2019版高考数学一轮总复习第十一章计数原理和概率题组训练84离散型随机变量及其分布列理201805.doc

题组训练84 离散型随机变量及其分布列1(2017·衡水中学调研)在区间(0，100)上任取一数x，则lgx>1的概率为()A0.1B0.5C0.8 D0.9答案D解析由lgx>1解得x>10.所以P0.9.2若在区间0，2中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于的概率是()A. B.C. D.答案C解析两个数都小于的概率为，所以两个数中较大的数大于的概率是1.3在长为6 m的木棒上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是()A. B.C. D.答案B解析将木棒三等分，当P位于中间一段时，到两端A，B的距离都大于2 m，P.4在区间0，上随机取一个数x，使cosx的值介于与之间的概率为()A. B.C. D.答案B解析cosx的值介于与之间的区间长度为.由几何概型概率计算公式，得P.故选B.5(2017·课标全国，理)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A. B.C. D.答案B解析由题意可知，圆中黑色部分面积与白色部分面积相等设正方形的边长为a，则S正方形a2，S圆()2a2，S黑a2.p，故选B.6(2018·天津五校联考)点P在边长为2的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为()A. B.C. D.答案B解析在正方形ABCD中，其中满足动点P到定点A的距离|PA|<1的平面区域如图中阴影所示，则正方形的面积S4，阴影部分的面积S阴影，故动点P到定点A的距离|PA|<1的概率P.7.如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得AOC和BOC都不小于15°的概率为()A. B.C. D.答案D解析依题意可知AOC15°，75°，BOC15°，75°，故OC活动区域为与OA，OB构成的角均为15°的扇形区域，可求得该扇形圆心角为(90°30°)60°.P(A).8已知菱形ABCD的边长为4，ABC150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率是()A. B1C. D1答案D解析P1.9(2018·安徽淮南一模)九章算术是我国古代数学名著，也是古代数学的代表作书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的“径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是()A. B.C. D.答案A解析依题意，直角三角形的斜边长为17.设内切圆半径为r，则由等面积法，可得×8×15×(81517)r，解得r3，向此三角形内投豆子，豆子落在其内切圆内的概率是P.10(2018·山西太原五中月考)在区间(0，1)上任取两个数，则两个数之和小于的概率是()A. B.C. D.答案C解析设这两个数是x，y，则试验所有的基本事件构成的区域即确定的平面区域，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1×()2，所以这两个数之和小于的概率是.11(2018·贵州贵阳大联考)如图，在半径为4的大圆中有三个小半圆O1，O2，O3，其半径分别为1，2，1，若在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A. B.C. D.答案D解析题图中大圆面积为S×4216，阴影部分的面积为S2×××12×(×42×22)7，所求概率为P.12(2018·云南师大附中月考)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中任取一点M，则满足AMB>90°的概率为()A. B.C. D.答案A解析以AB为直径作球，球在正方体内的区域体积为V××13，正方体的体积为8，所求概率P.13在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B1C. D1答案B解析正方体的体积为2×2×28，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为×r3××13，则点P到点O的距离小于或等于1的概率为，故点P到点O的距离大于1的概率为1.14在区间0，1上随机取两个数x，y，记P1为事件“xy”的概率，P2为事件“|xy|”的概率，P3为事件“xy”的概率，则()AP1<P2<P3 BP2<P3<P1CP3<P1<P2 DP3<P2<P1答案B解析因为x，y0，1对事件xy，如图(1)的阴影部分S1；对事件|xy|，如图(2)的阴影部分S2；对事件xy，如图(3)的阴影部分S3；由图知阴影部分的面积从小到大依次是S2<S3<S1，正方形的面积为1，根据几何概型公式可得P2<P3<P1.15公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站等待乘客，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为_答案解析公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，故所有基本事件对应的时间总长度L20分钟，某人8：15到达该站，记“他能等到公共汽车”为事件A，则LA5分钟，故P(A).16(2018·湖北鄂南一中模拟)在等腰直角三角形ABC中，C90°，在直角边BC上任取一点M，则CAM<30°的概率是_答案解析因为点M在直角边BC各位置上是等可能出现的，所以测度是长度设直角边长为a，则所求概率为.17某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：307：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_(用数字作答)答案解析用x轴表示小王到校时刻，用y轴表示小张到校时刻，建立如图直角坐标系设小王到校的时刻为x，小张到校的时刻为y，则xy5.