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2009年高考试题数学文科山东卷解析版,4150120,. 1. 0.5. 2. 2B3. 0.5; ,;,4. ,. 柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是锥体的高。 锥体的体积公式V=1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 3(60) 1255021.集合Ba,1,若,则的值为( ) Aa,0,2,AB,0,1,2,4,16a,A.0 B.1 C.2 D.4 2,a,162【解析】:?Ba,1,a,4,?,故选D. Aa,0,2,AB,0,1,2,4,16,a,4,答案:D 【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题. 3,i2.复数等于（ ）. 1,iA1，2i12,i2，i2,i B. C. D. - 1 - 23(3)(1)3242,，,，iiiiii2. 【解析】: ,故选C. ,，2i21(1)(1)12,，,iiii答案:C 【命题立意】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算. ,3.将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式yx,sin24是( ). ,22A. y,1，sin(2x，) B. C. D. yx,cos2 yx,2cosyx,2sin4,3. 【解析】:将函数yx,，sin2()yx,sin2的图象向左平移个单位,得到函数即44,yxx,，,sin(2)cos2的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为22,故选A. yxx,，,1cos22cos答案:A 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). 2323A.24,，,， B. C. D. 223,，423,，33【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 2 2 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2,四棱锥的底面 2123边长为，,23，高为，所以体积为 23，332 23所以该几何体的体积为2,，. 32 2 侧(左)视图 正(主)视图 答案:C 【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积. 俯视图 - 2 - b,ab，2a，b5.在R上定义运算?: ?,则满足?(x,2)<0的实数的取值范围为axx( ). A.(0,2) B.(-2,1) C.(,2):(1,，,) D.(-1,2) 2【解析】:根据定义,2,x,1?,解得,(x,2),x(x,2)，2x，(x,2),x，x,2,0x所以所求的实数的取值范围为(-2,1),故选B. x答案:B. 【命题立意】:本题为定义新运算型,正确理解新定义是解决问题的关键,译出条件再解一元二次不等式. xx,ee，6. 函数y,的图像大致为( ). xx,ee,yyy y 1 1 11 x O 1O11 OxxOx 1 D B A C 【解析】:函数有意义,需使xx,其定义域为,排除C,D,又因为ee,0x|x,0xxx,2eee，12x,0y,，1,所以当时函数为减函数,故选A. xxxx,22eeee,11答案:A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. xxlog(4,),0,7. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= 2，则f（3）的值为( ) ,fxfxx(,1),(,2),0,A.-1 B. -2 C.1 D. 2 【解析】:由已知得f(1)log5,f(0)log42,fff(1)(0)(1)2log5, 222,故选B. fff(2)(1)(0)log5,fff(3)(2)(1)log5(2log5)2,222答案:B. - 3 - 【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程. 8.设P是?ABC所在平面内的一点，则（ ） BCBABP，,2A. B. C. D. PAPB，,0PBPC，,0PCPA，,0PAPBPC，,0B 【解析】:因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。 BCBABP，,2答案：B. C A P 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则， 第8题图 可以借助图形解答。 9. 已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“,”是“m,”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线,m,则,反过来则不一定.所以“,m,”是“”的必要不充分条件. 答案:B. 【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念. 210. 设斜率为2的直线yl过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若?OAF(O为坐yaxa,(0)标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ). 2222A. B. C. D. yx,4yx,8yx,4yx,8aa2【解析】: 抛物线(,0)yx,2()l的焦点F坐标为,则直线的方程为,它yaxa,(0)441aaa与|4,y(0,),a,8轴的交点为A,所以?OAF的面积为,解得.所以抛物线方程24222为,故选B. yx,8答案:B. 【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数的符号不定而引发a的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一. - 4 - ,1,11.在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ). cosx2222112A. B. C. D. 3,23,1【解析】:在区间,x, 上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之cosx22222,1间,需使,或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之cosxxx233232,13间的概率为.故选A. ,3答案:A 【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得. cosx12. 已知定义在R上的奇函数f(x)fxfx(4)(),，满足,且在区间0,2上是增函数,则( ). A.fff(25)(11)(80),fff(80)(11)(25), B. C. fff(11)(80)(25),fff(25)(80)(11), D. 【解析】:因为f(x)fxfx(4)(),fxfx(8)(),满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则f(,25),f(,1)f(80),f(0)f(11),f(3)f(x),又因为在R上是奇函数， f(0)0,f(80),f(0),0f(,25),f(,1),f(1)fxfx(4)(),得,而由得f(11),f(3),f(,3),f(1,4),f(1)f(x),又因为在区间0,2上是增函数,所以f(1),f(0),0,f(1),0fff(25)(80)(11),所以,即,故选D. 答案:D. 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. 第,卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 13.