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高等数学课后习题答案4上海交大版第四章 微分中值定理和导数的应用 x在区间上的正确性。 t1(验证罗尔定理对函数0,3yex,sin,x(0,3),yy(0)(3)0,解答:因为函数在区间上连续，在内可导，且，满足0,3,yex,sin,3xy'()0,罗尔定理条件，又由于，当时，即罗尔定理的yexx'(sincos),，,(0,3)4结论成立。验证完毕。 所属章节:第四章第一节 难度:一级 yx,arctan2(验证拉格朗日定理对函数在区间上的正确性。 0,1,(0,1)yx,arctan解答:因为函数0,1在区间上连续，在内可导，满足拉格朗日定理条件，又,4,1yy(1)(0),(0,1)由于，当时，即拉格朗日定理的结论成立。,y',y'(),2,1，x104,验证完毕。 所属章节:第四章第一节 难度:一级 ,3(就下列函数及其区间，求罗尔定理或拉格朗日定理中的值: 5，fxx()lnsin,(1); ,66，fxx()arcsin,1,1,(2); ,2fxaxbxcxxhh(),(0),，,(3). (原题少右上标2) ,00,5fx'()cot0,解答:(1)由于，令，有; ,ff()ln2()x,2662,41(1)(1)ff,(2)由于，令f'(),，得; ff(1),(1),x,21(1)2,221,x22(3)由于fxhaxhbxhcfxaxbxc()()(),()，,，,，令 000000fxhfx()()，,100，得。 ,，faxbaxahb'()(2)2,，,，xhx,00h2所属章节:第四章第一节 83 难度:一级 14(函数在区间上是否满足拉格朗日定理的条件, ab,fx(),x参考答案:当0,(),abfx时，满足拉格朗日定理的条件，当0,(),abfx时，不满足拉格朗,日定理的条件。 11()()1fbfa,1解答:由于，当时，有导数，所以当x,0fx'(),fbfa(),(),2xbabaab,0,(),abfx时，满足拉格朗日定理的条件，且或;当0,(),abfx时，由,ab,ab,于有不可导点，不满足拉格朗日定理的条件。 所属章节:第四章第一节 难度:二级 25(验证函数在区间1,4上满足柯西定理的条件。 fxxgxx(),(),2(1,4)(1,4)解答:函数在闭区间1,4上连续，在开区间内可导，在区间内fxxgxx(),(),1gx'()0,，所以满足柯西定理的条件。 2x所属章节:第四章第一节 难度:一级 nn,1nn,126(若方程有一正根，则方程axaxax，,，,0anxanxa，,，,，,(1)0xx,0011n,011n,必有一个小于的正根。 x0nn,1fx()0,x解答:令 ，则由条件知函数在区间上满足罗尔定理fxaxaxax(),，,，,0011n,nn,12f'()0,条件，所以至少存在正数使，即为方程anxanxa，,，,，,(1)0,(0,)x0011n,小于的正根，得证。 x0所属章节:第四章第一节 难度:二级 fx()fafbfc()()(),(,)abab,7(若在上二阶可导，且，其中c是内的某一点，求证方程,fx()0,(,)ab在内必有一实根。 fx()accb,解答:由题设条件知函数在上均满足罗尔定理条件，于是存在,，使，再在区间上应用罗尔定理，有,(,),(,)accbff()()0,12121284 ,f()0,fx()0,(,)ab，使，也即方程在内必有一实根。 ,(,)(,)ab12所属章节:第四章第一节 难度:二级 3xxc,，,30(0,1)8(证明方程在开区间内不含有两个相异的实根。 3xxc,，,30(0,1)解答:反证法。假设方程在开区间内含有两个相异的实根，记为，其xx,12333中，且，则在区间上对函数应用xxcxxc,，,，,30, 30xx,xxfxxxc()3,，121211222,1罗尔定理，存在，使，即有，与矛,(,)(0,1)xx,(,)(0,1)xxf'()330,12123(0,1)xxc,，,30盾。所以方程在开区间内不含有两个相异的实根。 所属章节:第四章第一节 难度:二级 aaann,101n,19(设，证明方程在0与1之间至少axaxaxa，,，,0，,，,0an011nn,，12nn有一实根。 