由题意，知0x20，0y20，可得可行域如图所示，其中阴影部分表示小张比小王至少早5分钟到校由得A(20，15)易知B(20，20)，C(5，0)，D(20，0)由几何概型概率公式，得所求概率P.18(2017·安徽合肥一中模拟)已知关于x的一元二次方程x22axb20.(1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间0，3任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个数，求上述方程有实根的概率解析设事件A为“方程有实根”当a0，b0时，方程有实根的充要条件为ab.(1)由题意知本题是一个古典概型，所有的基本事件为(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共12个，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P.(2)由题意知本题是一个几何概型试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3，0b2，构成事件A的区域为(a，b)|0a3，0b2，ab，所求的概率是.1已知一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形的边上随机爬行，则其恰在到三个顶点的距离都大于1的地方的概率为()A. B.C. D.思路确定构成事件的区域根据几何概型的概率计算公式求解答案A解析由题意可知，三角形的三条边长的和为5121330，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3101124，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为.2(2018·四川成都一中段测)设曲线yx21及直线y2所围成的封闭图形为区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D内的概率为()A. B.C. D.答案C解析由解得x±1，区域D的面积为2×2(x21)dx，而不等式组所确定的区域为E，面积为2×24.又区域D在E内，所求概率为P.3(2018·湖北十校联考)已知x，y都是区间0，内任取的一个实数，则使得ysinx成立的概率是()A. B.C. D.答案A解析所求事件的度量为函数ysinx的图像在0，内与x轴围成的图形的面积，即S0sinxdxcosx01，则所求事件的概率为P，故选A.4.(2015·福建文)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)，且点C与点D在函数f(x)的图像上若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A. B.C. D.答案B解析依题意得，点C的坐标为(1，2)，所以点D的坐标为(2，2)，所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD3×26，阴影部分的面积S阴影×3×1，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P，故选B.5某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课，每节课的时间为40分钟第一节课上课的时间为7：508：30，课间休息10分钟某同学请假后返校，若他在8：509：30之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是()A. B.C. D.答案A解析由题意得第二节课上课的时间为8：409：20，该同学到达教室的时间总长度为40，其中在8：509：10进入教室时，听第二节课的时间不少于10分钟，其时间长度为20，故所求概率为，选A.6(2018·陕西西安八校联考)在平面区域(x，y)|0x2，0y4内随机投入一点，则点P的坐标(x，y)满足yx2的概率为()A. B.C. D.答案B解析不等式组表示的平面区域的面积为2×48，不等式组表示的平面区域的面积为x2dxx3|02，因此所求的概率为，选B.7(2015·重庆文改编)设p在0，5上随机地取值，求方程x2px0有实数根的概率为_答案解析方程有实数根p24()0p1或p2.又p0，5，方程x2px0有实数根的p的取值范围是2，5方程x2px0有实数根的概率为P.8(2018·甘肃省张掖市高三一诊)在区间0，上随机取一个数，则使sincos2成立的概率为_答案解析由sincos2，得sin()1，结合0，得0，使sincos2成立的概率为.9(2018·山东青岛一模)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是_答案解析由题意知小正方形的边长为1，故小正方形的面积为S1(1)242，大正方形的面积为S2×24，故飞镖落在小正方形内的概率P.10甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率答案(1)(2)解析(1)设甲、乙两船到达时间分别为x，y，则0x<24，0y<24且yx>4或yx<4.作出区域设“两船无需等待码头空出”为事件A，则P(A).(2)当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足xy>2或yx>4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域P(B).11(2018·江西红色七校联考)已知直线l：xy60与抛物线yx2(x0)及x轴正半轴围成的图形为，点A，B分别是l与x轴、y轴的交点，若从RtAOB区域内任取一点M(x，y)，则点M取自图形的概率为_答案解析如图，由定积分可知阴影部分的面积为Sx2dx(6x)dxx3|02(6xx2)|26.又RtAOB的面积为×6×618，P÷18.11