2019版高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明题组训练45直接证明与间接证明理20180515.doc

题组训练45 直接证明与间接证明1如图是2018年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一呈现出来的图形是()答案A解析该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.2如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，则第2 016个图形用的火柴根数为()A2 014×2 017B2 015×2 016C2 015×2 017 D3 024×2 017答案D解析由题意，第1个图形需要火柴的根数为3×1；第2个图形需要火柴的根数为3×(12)；第3个图形需要火柴的根数为3×(123)；由此，可以推出，第n个图形需要火柴的根数为3×(123n)所以第2 016个图形所需火柴的根数为3×(1232 016)3×3 024×2 017，故选D.3(2018·深圳一摸)已知a13，a26，且an2an1an，则a2 019()A3 B3C6 D6答案A解析a13，a26，a33，a43，a56，a63，a73，an是以6为周期的周期数列又2 0196×3363，a2 019a33.选A.4定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：1*11，(n1)*1n*11，则n*1等于()An Bn1Cn1 Dn2答案A解析由(n1)*1n*11，得n*1(n1)*11(n2)*121*1(n1)又1*11，n*1n.5(2017·邯郸一中月考)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()窗口12过道345窗口6789101112131415A.48，49 B62，63C75，76 D84，85答案D解析由已知图中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D项符合条件6(2017·珠海二模)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)答案D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(x)g(x)7已知 2， 3， 4， 6(a，b均为实数)，则可推测a，b的值分别为()A6，35 B6，17C5，24 D5，35答案A解析观察发现规律即可得出a6，b35，故选A.8(2018·安徽合肥二模)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是()A甲 B乙C丙 D丁答案D解析根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：1号2号3号4号5号6号甲不可能不可能不可能可能可能不可能乙可能可能不可能可能可能可能丙可能可能不可能不可能不可能可能丁可能可能可能不可能不可能不可能由表知，若甲猜对，则4号或5号选手得第一名，那么乙也猜对了，不符合题意，所以甲没有猜对，得第一名的是1，2，3或6号若乙猜对，则1，2或6号得第一名，那么丙也猜对了，所以乙没有猜对，所以得第一名的是3号，所以丙也没有猜对，只有丁猜对了比赛结果，故选D.9(2018·广东江门月考)已知an2n1(nN*)，把数列an的各项排成如图所示的三角形数阵，记S(m，n)表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数，则S(8，6)()135791113151719A67 B69C73 D75答案A解析由数阵可知，S(8，6)是数阵中第1237634个数，也是数列an中的第34项，而a342×34167，所以S(8，6)67.故选A.10已知a，b，c是ABC的内角A，B，C对应的三边，若满足a2b2c2，即()2()21，则ABC为直角三角形，类比此结论可知，若满足anbncn(nN，n3)，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D以上都有可能答案A解析由题意知角C最大，anbncn(nN，n3)即()n()n1(nN，n3)，又c>a，c>b，所以()2()2>()n()n1，即a2b2>c2，所以cosC>0，所以0<C<，故ABC为锐角三角形11学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子甲：由“若三角形周长为l，面积为S，则其内切圆半径r”，类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a，b，则其外接圆半径r”，类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，则其外接球半径r”这两位同学类比得出的结论是()A两人都对 B甲错、乙对C甲对、乙错 D两人都错答案C解析利用等面积与等体积法可推得甲同学类比推理的结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径r，因此乙同学类比推理的结论是错误的，故选C.12(2017·西安八校联考)观察一列算式：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，则式子35是第()A22项 B23项C24项 D25项答案C解析两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，35是和为8的第3项，所以是第24项故选C.13观察下列事实：|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为()A76 B80C86 D92答案B解析由|x|y|1的不同整数解的个数为4，|x|y|2的不同整数解的个数为8，|x|y|3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|y|n的不同整数解的个数为4n，故|x|y|20的不同整数解的个数为80.故选B.14(2017·青岛一质检)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6 613用算筹表示就是，则8 335用算筹可表示为()答案B解析由题意得千位和十位用横式表示，百位和个数用纵式表示，所以千位的8表示为，百位的3表示为，十位的3表示为，个位的5表示为，故选B.15为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设确定原信息为a0a1a2，ai0，1(i0，1，2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0a0a1，h1h0a2，运算规则为：000，011，101，110，例如原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()A11010 B01100C10111 D00011答案C解析对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0011，而h1h0a2110，故传输信息应是10110.16(2018·河北冀州中学期末)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列an(nN*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2 017()A502 B503C504 D505答案D解析由a1，a3，a5，a7，组成的数列恰好对应数列xn，即xna2n1，当n为奇数时，xn.所以a2 017x1 009505.17(2018·太原模拟)有一个游戏：将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为_答案4、2、1、3解析由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4、2、1、3.18顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品工艺师带一位徒弟完成这项任务每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交给顾客两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下： 工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为_个工作日答案42解析最短交货期为先由徒弟完成原料B的粗加工，共需6天，然后工艺师加工该件工艺品，需21天；徒弟可在这几天中完成原料A的粗加工；最后由工艺师完成原料A的精加工，需15个工作日故交货期为6211542个工作日19(名师原创)将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解当p×q(pq且p，qN*)是正整数n的最佳分解时，我们规定函数f(n)，例如：f(12).