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高二文科数学导数练习题精品文档 高二文科数学导数练习题 一、选择题 1. 已知函数f=ax2，c,且f?=2,则a的值为 A.1 B.2C.,1 D. 0 2. 一个物体的运动方程为s?1?t?t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末 的瞬时速度是 A 米/秒B 米/秒 C 米/秒D 米/秒 f与g是定义在R上的两个可导函数，若f,g满足f?g,则 f与g满足 A f?g Bf?g为常数函数Cf?g?0D f?g为常数函数. 函数y=x3+x的递增区间是 A B C D 5.若函数f在区间内函数的导数为正，且f?0，则函数f在内有 A. f 0 B.f 0C.f = 0 D.无法确定.f=0是可导函数y=f在点x=x0处有极值的 A(充分不必要条件 B(必要不充分条件 C(充要条件 D(非充分非必要条件 3 7(曲线f=x+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1，则p0点的坐标为 1 / 27 精品文档 A B C 和 D 和(函数y?1?3x?x 有 A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值 D. 极小值-2，极大值2 对于R上可导的任意函数f，若满足f?0，则必有 Af?f?2fB f?f?2f 3 A. 1个B.2个C.3个 D.4个 二、填空题 11(函数y?x3?x2?x的单调区间为_. 12(已知函数f?x3?ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是13.曲线y?x3?4x在点 处的切线倾斜角为_. 14.对正整数n，设曲线y?xn在x?2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列 ?an?的前n项和的公式是 . ?n?1? 三、解答题: 15(求垂直于直线2x?6y?1?0并且与曲线y?x3?3x2?5相切的直线方程 16(如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去 四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，2 / 27 精品文档 盒子容积最大, 17(已知f?ax4?bx2?c的图象经过点，且在x?1处的切线方程是 y?x?2，请解答下列问题: 求y?f的解析式; 求y?f的单调递增区间。 318(已知函数f?ax? 32 x?6x?3 2 当a?2时，求函数f极小值; 试讨论曲线y?f与x轴公共点的个数。 32 19.已知函数f?x?ax?bx?c在x? 23 与x?1时都取得极值 求a,b的值与函数f的单调区间 若对x?1,2，不等式f?c恒成立，求c的取值范围 2 20.已知x?1是函数f?mx3?3x2?nx?1的一个极值点，其中 m,n?R,m?0， 求m与n的关系式; 求f的单调区间; 3 / 27 精品文档 当x?1,1?时，函数y?f的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围. 参考答案 一、选择题 ACBCBBCCCA 二、填空题 11(递增区间为:，递减区间为 ?) ? ?2x?2 n?1 14(2n?1? y/ ?n?2?,切线方程为:y?2n ?2 n?1 ?n?2?， n 令x?0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0?n?1?2，所以 2?1?2?an? 数列?的前n项和Sn? 1?2?n?1? n ann?1 4 / 27 精品文档 ?2，则 n ? ?2 n?1 ?2 三、解答题: 15(解:设切点为P，函数y?x3?3x2?5的导数为y?3x2?6x 2 切线的斜率k?y|x?a?3a?6a?3，得a?1，代入到y?x3?3x2?5 得b?3，即P，y?3?3,3x?y?6?0 16(解:设小正方形的边长为x厘米，则盒子底面长为8?2x，宽为5?2xV?x?4x?26x?40xV?12x?52x?40,令V?0,得x?1,或x? 2 32 103 ，x? 5 / 27 精品文档 103 V极大值?V?18，在定义域内仅有一个极大值，?V最大值?18 42 17(解:f?ax?bx?c的图象经过点，则c?1， f?4ax?2bx,k?f?4a?2b?1, 3 切点为，则f?ax?bx?c的图象经过点 42 得a?b?c?1,得a? f? 52x? 4 52 ,b? 92 92 x?1 2 f?10x3?9x?0,? 1010 6 / 27 精品文档 ?x?0,或x? 10 单调递增区间为, 2a a2 18(解:f?3ax?3x?6?3a,f极小值为f? ?若a?0，则f?32，?f的图像与x轴只有一个交点; ?