2019届高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布第3讲几何概型练习理北师大版20180511.wps

第 3 3 讲 几何概型 一、选择题 1.在区间2，3上随机选取一个数 x，即 x1，故所求的概率为( ) 4 3 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 解析 在区间2，3上随机选取一个数 x，且 x1，即2x1，故所求的概率为 P 3 . 5 答案 B 2.如图所示，半径为 3 的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一 1 粒豆子，它落在阴影区域内的 概率是 ，则阴影部分的面积是( ) 3 A. B. C.2 D.3 3 S 解析 设阴影部分的面积为 S，且圆的面积 S·329.由几何概型的概率，得 S 1 ，则 S3. 3 答案 D 1 3.(2015·山东卷)在区间0，2上随机地取一个数 x，则事件“1log1 2 )1”发生 2(x 的概率为( ) 3 2 1 1 A. B. C. D. 4 3 3 4 1 1 1 解析 由1log2 1( 2 )1，得 x 2， x 2 2 3 1 解得 0x “，所以事件 1log1 1”发生的 x2 ) 2 3 2 3 概率为 ，故选 A. 2 4 答案 A 4.(2017·陕西师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB 2，BC1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( ) 1 A. B. C. D. 2 4 6 8 1 × 12 阴影面积 2 解析 设质点落在以 AB为直径的半圆内为事件 A，则 P(A) . 长方形面积 1 × 2 4 答案 B 5.在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O为底面 ABCD的中心，在正方体 ABCDA1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P到点 O的距离大于 1 的概率为( ) A. B.1 C. D.1 12 12 6 6 “解析 设 点 P到点 O的距离大于 1”为事件 A. 则事件 A发生时，点 P位于以点 O为球心，以 1 为半径的半球的外部. 4 1 2 V正方体238，V半球 ·13× . 3 2 3 2 23 3 P(A) 1 . 23 12 答案 B 6.已知ABC中，ABC60°，AB2，BC6，在 BC上任取一点 D，则使ABD为钝角三角 形的概率为( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3 解析 如图，当 BE1 时，AEB为直角，则点 D在线段 BE(不包含 EB， 点)上时，ABD为钝角 三角 形； 当 BF4 时，BAF为直角，则点 D在线 段 CF(不包含 FC，点)上时，ABD为钝角三角形.所以ABD为钝角三角形 12 1 的概率为 . 6 2 答案 C 0 x 2， 7.设不等式组0 y 2 )表示的平面区域为 D，在区域 D内随机取一个点，则此点到坐 标原点的距离大于 2 的概率是( ) 2 4 A. B. C. D. 4 2 6 4 解析 如图所示，正方形 OABC及其内部为不等式组表示的区域 D，且区 域 D的面积为 4，而阴影部分表示的是区域 D内到原点距离大于 2 的区 2 4 域，易 知该阴影部分的面积为 4，因此满足条件的概率是 .故选 D. 4 答案 D 8.(2017·华师附中联考)在区间0，4上随机取两个实数 x，y，使得 x2y8 的概率为( ) 1 3 9 3 A. B. C. D. 4 16 16 4 解析 由 x，y0，4知(x，y)构成的区域是边长为 4 的正方形及 其内部，其中满足 x2y8 的区域为如图所示的阴影部分. 易知 A(4，2)，S正方形16， （24） × 4 S 阴影 S阴影 12.故“使得x2y8”的概率P 2 S 正方形 3 . 4 答案 D 1 9.已知正三棱锥 SABC的底面边长为 4，高为 3，在正三棱锥内任取一点 P，使得 VPABC 2 VSABC的概率是( ) 7 3 1 1 A. B. C. D. 8 4 2 4 3 解 析 当点 P到底面 ABC的距离小于 时， 2 1 VPABC VSABC. 2 1 3 7 由几何概型知，所求概率为 P1(2 ) . 8 答案 A 10.设复数 z(x1)yi(x，yR R)，若|z|1，则 yx的概率为( ) 3 1 1 1 1 1 1 1 A. B. C. D. 4 2 2 2 4 2 解 析 因 为 复 数 z (x 1) yi(x，y R R)且 |z|1，所 以 |z| （x1）2y21，即(x1)2y21， 即点(x，y)在以(1，0)为圆心、1 为半径的圆及其内部，而 yx表示直 线 yx左上方的部分(图中阴影弓形)，所以所求概率为弓形的面积与圆 1 1 ··12 × 1 × 1 4 2 1 1 的面积之比，即 P . ·12 4 2 答案 D 二、填空题 3 5 11.在区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为 ，则 m_. 6 解析 由|x|m，得mxm. 2m 5 当 m2 时，由题意得 ，解得 m2.5，矛盾，舍去. 6 6 m（2） 5 当 2m4 时，由题意得 ，解得 m3. 6 6 答案 3 12.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，有一动点在此长方体 内随机运动，则此动点在三棱锥 AA1BD 内的概率为 _. 1 1 解析 因为 VAA1BDVA1ABD AA1×SABD ×AA1×S 矩形 3 6 1 VAA1BD 1 ABCD V 长方体，故所求概率为 . 6 V 长方体 6 1 答案 6 13.(2016·山东卷)在1，1上随机地取一个数 k，则事件“直线 ykx 与圆(x5)2y29 ”相交 发生的概率为_. 解析 直线 ykx 与圆(x5)2y29 相交的充要条件是圆心(5，0)到直线 ykx 的距离小 于 3. 3 3 ( 4 ) |5k0| 3 3 4 3 则 3，解之得 k ，故所求事件的概率 P . k21 4 4 1（1） 4 3 答案 4 14.(2017·唐山模拟)如图，将半径为1 的圆分成相等的四段弧，再将四 段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一点，此点落在星 形区域内的概率为_. 