在等差数列中,则. aa,7,a,a，6a,_3526n- 5 - a,3ad,，2,7,11d【解析】:设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以a,nadad，4,，6d,211,. aad,，,51361答案:13. 【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. x14.若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . ,xx【解析】: 设函数yxa,，且a,1和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两yaa,(0,x个零点, 就是函数yxa,，且a,1与函数有两个交点,由图象可知当yaa,(0,x0,a,1a,1时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),yaa,(1)而直线yxa,，所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是a|a,1. 答案: a|a,1 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,开始 根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 15.执行右边的程序框图，输出的T= . S=0,T=0,n=0 【解析】:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2; 是 T>S S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12; 否 S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30 S=S+5 输出T 答案:30 n=n+2 【命题立意】:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以 结束 反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量, T=T+n 注意每个变量的运行结果和执行情况. 16.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为_元. - 6 - y【解析】:设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则zx，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示: zxy,，200300产品 A类产品 B类产品 租赁费 设备 (件)(?50) (件)(?140) (元) 5 10 200 甲设备 6 20 300 乙设备 6,5650xy，,xy，,10,5则满足的关系为,即:, 1020140xy，,xy，,214,xy,0,0,xy,0,0,6,xy，,10,作出不等式表示的平面区域,当zxy,，200300对应的直线过两直线的交点5,xy，,214,(4,5)时，目标函数zxy,，200300取得最低为2300元. 答案:2300 【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题. 三、解答题：本大题共6小题，共74分。 ,17.(本小题满分12分)设函数f(x)=22sinxcos，cosxsin,sinx(0,)在处取x,2最小值. (1) 求,.的值; 3(2) 在,a,b,cABC中,分别是角A,B,C的对边,已知f(A),求角C. a,1,b,2,21cos，,解: （1）fxxxx()2sincossinsin,，, 2,，,sinsincoscossinsinxxxx,，sincoscossinxx,，sin()x, 因为函数f(x)在sin()1,，,sin1,处取最小值，所以,由诱导公式知,因为x,fxxx()sin()cos,，,0,所以.所以 22- 7 - ,33,（2）因为,所以,因为角A为ABC的内角,所以.又因为cosA,f(A),A622bAsin12ab所以由正弦定理,得,也就是sin2B,，, a,1,b,2,sinsinABa22,3因为B,B,ba,所以或. 44,7,33当B,B,C,C,时,;当时,. 4464126412【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 18.（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, 1111AA=2, E、E分别是棱AD、AA的中点. DC1 1 111A1 B1 （1） 设F是棱AB的中点,证明：直线EE/平面FCC； 11（2） 证明:平面DAC?平面BBCC. 111D E1 C E证明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取AB的中点F， 1111111A B F 连接ADCD，CF，CF，因为AB=4, CD=2,且AB/CD， 1 1 1111/A1 B1 所以CD=AF，AFCD为平行四边形，所以CF/AD， 1111111 F又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE/AD， 1111D 1 EC 所以CF/EE，又因为平面FCC，平面FCC， EE,CF,111111EA B F 所以直线EE/平面FCC. 11（2）连接AC,在直棱柱中，CCDC?平面ABCD,AC,平面ABCD, 1 1 1所以CCA?AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2, 1 1B1 F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，?BCF为正三角形， EC D 1 E，,:BCF60，,:ACF30,?ACF为等腰三角形，且 A B F 所以AC?BC, 又因为BC与CC都在平面BBCC内且交于点C, 111所以AC?平面BBAC,CC,而平面DAC, 111所以平面DAC?平面BBCC. 111- 8 - 【命题立意】: 本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定.熟练掌握平行和垂直的判定定理.完成线线、线面位置关系的转化. 19. （本小题满分12分） 一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆): 轿车A 轿车B 轿车C 100 150 z 舒适型 300 450 600 标准型 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆. （1） 求z的值.（2） 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率; （3） 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 解: (1).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,5010,所以n=2000. n100300，z=2000-100-300-150-450-600=400 (2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5400m的样本,所以,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作10005S,S;BB,B,则从中任取2辆的所有基本事件为(S, B), (S, B) , (S, B) (S ,B), (S ,B), 121,231112132122(S ,B),( (S, S),(B ,B), (B ,B) ,(B ,B)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基2312122313本事件: (S, B), (S, B) , (S, B) (S ,B), (S ,B), (S ,B),( (S, S),所以从中任取2辆,至少有1辆舒111213212223127适型轿车的概率为. 