若a?0， ?f极大值为f? ?f的图像与x轴有三个交点; a 2 ?0，?f的极小值为f?0，a ?若0?a?2，f的图像与x轴只有一个交点; ?若a?2，则f?62?0，?f的图像与x轴只有一个交点; ?若a?2，由知f的极大值为f?4? 2 34 ?0，?f的图像与x轴 只有一个交点; 综上知，若a?0,f的图像与x轴只有一个交点;若a?0，f的图像与x轴有三个交点。 19(解:f?x?ax?bx?c,f?3x?2ax?b 7 / 27 精品文档 由f? 2 129 ? 43 a?b?0，f?3?2a?b?0得a? 12 ,b?2 f?3x?x?2?，函数f的单调区间如下表: 3 )与,递减区间是;227 ?c 2 所以函数f的递增区间是?x? 3 12 x?2x?c,x?1,2，当x? 2 时，f? 为极大值，而f?2?c，则f?2?c为最大值，要使f?c,x?1,2 8 / 27 精品文档 专题8:导数 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. f?是f? 13 x?2x?1的导函数，则f?的值是。 解析:f?x?x2?2，所以f?1?1?2? 答案:3 考点二:导数的几何意义。 例2. 已知函数y?f的图象在点M)处的切线方程是y? 1 x?2，则2 f?f?。 解析:因为k? 11 ，所以f?1?，由切线过点M)，可得点M的纵坐标为22 55 ，所以f?1?，所以f?1?f?1?22 答案:3 例3.曲线y?x3?2x2?4x?2在点处的切线方程是。 解析:y?3x2?4x?4，?点处切线的斜率为k?3?4?4?5，所以设切线方程为y?5x?b，将点带入切线方9 / 27 精品文档 程可得b?2，?3)处的切线方程为:5x?y?2?0 答案:5x?y?2?0 点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C:y?x3?3x2?2x，直线l:y?kx，且直线l与曲线C相切于点 ?x0,y0?x0?0，求直线l的方程及切点坐标。 解析:?直线过原点，则k? y0 ?x0?0?。由点?x0,y0?在曲线C上，则x0 y0?x0?3x0?2x0，? 32 y02 ?x0?3x0?2。又y?3x2?6x?2，? 在x0 ?x0,y0? 处曲线C 的切线斜率为k?f?x0?3x0?6x0?2，? 2 22 整理得:2x0?3x0?0，解得:x0?x0?3x0?2?3x0?6x0?2， 3 或x0?02 ，此时，y0? 10 / 27 精品文档 311 ，k?。所以，直线l的方程为y?x，切点坐标是844 ?33? ?,?。 ?28? 答案:直线l的方程为y? 1?33?x，切点坐标是?,?28? 点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不 是必要条件。 考点四:函数的单调性。 例5.已知f?x?ax3?3x2?x?1在R上是减函数，求a的取值范围。 解析:函数f?x?的导数为f?x?3ax2?6x?1。对于x?R都有f?x?0时，f?x?为减函数。由3ax2?6x?1?0?x?R?可得? ?a?0 ，解得a?3。所以， ?36?12a?0 当a?3时，函数f?x?对x?R为减函数。 1?8? 11 / 27 精品文档 当a?3时，f?x?3x?3x?x?1?3?x?。 3?9? 3 2 3 由函数y?x3在R上的单调性，可知当a?3是，函数f?x?对x?R为减函数。 当a?3时，函数f?x?在R上存在增区间。所以，当a?3时，函数f?x?在R上不是单调递减函数。 综合可知a?3。 答案:a? 点评:本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。 考点五:函数的极值。 例6. 设函数f?2x?3ax?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值。 求a、b的值; 3 2 3，都有f?c成立，求c的取值范围。 若对于任意的x?0， 2 解析:f?6x2?6ax?3b，因为函数f在x?1及x?2取得极值，则有 12 / 27 精品文档 ?6?6a?3b?0， ，解得a?3，b?4。 f?0，f?0(即? ?24?12a?3b?0( 由可知，f?2x3?9x2?12x?8c，f?6x2?18x?12?6。 当x?时，f?0;当x?，时，f?0;当x?时，f?0。所以，当x?1时，f取得极大值f?5?8c，又f?38c，f?9?8c。则当x?0，时，f的最大值为f?9?8c。因为对于任意的x?0，3，有f?c2恒成立， 所以?8c?c2，解得 c?1或c?9，因此c的取值范围为 答案:a?3，b?4; ? ? 。 。 点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数f?x?的极值步骤:?求导数f?x?; ?求f?x?0的根;?将f?x?0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f?x?