aaann，12nn,1011n,解答:令 ，则，由fxaxaxaxa'(),，,，(),，,，fxxxxaxn011nn,，12nnfx(),(0,1)题设条件知函数0,1在区间上满足罗尔定理条件，所以至少存在实数使,nn,1f'()0,，即为方程在0与1之间的实根，得证。 axaxaxa，,，,0011nn,所属章节:第四章第一节 难度:二级 ,fxxxxx()(1)(2)(3)(4),fx()0,10(不求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。 ,ffff(1)(2)(3)(4)0,fx()0,解答:因为，所以由罗尔定理知方程至少有三个实根，fx()fx'()1,2(2,3)(3,4)、分别在区间内，同时由于函数为四次多项式，则函数为三次多项，,fx()0,式，故方程最多有这三个实根。 所属章节:第四章第一节 难度:二级 ab，fx()(,)abab,11(设在上连续，在内可导，且，试证:至少fafbfaf()()0,()()0,285 ,(,)abff()(),存在一点，使。 ab，ab，【题设条件有误，是否应为,以fafbfaf()()0,()()0,fafbfaf()()0,()()0,22下解答按此条件进行】 ab，ab，fx()a,b解答:对函数在区间及上分别利用闭区间上连续函数的零点存在定,22，abab，,x理，有使，再对函数应用罗尔定理，ff()()0,(,),(,)abFxfx()()e,121222,F'()0,ff()(),则至少存在一点，使，即。 ,(,)(,)ab12所属章节:第四章第一节 难度:三级 fx()x,fx()fxfx()(),f0)1(,，,12(设在内满足，且，证明。(提示:令) fx()e,()x，xefx(),()xfxfx()(),，,解答:令，则函数在区间内可导，由于，有 ,()x，xefxfx'()(),f(0),()xC,f(0)1,，故(其中为常数)。又由得，C,'()0x,(0)(0)1fx0eefx()x故C,1，即，因此。 ,fx()e,()1xxe所属章节:第四章第一节 难度:二级 13(利用拉格朗日中值定理证明下列不等式: nnnn,11(1)若0,ab，当n,1时，; nababanbba()(),x(2)若; xxx,，,0,ln(1)1，xsinsinxyxy,(3); arctanarctanabab,(4). n,ab(,)ab解答:(1)对函数，当n,1时，由于它在上连续，在内可导，应用拉格fxx(),nnn,1,(,)abab,朗日中值定理，存在，使，由于，故bafbanba,'()()(),nnn,111nnnn,11，即; nabanbanbba()()(),nababanbba()(),fxx()ln(1),，0,x(0,)xx,0(2)对函数，当时，由于它在上连续，在内可导，应用拉格86 x,(0,)x0,xfxfxfx()(0)ln(1)ln1'(),，,朗日中值定理，存在，使，由于，1，,xxx,x，故有; ,，,ln(1)xx11x,，1，xfxx()sin,yx(,)yx，当时，由于它在上连续，在内可导，应用拉格朗(3)对函数yx,(,)yx日中值定理，存在，使sinsin'()()cos()xyfxyxyxy,;当时xy,类似可证，当时，结论显然。证毕。 xy,fxx()arctan,ab,ba(4)对函数在区间或上应用拉格朗日中值定理，ab, ，当时，结论显然。证毕。 ab,arctanarctan'()()abfabab,21，,所属章节:第四章第一节 难度:二级 ,fxgx(),()fxgx(),()(,)abab,14(设在上连续，在内存在，证明: ,fafbfaf() ()()(),，其中在a和b之间。 ,() ba,gagbgag() ()()(),Fxfagxfxga()()()()(),ab(,)ab解答:对函数，由于它在区间上连续，在内可导，应用,(,)abFbFaFba()()'()(),拉格朗日中值定理，存在，使，即,fafbfaf() ()()(),，证毕。 ,() ba,gagbgag() ()()(),所属章节:第四章第一节 难度:二级 fx()(,)ab(,)ablim()fxlim()fx15(设在内连续可导，且与存在，证明:在内至少存在一，,xa,xb,lim()lim()()()fxfxfba,点，使。 ,，xbxa,lim() fxxa,，xa,ab(,)ab解答:令 ，则它在区间上连续，在内可导，应用拉格Fxfxaxb()() ,lim() fxxb,xb,87 ,(,)abFbFaFba()()'()(),朗日中值定理，存在，使，即 ,lim()lim()()()fxfxfba,。 ,，xbxa,所属章节:第四章第一节 难度:二级 ,fx()(,)abfx()0,(,)ab16(设函数在内二阶可导，且，证明:对内固定的及该区间内异x0,于的任一点x，必存在唯一的点，使得，其中在x和之间。 fxfxfxx()()()(),x,x0000fx(),解答:对函数在或上应用拉格朗日中值定理，必存在在x和之间，使得,xx,xxx000,，其中在x和之间; fxfxfxx()()()(),x000,fx()0,如果这样的点不唯一，即至少有两点，再用罗尔定理可知存在的根，与条件矛盾。证毕。 所属章节:第四章第一节 难度:二级 fx()(,)abfafb()()0,fcacb()0(),ab,17(若在上连续，在内可导，且及存在c，使，,(,)ab,f()0,证明:在内必存在，使。 fx()accb,解答:由题设条件知函数在上均满足拉格朗日中值定理条件，于是存在,fcfafbfc()()()(),，使。 ,(,),(,)accb,ff'()0,'()0,1212cabc,再在区间上应用拉格朗日中值定理，有，使,(,)(,)ab,1212ff'()'(),21,f()0,，证毕。 ,21所属章节:第四章第一节 难度:三级 ,fx()(,)abfx()18(证明:若函数在内可导，但无界，则其导函数在该区间内也无界，反之不然。并举出例子。 ,fx()(,)abfx()解答:反证。设函数在内可导，但无界，而导函数在该区间内有界，则存在xab,(,)fxM'(),M,0，当时，有。 xab,(,)取，则对任意， xab,(,)088 fxfxfxfxfxxfxMbafx()()()()'()()()(),，,，,，, 00000,fx()(,)abfx()(,)ab上式说明函数在内有界，矛盾，即导函数在内也无界。 1(0,1)fx'(),反之不然。举例如下:对函数，导函数在内无界，但在fxx(),fxx(),2x(,)ab内可导，有界。 所属章节:第四章第一节 难度:三级 fx()(0,)afa()0,(0,)a19(设在0,a上连续，在内可导，且，证明至少存在一点，使,ff()()0,，,。 ff()()0,，,ff()'()0,，,【是否应为,以下按此证明】 Fxxfx()(),(0,)aFFa(0)0(),解答:作辅助函数，则它在0,a上连续，在内可导，且，,(0,)aF'()0,ff()()0,，,应用罗尔定理，至少存在一点，使，即。 所属章节:第四章第一节 难度:二级 ,()0x,fxx()(),fxfxxx()()()(),20(设当时，且，证明:当时，。 xx,xx,0000解答:当时结论显然成立。 xx,0fx(),()x,xx,当时，对函数，在区间上应用柯西中值定理，必存在在x和之xx,x,000fxfxf()()'(),0间，使， ,()()'()xx,0fxfxf()()'(),0,()0x,fxx()(),又由条件，可得，再由条件，有,1()()'()xx,0fxfxxx()()()(),，即得。 ,()()0xx,000所属章节:第四章第一节 难度:三级 (1)n,fx()x,021(设函数在的邻域内具有n阶导数，且。试用柯西fff(0)(0)(0)0,()nfxfx()(),(01)定理证明:。 ,nxn!89 nfx()解答:对函数，在区间或上应用柯西中值定理，必存在在和x0,xx,00,()xx,1fxff()(0)',(),fxf()'(),n,111fx'()之间，使，即，再对函数，在区间或,0,'()xnx,1nn,1()(0)'x,()xn,11fff'()'(0)"(),12上应用柯西中值定理，必存在在和之间，使，即,0,0,121'()'(0)"(),12fxffff()'()'()'(0)"(),nn()112，如此进行次，由于，就有,()!xn,nnnnn,112xnnnn,0(1),112(1)(1)()nnn,fxfff()()(0)(),nn,1，其中在和之间，自然在和x之间，于是可以00,nn,1nxnn!0!,n,1()nfxfx()(),写成如下形式(01)。 ,nxn!