101(3)样本的平均数为x,，,(9.48.69.29.68.79.39.08.2)9, 8那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,6总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为,0.75. 8【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答. - 9 - 20.（本小题满分12分） ，等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数nN,aS(,)nSnnnx且bbr,1,均为常数)的图像上. ybrb,，,(0（1）求r的值； n，1，（11）当b=2时，记 求数列的前项和 bnN,()bTnnnn4an，x解:因为对任意的,点，均在函数且bbr,1,均为常数)的图像nN,(,)nSybrb,，,(0nn上.所以得, Sbr,，n当n,1时, aSbr,，11nnnnn,111当n,2时, aSSbrbrbbbb,，,，,()(1)nnn,1n,1又因为r,1b为等比数列, 所以, 公比为, 所以 aabb,(1)nnnnn，111nn,11（2）当b=2时，, b,abb,(1)2nnnn,，114422a，n2341n，则T,， nn2341，222212341nn，T,， nnn34512，2222221211111n，相减,得T,，, nnn234512，222222211，,(1)31n,311n，11，n22 , ，,nn，12n，21422221,231133nn，所以T, nnnn，1122222【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用Sann错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和. Tnn21.（本小题满分12分） 132已知函数a,0fxaxbxx()3,，,其中 3（1） 当a,bf(x)满足什么条件时,取得极值? - 10 - a,0b（2） 已知,且f(x)在区间(0,1上单调递增,试用表示出的取值范围. a22解: (1)由已知得,令,得, f'(x),0axbx，,210fxaxbx'()21,，2要取得极值,方程必须有解, f(x)axbx，,210222所以?,即, 此时方程的根为 ,440baba,axbx，,2102222,244bbabba,，,，,244bbabba, x,x,122aa2aa所以 fxaxxxx'()()(),12当a,0时, x (-?,x(x,x) x x(x) ,+?) 1 12212f(x) 0 0 f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以f(x)在x, x处分别取得极大值和极小值. 12当a,0时, x (-?,x(x,x) x x) (x,+?) 2 21121f(x) 0 0 f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以f(x)在x, x处分别取得极大值和极小值. 122综上,当a,bf(x)满足ba,时, 取得极值. 2(2)要使f(x)(0,1(0,1在区间上单调递增,需使在上恒成立. fxaxbx'()210,，,ax1ax1即bx,(0,1b,()恒成立, 所以 max22x22x12ax(),ax1a1a设gx(),gx'(),，, 2222x222xx11令x,x,gx'()0,得或(舍去), aa11ax1当01,a,1x,(0,)gx(),gx'()0,时,当时,单调增函数; a22xa- 11 - 1ax1x,(,1当时,gx(),单调减函数, gx'()0,22xa11所以当x,ga(),时,gx()取得最大,最大值为. aa所以 ba,1ax1当,101,agx(),时,此时gx'()0,在区间(0,1恒成立,所以在区间22xaa，1a，1g(1),b,x,1(0,1上单调递增,当时gx()最大,最大值为,所以 22a，1综上,当b,a,101,a时, ; 当时, ba,2【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 22. （本小题满分14分） 设mR,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点ab,amxy,，(,1)bxy,(,1)Mxy(,)的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; 1（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点m,4A,B,且OAOB,(O为坐标原点),并求出该圆的方程; 1222(3)已知ll,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A,且与轨迹E只有一个公共点B,xyR，,m,114当R为何值时,|AB|取得最大值?并求最大值. 11解:（1）因为, ab,amxy,，(,1)bxy,(,1)2222所以, 即. mxy，,1abmxy,，,10当m=0时,方程表示两直线,方程为y,1; 当m,1时, 方程表示的是圆 当m,0m,1且时,方程表示的是椭圆; 当m,0时,方程表示的是双曲线. - 12 - 2x12，,y1(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方ykxt,，m,44ykxt,，,22222程组2得,即, xkxt，,4()4(14)8440，,kxktxt,x2，y,1,4要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 222222则使?=, 6416(14)(1)16(41)0ktktkt,，,，,8kt,xx，,12,2,，14k2222即,即, 且 410kt,，,tk,，41244t,xx,122,14，k,222222ktkttk(44)84,222, yykxtkxtkxxktxxtt,，,，,，,()()()12121212222141414，kkk22222444544ttktk,要使，,0, 需使,即, xxyy，,0OAOB,1212222141414，kkk22222222所以5440tk, 即544tk,，且tk,，41, 即44205kk，,，恒成立. 所以又因为直线ykxt,，为圆心在原点的圆的一条切线, 42(1)，k2t4t42225所以圆的半径为xy，,r, 所求的圆为. r,2225115，kk1，k2222x2当切线的斜率不存在时,切线为x,5(5,5)，,y1,与交于点或555422(,5,5)OAOB,也满足. 55422综上, 存在圆心在原点的圆xy，,，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,5且. OAOB,2x12(3)当，,y1llykxt,，时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆m,44t222222C:(1<R<2)相切于A, 由（2）知, 即 ?, xyR，,tRk,，(1)R,121，k因为l与轨迹E只有一个公共点B, 1- 13 - ykxt,，,222由（2）知得, xkxt，,4()4,x2，y,1,4222即有唯一解 (14)8440，,kxktxt22222222则?=, 即, ? 410kt,，,6416(14)(1)16(41)0ktktkt,，,，,2,3R2t,2,4,R由?得, 此时A,B重合为B(x,y)点, 1112R,12,k,2,4R8kt,xx，,1222,2,，14k441616tR,2由,x, 中,所以, x,x21212244t,143，kR,xx,122,14，k,214,R422222Byx,1|5OBxy,，,(x,y)点在椭圆上,所以,所以, 111111211243RR4422222在直角三角形OA|55()ABOBOARR,，B中,因为11111122RR422，,R4当且仅当时取等号,所以,即 R,2(1,2)|541AB,211R当时|AB|取得最大值,最大值为1. R,2(1,2)11【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. - 14 -