2019版高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练70专题研究1曲线与方程理20180515471.doc

题组训练70 专题研究1 曲线与方程1已知点A(1，0)，B(2，4)，ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A4x3y160或4x3y160B4x3y160或4x3y240C4x3y160或4x3y240D4x3y160或4x3y240答案B解析可知AB的方程为4x3y40，又|AB|5，设动点C(x，y)由题意可知×5×10，所以4x3y160或4x3y240.故选B.2方程lg(x2y21)0所表示的曲线图形是()答案D3动圆M经过双曲线x21的左焦点且与直线x2相切，则圆心M的轨迹方程是()Ay28xBy28xCy24x Dy24x答案B解析双曲线x21的左焦点F(2，0)，动圆M经过F且与直线x2相切，则圆心M经过F且与直线x2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y28x.4(2017·皖南八校联考)设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为()Ay22x B(x1)2y24Cy22x D(x1)2y22答案D解析(直译法)如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)连接MA，PM.则MAPA，且|MA|1，又因为|PA|1，所以|PM|，即|PM|22，所以(x1)2y22.5(2017·吉林市毕业检测)设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都外切，则圆P的圆心轨迹可能是()A BC D答案A解析当两定圆相离时，圆P的圆心轨迹为；当两定圆外切时，圆P的圆心轨迹为；当两定圆相交时，圆P的圆心轨迹为；当两定圆内切时，圆P的圆心轨迹为.6已知A(0，7)，B(0，7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()Ay21(y1) By21Cy21 Dx21答案A解析由题意，得|AC|13，|BC|15，|AB|14，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2.故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线下支双曲线中c7，a1，b248，轨迹方程为y21(y1)7ABC的顶点为A(5，0)、B(5，0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是()A.1 B.1C.1(x>3) D.1(x>4)答案C解析设ABC的内切圆与x轴相切于D点，则D(3，0)由于AC、BC都为圆的切线故有|CA|CB|AD|BD|826.由双曲线定义知所求轨迹方程为1(x>3)故选C.8(2017·宁波十校联考)在直角坐标平面中，ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A(1，0)，B(1，0)，平面内两点G，M同时满足下列条件：0，|，.则ABC的顶点C的轨迹方程为()A.y21(y0) B.y21(y0)Cx21(y0) Dx21(y0)答案C解析根据题意，G为ABC的重心，设C(x，y)，则G(，)，而M为ABC的外心，M在AB的中垂线上，即y轴上，由，得M(0，)，根据|，得1()2x2(y)2，即x21，又C点不在x轴上，y0，故选C.9.如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x2y2r2(r>0)内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若ab(a，bR)，若M(a，b)，则动点M所形成的轨迹曲线的长度为()A B.C. D2答案B解析设P(x，y)，则x2y2r2，A(r，r)，B(r，r)由ab，得代入x2y2r2，得(ab)2(ab)21，即a2b2，故动点M所形成的轨迹曲线的长度为.10已知抛物线y2nx(n<0)与双曲线1有一个相同的焦点，则动点(m，n)的轨迹方程是_答案n216(m8)(n<0)解析抛物线的焦点为(，0)，在双曲线中，8mc2()2，n<0，即n216(m8)(n<0)11长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足：2，则动点C的轨迹方程为_答案x2y21解析设A(a，0)，B(0，b)，则a2b29.又C(x，y)，则由2，得(xa，y)2(x，by)即即代入a2b29，并整理，得x2y21.12若过抛物线y24x的焦点作直线与其交于M，N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为_答案y24(x2)解析设直线方程为yk(x1)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由，得(x1，y1)(xx2，yy2)得x1x2x，y1y2y.由联立得xx1x2.yy1y2，消去参数k，得y24(x2)13.如图所示，直角三角形ABC的顶点坐标A(2，0)，直角顶点B(0，2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点(1)求BC边所在直线方程；(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程答案(1)yx2(2)(x1)2y29 (3)x2y21解析(1)kAB，ABBC，kCB.BC：yx2.(2)在上式中，令y0，得C(4，0)圆心M(1，0)又|AM|3，外接圆的方程为(x1)2y29.