在各区间上取值的正负可确定并求出函数f?x?的极值。 考点六:函数的最值。 例7. 已知a为实数，f?x?x2?4?x?a?。求导数f?x?;若f?1?0，求f?x?在区间?2,2?上的最大值和最小值。 13 / 27 精品文档 解析:f?x?x3?ax2?4x?4a，? f?x?3x2?2ax?4。 ? 1 。?f?x?3x2?x?4?3x?4?x?1? 4 令f?x?0，即?3x?4?x?1?0，解得x?1或x?， 则f?x?和f?x?在区间? 2,2? 3 f?1?3?2a?4?0，?a? f?1? 9，2 50?4? f?。所以，f?x?在区间?2,2?上的最大值为 27?3?9。 50?4? ，最f?27?3? 小值为f?1? 答案:f?x?3x2?2ax?4;最大值为f? ?4? ?3? 950 14 / 27 精品文档 ，最小值为f?1?。 227 点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数f?x?在区间?a,b?上的最值，要先求出函数f?x?在区间?a,b?上的极值，然后与f?a?和f?b?进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七:导数的综合性问题。 例8. 设函数f?ax3?bx?c为奇函数，其图象在点)处的切线与直线 x?6y?7?0垂直，导函数f的最小值为?12。求a，b，c的值; 求函数f的单调递增区间，并求函数f在?1,3上的最大值和最小值。 解析: ?f为奇函数，?f?f，即?ax?bx?c?ax?bx?c ?c?0，?f?3ax2?b的最小值为?12，?b?12，又直线x?6y?7?0的斜率为 3 3 1 ，因此，f?3a?b?6，?a?2，b?12，c?0( f?2x3?12x。 f?6x2?12?6的单调增区间是和?)，?f?10，最15 / 27 精品文档 小值是f?，f?18，?f在?1,3上的最大值是f?1f)?答案:a?2，b?12，c?0;最大值是f?18，最小值是f? 点评:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以 及推理能力和运算能力。 导数强化训练 选择题 1. 已知曲线y?x24 的一条切线的斜率为1 2，则切点的横坐标为 A(1 B(2 C(3 D(4 2. 曲线y?x3?3x2?1在点处的切线方程为 A(y?3x?4 B(y?3x?C(y?4x?D(y?4x?5 3. 函数y?2在x?1处的导数等于 A(1 B(2 C(3 D(4 4. 已知函数f在x?1处的导数为3,则f的解析式可16 / 27 精品文档 能为 A(f?2?3 B(f?2 C(f?2D(f?x?1 5. 函数f?x3?ax2?3x?9，已知f在x?3时取得极值，则a= 2 3 4 5 6. 函数f?x3?3x2?1是减函数的区间为 7. 若函数f?x?x2?bx?c的图象的顶点在第四象限，则函数f?x?的图象是 x C的极大值为B ，极小值为n A ) C D A(0 AB(1 C(2D(10. 三次函数f?x?ax3 ?x在x?,?内是增函数，则 A( a?0 B(a?0C(a?1 D(a? 17 / 27 精品文档 1 3 11. 在函数y?x3 ?8x的图象上，其切线的倾斜角小于 ? 4 的点中，坐标为整数的点的个数x 数学导数练习 一、1. 一个物体的运动方程为S=1+t+t 其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是A 米/秒 B 米/秒 C 米/秒D 米/秒. 已知函数f=ax2，c,且f?=2,则a的值为 A.1 B.C.,1D. 0 f与g是定义在R上的两个可导函数，若f,g满足f?g,则 f与g满足A f?2g Bf?g为常数函数 Cf?g?0D f?g为常数函数 4. 函数y=x3+x的递增区间是A B C D 5.若函数f在区间内函数的导数为正，且f?0，则函数f在内有A. f 0 B.f 0C.f = 0 D.无法确定.f=0是可导函数y=f在点x=x0处有极值的 A(充分不必要条件 B(必要不充分条件C(充要条18 / 27 精品文档 件 D(非充分非必要条件(曲线f=x3+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1，则p0点的坐标为 A B C 和 D 和 8(函数y?1?3x?x有 A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值 C.极小值-1，极大值 D. 极小值-2，极大值 对于R上可导的任意函数f，若满足f?0，则必有 Af?f?2fB f?f?2f Cf?f?2f Df?f?2f 10(函数f的定义域为开区间，导函数f?在 内的图象如图所示，则函数f在开区间内 有极小值点A. 1个B.2个 C.3个 D.4个 二、11(函数y?x?x?x的单调区间为_. 