所属章节:第四章第一节 难度:三级 求下列极限(题) 2249mmxa,lim22(; nn,xaxa,mmm,1xamx,mmn,limlim,解答: annn,1xaxa,xanx,n所属章节:第四章第二节 难度:一级 xx,ee,lim23(; 0x,xsinxxxx,eeee,，limlim2,解答: 00xx,sincosxx所属章节:第四章第二节 难度:一级 xx,arctan24(; lim3x,0x90 1,12xx,arctan11x，1,解答: limlimlim322xxx,000xxx，33(1)3所属章节:第四章第二节 难度:一级 tanxx,25(; limx,0xx,sin22tansec1tanxxxx,解答: limlimlim2,xxx,000xxxx,sin1cos1cos所属章节:第四章第二节 难度:一级 lnsinx26(; lim2,(2)xx,22lnsincotcsc1xxx,解答: limlimlim,2,(2)4(2)88,xxxxx,222所属章节:第四章第二节 难度:一级 x3e1sin,，x327( lim,x0x,x3ex,，1sin,x23解答: limlim(3sin)1,，,ex,xx00x3所属章节:第四章第二节 难度:一级 22ln(1)ln(1)，,，xxxxlim28(; x,0seccosxx,2222ln(1)ln(1)cosln(1)ln(1)，,，,，xxxxxxxxxlimlim,解答: 2xx,00seccos1cosxxx,22ln(1)ln(1)，,，xxxx,2lim 2x,0x91 1212，,，xx，2211，,，xxxx ,2lim1x,02x所属章节:第四章第二节 难度:二级 11x，,(1)ex(1)，,xexlim29(; 【此题有误，应为，以下按此计算】 lim,x0,0xxx11x(1)11，,xex解答: limlim(1)ln(1),，,，xx2,xx00xxxx(1)，111x,，,，xxlim(1)limln(1) 2,xx00xxx，(1),，ln(1)xe ,elim2x,0232xx，所属章节:第四章第二节 难度:二级 xx,ee，lim30(; xx,x,，,ee,xxx,2eee，1limlim1,解答: xxx,2xx,，,，,eee,1所属章节:第四章第二节 难度:一级 lntan7x31(; lim，x,0lntan2x2lntan7cot7sec77xxx,limlim1,解答: 2，xx,00lntan2cot2sec22xxx,所属章节:第四章第二节 难度:一级 2xx，lnlim32(; x,，,xxln92 1xxx，lnln1x解答:因为，且函数非负， ,limlimlim02xxx,，,，,，,11xx，lnx，,222xx2xx，ln所以 。也可直接用洛比达法则计算极限。 lim,，,x,，,xxln所属章节:第四章第二节 难度:一级 122x33(; limex,x01211xe222xx解答: x,，,limelimlime,xxx00012x所属章节:第四章第二节 难度:一级 1x34(; lim(e1)x,x11xe1,x解答: xlim(e1)lim1,xx1x所属章节:第四章第二节 难度:一级 nx,235(; limeln(0)xxn,，x,02ln2ln2xxnxn,22,limelnlimlnlimlimlim0xxxx解答: ,nnn2，xxxxx,00000,xnxnx所属章节:第四章第二节 难度:二级 limlnln(1)xx,36(; ,x,1,122xxxxxln(1)lnln2ln,，x1,xx解答:limlnln(1)limlimlimlim0, ,xxxxx,1111111,x11,2xxxlnln93 所属章节:第四章第二节 难度:二级 1137(; ,lim()x,0xx,e1xxx111111exexe,lim()limlimlim,解答: 2xx,0000xxxxxxexxe1(1)22,所属章节:第四章第二节 难度:二级 x1x138(;【此题有误，应为，以下按此计算】 ,，lim()lim()x,1x,1,1lnxx1lnxxxxxxxxx1ln1lnln，,解答: lim()limlimlim，,xxxx,111111ln(1)lnln1,，,xxxxxxx,，,ln(1)xxxln11x， ,limx,1,ln22x所属章节:第四章第二节 难度:二级 