(3)P(1，0)，M(1，0)，圆N过点P(1，0)，PN是该圆的半径又动圆N与圆M内切，|MN|3|PN|，即|MN|PN|3.点N的轨迹是以M，P为焦点，长轴长为3的椭圆a，c1，b.轨迹方程为x2y21.14已知动点P(x，y)与两定点M(1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数(0)(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)讨论轨迹C的形状答案(1)x21(0，x±1)(2)略解析(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN·.整理，得x21(0，x±1)(2)当>0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；当1<<0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点)；当1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(1，0)，(1，0)；当<1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)15已知点A(4，4)，B(4，4)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为2，点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的轨迹方程；(2)Q为直线y1上的动点，过Q作曲线C的切线，切点分别为D，E，求QDE的面积S的最小值答案(1)x24y(x±4)(2)4解析(1)设M(x，y)，则kAM，kBM.直线AM的斜率与直线BM的斜率的差为2，2，x24y(x±4)(2)设Q(m，1)切线斜率存在且不为0，故可设一条切线的斜率为k，则切线方程为y1k(xm)联立得方程组得x24kx4(km1)0.由相切得0，将k2km10代入，得x24kx4k20，即x2k，从而得到切点的坐标为(2k，k2)在关于k的方程k2km10中，>0，方程k2km10有两个不相等的实数根，分别为k1，k2，则故QDQE，S|QD|QE|.记切点(2k，k2)到Q(m，1)的距离为d，则d2(2km)2(k21)24(k2km)m2k2m24km4，故|QD|，|QE|，S(4m2)(4m2)4，即当m0，也就是Q(0，1)时面积的最小值为4.16已知椭圆E：1(a>b>0)的离心率为，过左焦点倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为.(1)求椭圆E的方程；(2)若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M(1，0)作l的垂线，垂足为Q，求点Q的轨迹方程答案(1)y21(2)x2y22解析(1)因为椭圆E的离心率为，所以.解得a22b2，故椭圆E的方程可设为1，则椭圆E的左焦点坐标为(b，0)，过左焦点倾斜角为45°的直线方程为l：yxb.设直线l与椭圆E的交点为A，B，由消去y，得3x24bx0，解得x10，x2.因为|AB|x1x2|，解得b1.a22，椭圆E的方程为y21.(2)当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为ykxm，联立直线l和椭圆E的方程，得消去y并整理，得(2k21)x24kmx2m220.因为直线l和椭圆E有且仅有一个交点，所以16k2m24(2k21)(2m22)0.化简并整理，得m22k21.因为直线MQ与l垂直，所以直线MQ的方程为y(x1)联立得方程组解得x2y2，把m22k21代入上式得x2y22.(*)当切线l的斜率为0时，此时Q(1，1)或(1，1)，符合(*)式当切线l的斜率不存在时，此时Q(，0)或(，0)，符合(*)式综上所述，点Q的轨迹方程为x2y22.1(2018·河南洛阳二模)已知动圆M过定点E(2，0)，且在y轴上截得的弦PQ的长为4.则动圆圆心M的轨迹C的方程是_答案y24x解析设M(x，y)，PQ的中点为N，连MN，则|PN|2，MNPQ，|MN|2|PN|2|PM|2.又|PM|EM|，|MN|2|PN|2|EM|2，x24(x2)2y2，整理得y24x.动圆圆心M的轨迹C的方程为y24x.2已知直线l与平面平行，P是直线l上一定点，平面内的动点B满足PB与直线l成30°角，那么B点轨迹是()A两条直线 B椭圆C双曲线 D抛物线答案C解析P是直线l上的定点，平面与直线l平行，平面内的动点B满足PB与直线l成30°角，因为空间中过P与l成30°角的直线构成两个相对顶点的圆锥，即为平行于圆锥轴的平面，点B的轨迹可理解为与圆锥侧面的交线，所以点B的轨迹为双曲线，故选C.3(2018·安徽安庆二模)已知抛物线x22py(p>0)，F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示求点C的轨迹M的方程答案y解析依题意可得，直线l的斜率存在，故设其方程为ykx，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)，由x22pkxp20x1·x2p2.易知直线OA：yxx，直线BC：xx2，由得y，即点C的轨迹M的方程为y.4(2014·课标全国，文)已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积答案(1)(x1)2(y3)22(2)x3y80，SPOM解析(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y)由题设知·0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为.故l的方程为yx，即x3y80.又|OM|OP|2，O到l的距离为，|PM|，所以POM的面积为.8