关于函数f(n)有下列叙述：f(7)；f(24)；f(28)；f(144)，其中所有正确的序号为_答案解析利用题干中提供的新定义信息可得，对于：71×7，f(7)，正确；对于，241×242×123×84×6，f(24)，不正确；对于，281×282×144×7，f(28)，正确；对于，1441×1442×723×484×366×248×189×1612×12，f(144)1，不正确1观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28 B76C123 D199答案C解析记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.2观察图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个圆点，第n个图案中圆点的个数是an，按此规律推断出所有圆点总和Sn与n的关系式为()ASn2n22n BSn2n2CSn4n23n DSn2n22n答案A解析事实上由合情推理的本质：由特殊到一般，当n2时，有S24，分别代入即可排除B、C、D三项，从而选A.也可以观察各个正方形图案可知圆点个数可视为首项为4，公差为4的等差数列，因此所有圆点总和即为等差数列前(n1)项和，即Sn(n1)×4×42n22n.3观察下列各式：553 125，5615 625，5778 125，则52 011的末四位数字为()A3 125 B5 625C0 625 D8 125答案D解析553 125，5615 625，5778 125，58390 625，591 953 125，5109 765 625，5n(nZ，且n5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(nZ，且n5)的末四位数字为f(n)，则f(2 011)f(501×47)f(7)，52 011与57的末四位数字相同，均为8 125.故选D.4(2018·辽宁丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，则第70个“整数对”为()A(3，9) B(4，8)C(3，10) D(4，9)答案D解析因为121166，所以第67个“整数对”是(1，12)，第68个“整数对”是(2，11)，第69个“整数对”是(3，10)，第70个“整数对”是(4，9)故选D.5观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()答案A解析表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形6(2015·山东)观察下列各式：C1040；C30C3141；C50C51C5242；C70C71C72C7343；照此规律，当nN*时，C2n10C2n11C2n12C2n1n1_答案4n1解析由题知C2n10C2n11C2n12C2n1n14n1.7已知数列an为等差数列，则有等式a12a2a30，a13a23a3a40，a14a26a34a4a50.(1)若数列an为等比数列，通过类比，则有等式_；(2)通过归纳，试写出等差数列an的前n1项a1，a2，an，an1之间的关系为_答案(1)a1a22a31，a1a23a33a411，a1a24a36a44a51(2)Cn0a1Cn1a2Cn2a3(1)nCnnan10解析因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是由低一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问8对a，bR，定义运算：abab则下列判断正确的是_2 015(2 0142 015)2 014；(aa)a0；(ab)aa(ba)答案解析对于，由定义的运算可知，2 0142 0152 0152 0141，故2 015(2 0142 015)2 01512 015，故错误对于，因为aaa，故(aa)aaaaa0，故正确由于，当ab时，aba，故(ab)aaa0，而baab，故a(ba)a(ab)显然，若b0，则aab，所以a(ab)a，若b<0，则a<ab，所以a(ab)ab.故(ab)aa(ba)故错误9(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nN*)，其中xk(k1，2，n)称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为：000，011，101，110.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于_答案5解析由题意得相同的数字运算后结果为0，不同的数字运算后结果为1.若后四位码元为1101，根据定义的运算，则有x4x5110，x4x5x6000，x4x5x6x7011，显然不符合方程x4x5x6x70，所以后四位码元出错同理，第2，3，6，7位码元依次为1001.假设这四位都正确，则x2x3101，所以x2x3x6101，所以x2x3x6x7110，显然满足校验方程组，所以这四位码元正确故最后两位码元正确，出错的码元只能是第四位或第五位同理，第1，3，5，7位的码元依次为1011，所以x1x3101，x1x3x5110，x1x3x5x7011，显然不满足校验方程组所以出错的码元是第5位，即k5.10(2014·陕西理)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_答案FVE2解析三棱柱中5692；五棱锥中66102；立方体中68122，由此归纳可得FVE2.11分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图易知第三行有白圈5个，黑圈4个，我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数比如第一行记为(1，0)，第二行记为(2，1)，第三行记为(5，4)(1)第四行的白圈与黑圈的“坐标”为_；(2)照此规律，第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为_答案(1)(14，13)(2)(，)(nN*)解析(1)从题中的条件易知白圈、黑圈的变化规律：一个白圈的下一行对应两个白圈和一个黑圈，一个黑圈的下一行对应一个白圈和两个黑圈，因此第4行的白圈个数为5×24×114，黑圈个数为5×14×213，所以第四行的白圈与黑圈的“坐标”为(14，13)(2)第n行中的白圈和黑圈总数为3n1个，设“坐标”为(an，3n1an)，则第n1行中的白圈和黑圈总数为3n个，设“坐标”为(an1，3nan1)(an3n1，2×3n1an)，即a11，an1an3n1an，从而得到第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为(，)(nN*)12(2017·北京，文)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_该小组人数的最小值为_答案612解析令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且x>y>z，若教师人数为4，则4<y<x<8，当x7时，y取得最大值6.当z1时，1z<y<x<2，不满足条件；当z2时，2z<y<x<4，不满足条件；当z3时，3z<y<x<6，y4，x5，满足条件所以该小组人数的最小值为34512.13某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213°cos217°sin13°cos17°；sin215°cos215°sin15°cos15°；sin218°cos212°sin18°cos12°；sin2(18°)cos248°sin(18°)cos48°；sin2(25°)cos255°sin(25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论答案(1)(2)sin2cos2(30°)sincos(30°)解析方法一：(1)选择式，计算如下：sin215°cos215°sin15°cos15°1sin30°1.(2)三角恒等式为sin2cos2(30°)sincos(30°).证明如下：sin2cos2(30°)sincos(30°)sin2(cos30°cossin30°sin)2sin(cos30°cossin30°sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.方法二：(1)同解法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30°)sincos(30°).证明如下：sin2cos2(30°)sincos(30°)sin·(cos30°cossin30°sin)cos2(cos60°cos2sin60°sin2)sincossin2cos2cos2·sin2sin2(1cos2)1cos2cos2.12