xx,sin39(; limxx,0x,ee2,xxxxxx,sin1cossincos1解答: limlimlimlim,xxxxxxxx,0000xxxx,ee2ee2eeee2,，,，x所属章节:第四章第二节 难度:一级 1240(; ,xlim(cot)2，x,0x2221sincos(sincos)(sincos)xxxxxxxxx,，2lim(cot)limlim,x解答: 2223，xxx,000xxxxxsin,sincossincos12xxxxxx,， ,，,limlim23，xx,00xx33所属章节:第四章第二节 难度:二级 x，1x41(; lim(),，,xx,194 11,2xxxx，,1ln(1)ln(1)2xx，,11解答:因为 xlimlnlimlimlim2,2xxxx,，,，,，,，,11xx,11,2xxx，1x2所以 lim(),e,，,xx,1所属章节:第四章第二节 难度:一级 12，xln(1)(; 42lim(cos)xx,0lncostan1xx,解答:因为 limlim,2xx,002xln(1)2，x21，x11,2，xln(1)2所以lim(cos)xe, x,0所属章节:第四章第二节 难度:二级 tan2x43(; lim(tan)x,x42lntancotsecxxx,解答:因为lim(tan2lntan)limlim1xx, 2cot22csc2xx,xxx,4441tan21x,所以 xe,lim(tan)ex,4所属章节:第四章第二节 难度:二级 12sin,44(; lim(),0,cos1,1sinlnsinlncossin,sin,解答:因为 ,limlnlimlimlim223,000022,sin1,lim 2,066,95 11,2sin,6所以 ,lim()e,0,所属章节:第四章第二节 难度:二级 sinx45(; limx，,x012xxlnsinx解答:因为 ,xxlimsinlnlimlimlim02，xxxx,0000,xxxcsccscsin0x所以 lim1xe,，,x0所属章节:第四章第二节 难度:二级1xln(e1),46(limx; ，0,x1xln1xe,xlimlimlim1,解答:因为 xxx，,000xxxeln(1)exe,xe,11x1,ln(e1)limxee,所以 ，x,0所属章节:第四章第二节 难度:二级 sinx47(; lim(cot)x，,x012,x(csc)xlncotxcot解答:因为 xx,limsinlncotlimlim0，xxx,000xxx,csccsccotsin0x所以 lim(cot)1xe,，,x0所属章节:第四章第二节 难度:二级 xx,sin48(; limx,xx，cos96 sinx,1xx,sin10x解答: limlim1,xx,cosx，xxcos10，1x所属章节:第四章第二节 难度:一级 12xsinx49(; limx,21x112xsinsinx11xx解答:,，, limlim1xx,1,xx212122x所属章节:第四章第二节 难度:二级 1,1x，,x(1)，x,0,x,e50(讨论函数 在点处的连续性。 x,0fx(),，,1,2e,0x,1,1x，,x(1)x，,0,x,e【此题有误，应为，以下按此计算】 fx(),，,1,2e,0x,11,22解答:因为， lim()limfxee,xx,0011x，1x,(1)ln(1)1xxx，,2lim()limexp(lim)exp()fxe, 2,xxx,000ex2,，x,0所以该函数在点处连续。 所属章节:第四章第二节 难度:三级 fahfahfa()()2()，,fx()51(设在点a的邻域内二阶可导，求。 lim2h,0h解答:对所求极限先用洛比达法则，再用点a处的二阶导数定义，即得 97 fahfahfafahfah()()2()'()'()，,，, limlim"(),fa2hh,00hh2注意:由于二阶导数未必连续，不能用接连两次使用洛比达法则。 所属章节:第四章第二节 难度:三级 fx(),ffx(0)0,(),f(0)0,52(若在点的邻域内连续，且，试证:。 