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高等数学复旦大学出版社习题答案九习题九 1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程: (1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点; t,4222(2)x+y+z=6,x+y+z=0,点M(1,-2,1); 022(3)y=2mx,z=m-x,点M(x,y,z). 0000,解: xattybtzctt,2sincos,cos2,2cossin曲线在点的切t,向量为 4, Txyz,ac,0,444,abct,当xyz,时， 4222切线方程为 abcxyz,222. ,ac0,法平面方程为 abc,ac，,0()0. xyz,22222acaxcz,，,0即 . 22(2)联立方程组 222,xyz，,6 ,xyz，,0,方程组两边对x求导，得 它确定了函数y=y(x),z=z(x)，ddyz,2220xyz，,，,ddxx ,ddyz,10，,ddxx,ddyzxzxy,解得 , ddxyzxyz,194 ddyz在点M(1，-2，1)处， ,0,1 0ddxxMM00所以切向量为1，0，-1. 故切线方程为 xyz,，,121 ,101,法平面方程为 1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0 即x-z=0. 22(3)将方程y=2mx,z=m-x两边分别对x求导，得 ddyz 22,21ymz, ddxxdd1ymz于是 , dd2xyxzm1,1,曲线在点(x,y,z)处的切向量为,故切线方程为 000,yz200,xxyyzz,000 ,m11,yz200法平面方程为 m1. ()()()0xxyyzz,，,000yz200t2. t (0 < t < 2)为何值时，曲线L:x = t-sint, y=1-cost, z = 4sin在相应点的切线垂直于平面2，并求相应的切线和法平面方程。 xyz，,20t,xtytz,1cos,sin,2cos解:, 2,t在t处切向量为, T,1cos,sin,2cos,tt,2,n,已知平面的法向量为. ,1,1,2t2cos,1cossin,tt2,nT且?,故 112,t,T,解得，相应点的坐标为,1,1,22.且 ,1,1,2,2,2195 故切线方程为 x,，1yz,1222 ,.112法平面方程为 xyz,，,，,112(22)02,xyz，,20即 . 4，,23. 证明:螺旋线x = acost, y = asint, z = bt的切线与z轴形成定角。 ,证明: xatyatzb,sin,cos,.螺旋线的切向量为 ,. Tatatb,sin,cos,与z轴同向的单位向量为 ,k,0,0,1两向量的夹角余弦为 bb cos.,22222(sin)(cos),，atatbab为一定值。 故螺旋线的切线与z轴形成定角。 4. 指出曲面z = xy上何处的法线垂直于平面x-2y+z =6,并求出该点的法线方程与切平面方程。 解:z=y, z=x. xy,曲面法向量为. n,yx,1,1,已知平面法向量为. n,1,2,1,2,yx,1且?，故有 nn1212,解得x=2,y=-1,此时，z=-2. 即(2,-1,-2)处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为 xyz,，212,. ,121切平面方程为 -1(x-2)+2(y+1)-(z+2)=0 即 x-2y+z-2=0. 5. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程: 196 22(1)z = x+y,点M(1,2,5); 0y(2)z = arctan,点M(1,1,); 0x4zz,2,4. 解:(1)2y 2xyxmmm0m000故曲面在点M(1,2,5)的切平面方程为 0z -5=2(x-1)+4(y-2). 即 2x+4y-z=5. 法线方程为 xyz,125 ,241,yx11z,(2) z,. yx2222mm00xyxy，22mm00故曲面在点M(1,1,)的切平面方程为 0411z-=- (x-1)+(y-1). 422法线方程为 z,xy,114. ,11,1,226. 证明:曲面xyz = a3上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。 3证明:设 F(x,y,z)=xyz-a. 因为 F=yz,F=xz,F=xy, xyz所以曲面在任一点M(x,y,z)处的切平面方程为 0000yz(x-x)+xz(y-y)+xy(z-z)=0. 000000000切平面在x轴，y轴，z轴上的截距分别为3x0,3y,3z.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐00标面围成的四面体的体积为 11191，33Vzxyzaa,，,32727. 33xy,000000,3662，2它为一定值。 22,7.解:平面与曲面在的切平面的法向量为 (1,2,5),zxy,，,nxy,2,2,12,4,1 ,00, 从而平面的方程为:2450xyz, 197 ,ijk,l 又的方向向量为 sijak,，,110(1)11a,a,5 由求得 ns,0l 在上取一点，不妨取求得 x,1ybzb,，,，(1).53000,b,2 由于在平面上，代入平面方程中可求得. (,)xyz000238. 求函数u=xy+z-xyz在点(1，1,2)处沿方向角为的方向导数。 ,343,u,u,uu解: ,，coscoscos,y,l,xz(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)22 ,，,coscoscos5.(2)xyxz,()(3)yyzzxy,(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)3439. 求函数u=xyz在点(5,1,2)处沿从点A(5,1,2)到B(9，4，14)的方向导数。 ,解: AB,4,3,12,13. AB,的方向余弦为 AB4312, cos,cos,cos131313,u,yz2(5,1,2)(5,1,2),x,u,xz10 (5,1,2)(5,1,2),y,u,xy5(5,1,2)(5,1,2),z,u431298,，,2105.故 ,l131313132222xyab,xy，,1,10. 求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的z,1，,2222ab22ab,方向导数。 解:设x轴正向到椭圆内法线方向l的转角为，它是第三象限的角，因为 222xybx, ，,yy0, 222abayab,所以在点处切线斜率为 ,22,198 a2,bb2ab, .y,b22,a2a,2a法线斜率为. cos,bba于是 tan,sin, 2222abab，,zz22? ,xy, 22,xaybba,221zab22ab,? ,，2().ab,22,222222,labab22，abab,11.研究下列函数的极值: 33222x2(1) z = x+y,3(x+y); (2) z = e(x+y+2y); 222222,，()xy(3) z = (6x,x)(4y,y); (4) z = (x+y); e(5) z = xy(a,x,y),a?0. 2,zxx,360,x解:(1)解方程组 ,2zyy,360,y,得驻点为(0,0),(0,2),(2,0),(2,2). z=6x,6, z=0, z=6y,6 xxxyyy2在点(0，0)处，A=,6，B=0，C=-6，B,AC=,36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0. 2在点(0，2)处，A=,6，B=0，C=6，B,AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点. 2在点(2，0)处，A=6，B=0，C=,6，B,AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点. 2在点(2，2)处，A=6，B=0，C=6，B,AC=,36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8. 22x,zxyy,，,e(2241)0,x(2)解方程组 ,2xzy,，,2e(1)0,y,1,得驻点为,1,. ,222xzxyy,，4e(21)xx2x zy,，4e(1)xy2xz,2eyye11,22z,1,1,在点处,A=2e,B=0,C=2e,B-AC=-4e<0,又A>0,所以函数有极小值. ,2,2,2199 2,zxyy,(62)(4)0,x(3) 解方程组 ,2zxxy,(6)(42)0,y,得驻点为(3,2),(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). 2 Z=,2(4y-y), xxZ=4(3,x)(2,y) xy2) Z=,2(6x,xyy2在点(3，2)处，A=,8，B=0，C=,18，B,AC=,8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36. 2在点(0，0)处，A=0，B=24，C=0，B,AC>0，所以(0,0)点不是极值点. 2在点(0，4)处，A=0，B=-24，C=0，B,AC>0，所以(0,4)不是极值点. 2在点(6，0)处，A=0，B=-24，C=0，B,AC>0，所以(6,0)不是极值点. 2在点(6，4)处，A=0，B=24，C=0，B,AC>0，所以(6,4)不是极值点. 22,，()22xy,2e(1)0xxy,(4)解方程组 ,22,，()22xy2e(1)0yxy,22得驻点P(0,0),及P(x,y),其中x+y=1， 00000在点P0处有z=0，而当(x,y)?(0,0)时，恒有z>0， 故函数z在点P0处取得极小值z=0. -u 再讨论函数z=uedzdz,u,0由，令得u=1, e(1)udududzdz,0,0当u>1时，;当u<1时，, dudu22222由此可知，在满足x02+y=1的点(x,y)的邻域内，不论是x+y>1或x+y<1,均有 0002222()1,，,xy. zxy,，,()ee-1故函数z在点(x,y)取得极大值z=e 00zyaxy,(2)0,x(5)解方程组 ,zxayx,(2)0,y,aa,得驻点为 PP(0,0),1233,z=-2y, z=a-2x-2y, z=-2x. xxxyyy,222yaxy，故z的黑塞矩阵为 H,axyx,222，2aa，,0a，33HPHP(),()., 于是 ,12,aaa02，,33，易知H(P)不定，故P1不是z的极值点， 1200 3aaa,H(P)当a<0时正定，故此时P2是z的极小值点，且, z,2,2733,3aaa,H(P)当a>0时负定，故此时P2是z的极大值点，且. z,2,2733,22212. 设2x+2y+z+8xz-z+8=0，确定函数z=z(x,y)，研究其极值。 