ,1,1f(x)f(2002,x)将上式中的x用x,1001换得+= 0( 评析:这是同一个函数图象关于点成中心对称问题在解题中使用了下述命题:即:设a、b均为常数函数y =对一切实数x都满足+= 2b则函数y =的图象关于点(af(x)f(a，x)f(a,x)f(x)b) 成中心对称图形( 四、抽象函数中的网络综合问题 例13 定义在R上的函数满足:对任意实数mn总有=?且当x,0fx()fmn()，fm()fn()时0,fx(),1( ?判断fx()的单调性, 22,faxy(2),，fx()fy()?设A = (xy)|?,f(1)B = (xy)|= 1aR若AB =,试确定a 的取值范围( 解:?在fmn()，=fm()?fn()中令m = 1n = 0得f(1)=f(1)?f(0)因为f(1)?0所以f(0)= 1( fmn()，fm()fn()在=?中令m = xn =,x ?当x,0时0,fx(),1 fx(),?当x,0时,x,00,1 1fff(0)f(x) ?(,x) = 1? (x) =,1,0 ( 而f(,x)ff又当x = 0 时(0) = 1,0所以综上可知对于任意x?R均有(x),0( f设 ,?,x,x,+? 则x,x,00,( x,x),1( 222111fffff?( x) = x，( x,x) =(x)?( x,x),( x) ( 22211111f? y =(x) 在R 上为减函数( 222222fx()fy()fx(y)ff(1)?由于函数y =(x)在R上为减函数所以?=，,即有x，y,1( 8 faxy(2),，又= 1 =根据函数的单调性有ax,y，= 0( f(0)2222由AB =所以直线ax,y，= 0与圆面x，y,1无公共点因此有:?1解,22a，1得,1?a?1( 评析:?要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题一是的取值问题二是,0的结论f(0)f(x)都成为解题的关键性步骤完成这些又在抽象函数式中进行由特殊到一般的解题思想联想类比思维都有助于问题的思考和解决( 9