x,0lim1x,，,x0,fx()ffx(0)0,(),f(0)0,:因为对函数，在点的邻域内连续，且，所以 解答x,0,fxffxxfxx()(0)(0)()'(0)(),，,，; limln0,lim()ln0xxxx,;lim()ln0fxx,而，故，所以 ，xx,00x,0fx() limexp(lim()ln)exp(0)1xfxx,，,xx00所属章节:第四章第二节 难度:三级 32(2)x，53(将多项式按的乘幂展开。 fxxxx()234,，,32解答:对函数，由于 fxxxx()234,，,2(4)(5) fxxxfxxfxfxfx'()343,"()64,'"()6,()()0,，,(4)(5)所以， ffffff(2)26,'(2)23,"(2)16,'"(2)6,(2)(2)0,于是所求展开式为 23。 fxxxx()2623(2)8(2)(2),，,，所属章节:第四章第三节 难度:一级 54(求函数在点处带有拉格朗日余项的3阶泰勒公式。 fxx(),x,401357,11315(4)2222,fxxfxxfxxfxx'(),"(),'"(),()解答:对函数，有， fxx(),2481611315(4),，,fffffx(4)2,'(4),"(4),'"(4),(4(4)故有， 74322562，,16(4(4)x,所以所求3阶泰勒公式为 98 411115(4)x,23 。 ,xxxx,，,，,2(4)(4)(4),(01)746451224!164(4),，,x,所属章节:第四章第三节 难度:二级 155(求函数在点处带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式。 x,1fx(),0xk(1)!,k1()k解答:对函数，有，从而有 fx(),fx(),，1kxx(1)!n，()(1)1nnn，,ffffnfx(1)1,'(1)1,"(4)2,(1)!,(1(1)(1),，, n，2(1(1),，x,n，11(1)x，21nn，于是所求展式为, ,，,，,1(1)(1)(1)(1),(01)xxxn，2x,，1(1)x,所属章节:第四章第三节 难度:二级 256(求函数在点处带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式。 x,1fxxx()ln,02解答:对函数，有 fxxx()ln,k,32(1)(3)!,k()kfxxxxfxxfxfx'()2ln,"()2ln3,'"(),(),，,，, k,2xx()1nn, fffffn(1)0,'(1)1,"(1)3,'"(1)2,(1)(1)2(3)!,2(2)!n,(1)nn，,fx(1(1)(1)，, n,1(1(1)，,x,所以所求展式为 n,132(1)2(3)!,n223nxxxxxxln(1)(1)(1)(1),，,，,，,，, 2!3!nn(1)2(2)!,n，1n,，,(1) (01)x ,1n(1)!1(1)nx，,所属章节:第四章第三节 难度:二级 fxx()arctan,57(求函数带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式。 99 【此题中“n阶麦克劳林公式”是否为“2阶麦克劳林公式”,，以下按此计算】 fxx()arctan,解答:对函数，有 2122(31),xxfxfxfx'(),"(),'"(),， 222231(1)(1)，xxx22(3()1),x,ffffx(0)0,'(0)1,"(0)0,'"(), ,23(1()，x,213()1,x,3所以。 arctan (01)xxx,，,323，1()，x,，所属章节:第四章第三节 难度:一级 x58(求函数带有皮亚诺余项的n阶麦克劳林公式。 fxx()e,x解答:对函数，有 fxx()e,xxxxxxnxx() fxxeefxxeefxxeefxxene'(),"()2,'"()3,(),，,，,，,，()n fffffn(0)0,'(0)1,"(0)2,'"(0)3,(0),所以所求带有皮亚诺余项的n阶麦克劳林公式为 3nxxxn2e()xxxox,，,，。 2!(1)!n,所属章节:第四章第三节 难度:一级 23xx1xxee1,，x59(验证当，依近似公式计算近似值时，所产生的误差小于0.01，0,x262应用这个结果求具有三位有效数字的的近似值。 e23xxxe1,，x解答:对近似公式，舍去的余项为 261,2eee11444Rxx(),，故当时，有，所产生的误差小于0.01。 Rxx()()0.010,x33242424221111123。 