3 2 12(已知函数f?x?ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是13.曲线y?x?4x在点 处的切线倾斜角为_. 3 14. 曲线y?x在点?1,1?处的切线与x轴、直线x?2所围成的三角形的面积为 3 19 / 27 精品文档 3 _。 15. 已知曲线y? 13x? 3 43 ，在点P的切线方程是_ 16. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元,次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x? 吨( 三、解答题: 15(求垂直于直线2x?6y?1?0并且与曲线y?x3?3x2?5相切的直线方程 16(如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去 四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大, 17(已知f?ax4?bx2?c的图象经过点，且在x?1处的切线方程是y?x?2，请解答下列问题:求y?f的解析式;求y?f的单调递增区间。 318(已知函数f?ax? 32 x?6x?3 2 20 / 27 精品文档 当a?2时，求函数f极小值; 试讨论曲线y?f与x轴公共点的个数。 19.已知函数f?x?ax?bx?c在x?求a,b的值与函数f的单调区间 若对x?1,2，不等式f?c恒成立，求c的取值范围 32 20.已知x?1是函数f?mx?3x?nx?1的一个极值点，其中m,n?R,m?0， 2 3 2 23 与x?1时都取得极值 求m与n的关系式; 求f的单调区间; 当x?1,1?时，函数y?f的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围 . 参考答案 一、选择题 AACACBBCCCA 二、填空题 11(递增区间为:，递减区间为 ?) ? 21 / 27 精品文档 3 15.y?4x?4?0 16.20 三、解答题: 17(解:设切点为P，函数y?x3?3x2?5的导数为y?3x2?6x 2 切线的斜率k?y|x?a?3a?6a?3，得a?1，代入到y?x3?3x2?5 得b?3，即P，y?3?3,3x?y?6?0 18(解:设小正方形的边长为x厘米，则盒子底面长为8?2x，宽为5?2xV?x?4x?26x?40xV?12x?52x?40,令V?0,得x?1,或x? 2 32 103 ，x? 103 V极大值?V?18，在定义域内仅有一个极大值，?V最大值?18 22 / 27 精品文档 42 19(解:f?ax?bx?c的图象经过点，则c?1， f?4ax?2bx,k?f?4a?2b?1, 3 切点为，则f?ax?bx?c的图象经过点 得a?b?c?1,得a? f? 52x? 4 42 52 ,b? 92 92 x?1 2 f?10x3?9x?0,? 1010 ?x?0,或x? 10 单调递增区间为,?) 2a 23 / 27 精品文档 a2 20(解:f?3ax?3x?6?3a,f极小值为f? ?若a?0，则f?32，?f的图像与x轴只有一个交点; ?若a?0， ?f极大值为f? ?f的图像与x轴有三个交点; a 2 ?0，?f的极小值为f?0，a ?若0?a?2，f的图像与x轴只有一个交点; ?若a?2，则f?62?0，?f的图像与x轴只有一个交点; ?若a?2，由知f的极大值为f?4? 2 34 ?0，?f的图像与x 轴只有一个交点; 综上知，若a?0,f的图像与x轴只有一个交点;若a?0，f的图像与x轴有三个交点。 21(解:f?x3?ax2?bx?c,f?3x2?2ax?b 由f? 2 129 ? 24 / 27 精品文档 43 a?b?0，f?3?2a?b?0得a? 12 ,b?2 f?3x?x?2?，函数f的单调区间如下表: 23 )与,递减区间是的递增区间是?x? 3 23 ,1); 2227 ?c 2 12 x?2x?c,x?1,2，当x? 2 23 时，f? 为极大值，而f?2?c，则f?2?c为最大值，要使f?c,x?1,2 恒成立，则只需要c?f?2?c，得c?1,或c?2 2 25 / 27 精品文档 22(解f?3mx?6x?n因为x?1是函数f的一个极值点, 2 所以f?0,即3m?6?n?0，所以n?3m?6 ? ? 2? m? 由知，f?3mx2?6x?3m?6=3m?x?1? 当m?0时，有1?1? 2m ，当x变化时，f与f?的变化如下表: ? 故有上表知，当m?0时，f在?,1?在单调递增，在上单调递减. 由已知得f?3m，即mx2?2x?2?0 2 又m?0所以x? 2m x?1m)x? 2m 2m ?0即x? 2 26 / 27 精品文档 2m x? 2m ?0,x?1,1? 2 设g?x?2?0?1?2? 所以?解之得 ?mm g?0?1?0 ?43 ?m又m?03 ?m?0 所以? 即m的取值范围为? ? ?4 ?,0? 27 / 27