解:由已知方程分别对x,y求导，解得 ,zxzzy484 ,，,，,xzxyzx281281x,zz令解得yz,0, ,0,0,2,xy16将它们代入原方程，解得. xx,2,716,从而得驻点. (2,0),0,7,zz,(281)(48)zxxz，,，,，48282,z,xx,22,，,xzx(281),z,4y28，2,z,x, 2,，xyzx(281),z,，,4(281)8zx2,z,y,.22,，,yzx(281)442ZABC,1,0,在点(-2，0)处，B-AC<0，因此函数有极小值z=1. 151582828816,2ZABC,0,z,在点处，B-AC<0，函数有极大值. ,0,710510577,16=0三直线距离的平方之和为最小。 13. 在平面xOy上求一点，使它到x=0, y=0及x+2y-解:设所求点为P(x,y)，P点到x=0的距离为|x|,到y=0的距离为|y|，到直线x+2y-16=0的距离为 xyxy，,，,216216 ,.22512，距离的平方和为 1222zxyxy,，,(216) 5201 ,z2,，,2(216)0xxy,x5,由 ,z4,，,2(216)0yxy,y5,816816,得唯一驻点,因实际问题存在最小值，故点即为所求。 ,5555,214. 求旋转抛物面z = x+y2与平面x+y-z=1之间的最短距离。 2(1)xyz，,解:设P(x,y,z)为抛物面上任一点.则点P到平面的距离的平方为,即求d,32(1)xyz，,222其在条件z= x+y2下的最值。设F(x,y,z)= ,，,()zxy32(1)xyz，,Fx,20x,3,2(1)xyz，,Fy,20,y解方程组 3,，,2(1)xyzF,，,0,z,3,22,zxy,，,1xyz,得 2132d,.故所求最短距离为 63215. 抛物面z = x+y2被平面x+y+z =1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。 解:设椭圆上的点为P(x,y,z)，则 2222|OP|=x+y+z. 因P点在抛物面及平面上，所以约束条件为 22z=x+y， x+y+z=1 22222设F(x,y,z)= x+y+z+(z-x-y)+(x+y+z-1) 12Fxx,，,220,x12,Fyy,，,220,y12,解方程组 Fz,，,20,z12,22zxy,，,xyz，,1,13得 xyz,23 ,2202 由题意知，距离|OP|有最大值和最小值，且 2,2,13222. ,，,，,xyz2953,，OP23,2所以原点到椭圆的最长距离是，最短距离是. 953，953,16. 在第I卦限内作椭球面 222xyz ，,1222abc的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。 222xyz解:令 Fxyz(,)1,，,222abc222xyz? FFF,xyz222abc?椭球面上任一点的切平面方程为 Pxyz(,)0000222xyz000 ()()()0.xxyyzz,，,，,000222abcxxyyzz000，,1.即 222abc222abc切平面在三个坐标轴上的截距分别为，因此切平面与三个坐标面所围的四面体,xyz000的体积为 2222221abcabc V,66xyzxyz000000222222xyzabc，,1即求在约束条V,件下的最小值，也即求xyz的最大值问题。 222abc6xyz222,xyz设 , (,)xyzxyz,，1，,222abc,2,x,，,yz0,x2,a,2x,xz0,，,y2,b解方程组 ,2x,，,xy0,z2,c,222xyz,，,1.222abc,203 abc得. xyz,333abc,故切点为，此时最小体积为 ,333,222abc3 Vabc,.abc26,333*17. 设空间有n个点，坐标为,试在xOy面上找一点，使此点与这(,)(1,2,)xyzin,？iiin个点的距离的平方和最小。 解:设所求点为P(x,y,0)，则此点与n个点的距离的平方和为 222222Sxxyyzxxyyz,，,，,，,，()()()()？111222222 ，,，,，()()xxyyznnn 22,，,，nxxxxxnyyyyy2()2()？nn1212222222222 ，()()()xxxyyyzzz？nnn121212Snxxxx,，,22()0？,xn12解方程组 ,Snyyyy,，,22()0？,yn12,xxx，？,12nx,n得驻点 ,yyy，？12n,y,n,nn11,又在点处 xy,ii,nn,11ii,S=2n=A, S=0=B, S=2n=C xxxyyy22B-AC=-4n<0, 且A>0取得最小值. nn11,xy故在点处，S取得最小值. ,ii,nn,11ii,nn11,xy即所求点为. ,0,ii,nn,11,ii*18. 已知过去几年产量和利润的数据如下: 340 47 55 70 90 100 10产量x(件) 332 34 43 54 72 85 10利润y(元) 204 试求产量和利润的函数关系，并预测当产量达到120千件时工厂的利润。 解:在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f(x)=ax+b，62求的最小值，即求解方程组 uyaxb,，(),ii,i1666,2axbxyx,，,iiii,iii111 ,66,axby6.，,ii,ii11,把(x,y)代入方程组，得 ii2983440224003ab，, ,4026320ab，,解得 a=0.884, b=-5.894 即 y=0.884x-5.894, 3当x=120时，y=100.186(10元). 205