e,，,1()()1.64522262100 所属章节:第四章第三节 难度:一级 60(求下列各数的值(精确到0,001): 3(1); (2). ln1.230参考答案:(1)【此题参考答案有误】; (2) ln1.20.183,303.107,111111121333解答:(1); 30(273)3(1)3(1)3.107,，,，,，,，,2939233911123(2)。 ln1.2ln10.20.20.20.183,，,，,123所属章节:第四章第三节 难度:一级 61(应用泰勒公式求下列极限: 2x,x2esin(1)xxx,，cosex,(1)lim; (2); lim34,0x0,xxx1，2xxlimln(1,，(3). ,x,x，23xxx23,，,，1(),sin();解答:(1)利用exxxxx，有 23!3xx3sin(1)(),，,，;exxxx 3xesin(1)1xxx,，lim,所以; 3,0xx32x,11112442442exxxxxxx,，,，;1(),cos1()(2)利用，有 2162242x,1442xexx,，;cos() 122x,2cose1x,所以; lim,40,xx121122(3)令，利用，有 ，,，;x,ln(1)()ttttt2101 2111();t,，,， ln(1)t22ttt21111，2xxtlimln(1)limln(1),，,，, 。 所以2,xt,0xtt2，所属章节:第四章第三节 难度:二级 ,fx()(,)abfx()0,(,)ab62(设在内二阶可导，且。证明对于内任意两点及，01,txx、12有ftxtxtfxtfx(1)(1)()(),，,，。 ,1212解答:不妨设，记，分别在上应用拉格朗日中值定理，有 xtxtx,，(1)xx,xxxx120121002fxfxfxxxx()('()(), (,),),01101110fxfxfxxxx()('()(), (,),),20220202,fx()0,上面第二式乘以减去第一式乘以，注意到由于，可得 1,tff'()'(),t12tfxtfxtfxtfxffttxx()(1)()(1)()'()'()(1)()0,，,),20012120ftxtxtfxtfx(1)(1)()(),，,，即。 ,1212所属章节:第四章第三节 难度:三级 fxxx()arctan,63(判定函数的单调性。 fxxx()arctan,解答:对于函数，由于 21xfx'()10, 2211，xx所以函数上是单调减的。 fx()(,)在,，,所属章节:第四章第四节 难度:一级 2(0,1)(1,2)fxxx()2,64(证明函数在区间内严格单调增，而在区间严格单调减。 20,2fxxx()2,解答:对于函数，定义域，由于 102 1,x fx'(),22xx,x,(0,1)fx'()0,x,(1,2)fx'()0,所以当时，;当时，; 2(0,1)(1,2)fxxx()2,于是函数在区间内严格单调增，而在区间严格单调减。 所属章节:第四章第四节 难度:一级 65(确定下列函数的单调区间: 1032(1); (2); yxxx,，3914y,32496xxx,，23yxx,，ln(1)(3); (4); yxx,，(1)(1)2(5); (6); yxx,2lnyxxx,2sin(02)2nx,3yxaaxa,(2)()(0)(7); (8). yxnx,e(0,0)32解答:(1)对函数，由于其定义域为，导函数xR,yxxx,，39142y'0,y'0,，易知当或时，;当时，;所x,1x,3,13xyxxxx'3693(1)(3),，,，,1,3,1,3以单调增区间:，单调减区间:; ，60(21)(1)xx,10y', (2)对函数，由于其定义域为x,0，导函数，y,32232(496)xxx,，496xxx,，111,y'0,y'0,1易知当时，;当x,0或或x,1时，;所以单调增区间:，,x10,x,222,1,，,0,0,1,单调减区间:; ，,2,22yxx,，ln(1)yx'10,，,xR, (3)对函数，由于其定义域为，导函数，所以单,，,调增区间:; ，132xR, (4)对函数，由于其定义域为，导函数，易知yxx,，(1)(1)yxx'4()(1),，21111,y'0,y'0,，,当时，;当时，;所以单调减区间:，单调增区间:; x,x,2222,103