解析 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于( 2)24 1 4 ( 1 2 × × 12 × 12)4，又因为圆的面积等于×12， 4 4 因此所求的概率等于 1. 4 答案 1 1 15.在区间1，4内取一个数 x，则 2xx2 的概率是( ) 4 4 1 1 2 3 A. B. C. D. 2 3 5 5 1 解析 由 2xx2 ，得1x2.又1x4. 4 2（1） 3 所求事件的概率 P . 4（1） 5 答案 D 16.“如图， 天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为 2 km，大圆的半径为 4 km，卫星 P在圆环内无规则地自由运动，运行过程 中，则点 P与点 O的距离小于 3 km的概率为( ) 1 5 1 1 A. B. C. D. 12 12 3 5 解析 根据几何概型公式，小于3 km的圆环面积为(3222)5；圆环总面积为(4222) 5 5 12，所以点 P与点 O的距离小于 3 km 的概率为 P(A) . 12 12 答案 B 17.已知平面区域 D(x，y)|1x1，1y1，在区域 D内任取一点，则取到的点 位于直线 ykx(kR R)下方的概率为( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 2 3 3 4 解析 由题设知，区域 D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线 ykx将其 1 面积平分，如图，故所求概率为 . 2 答案 A 1 18.(2017·合肥质检)在区间0，上随机取一个实数 x，使 得 sin x 2 的概率为( ) 0， 1 2 1 2 A. B. C. D. 3 3 1 解析 由 0sin x ，且 x0， 2 5 解之得 x0， 6 ，. 6 5 5 ( ( 0) ) 6 6 1 故所求事件的概率 P . 0 3 答案 C 19.(2017·成都诊断)如图，大正方形的面积是 34，四个全等直角三角形 围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为 3，向大正方形内抛撒一枚 幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( ) 1 2 3 4 A. B. C. D. 17 17 17 17 解析 大正方形的面积是 34，大正方形的边长是 34，由直角三角形的较短边长为 3， 得四个全等直角三角形的直角边分别是 5 和 3，则小正方形边长为 2，面积为 4，小花朵 4 2 落在小正方形内的概率为 P . 34 17 答案 B 20.有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内 随机取一点 P，则点 P到点 O的距离大于 1 的概率为( ) 2 1 8 A. B. C. D. 3 3 9 4 1 4 2 V 半球 1 解析 V圆柱2，V半球 × ×13 ， ，故点 P到 O的距离大于 1 的概率为 2 3 3 V 圆柱 3 2 . 3 答案 A 1 21.(2015·湖北卷)在区间0，1上随机取两个数 x，y，记 p1为事件“xy ”的概率，p2 2 1 “为事件xy ”的概率，则( ) 2 1 1 A.p1p2 B.p2 p1 2 2 1 1 C. p2p1 D.p1 p2 2 2 1 解析 (x，y)构成的区域是边长为 1 的正方形及其内部，其中满足 xy 的区域如图 1 中 2 1 1 1 × × 2 2 2 1 1 阴影部分所示，所以 p1 ，满足 xy 的区域如图 2 中阴影部分所示，所以 1 × 1 8 2 1 S2 S1S2 2 1 p2 ， 1 × 1 1 2 6 1 所以 p1 p2，故选 D. 2 答案 D 22.在区间，内随机取出两个数分别记为 a，b，则函数 f(x)x22axb22有 零点的概率为( ) A.1 B.1 8 4 3 C.1 D.1 2 4 解析 由函数 f(x)x22axb22有零 点可，得 (2a2)4(b2 2)0 整，理得 a2b22，如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试 验的全部结果构成的区域为 (a，b)|a，b，其面积 S(2)242. 事件 A 表示函数 f(x)有零点， 所构成的区域为 M(a，b)|a2b22，即图中阴影部分，其面积为 SM423，故 SM 423 P(A) 1 . S 42 4 答案 B 23.(2017·安徽江南名校联考)AB 是半径为 1 的圆的直径，M 为直径 AB 上任意一点，过点 M 作垂直于直径 AB 的弦，则弦长大于 3 的概率是_. 3 2 1 解析 依题 意知，当相应的弦长大于 3时，圆心到弦的距离小于 1 2(2 ) ，因此相应 2 1 1 的点 M 应位于线段 AB 上与圆心的距离小于 的地方，所求的概率等于 . 2 2 1 答案 2 24.一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1“，称其为 安全飞行”“”，则蜜蜂 安全飞行 的概率为_. 解析 由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为 1 的小正方体内飞行，结合几何概型，可得 13 1 “”蜜蜂 安全飞行 的概率为 P . 33 27 1 答案 27 7 25.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心 1 的距离大 于 ，则周末去 2 1 看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书 4 的概率为_. 1 × 12 × （ ）2 2 3 解析 去看电影的概率 P1 ， × 12 4 1 × （ ）2 4 1 去打篮球的概率 P2 ， × 12 16 3 1 13 不在家看书的概率为 P . 4 16 16 13 答案 16 26.随机地向半圆 0y 2axx2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域 的面积成正比，则 原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于 的概率为_. 4 解析 由 0y 2axx2(a0). 得(xa)2y2a2. 因此半圆域如图所示. 设 A 表示事“件原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于 ”由，几何概型的概 4 1 1 a2 a2 A的面积 4 2 1 1 率计算公式得 P(A) . 半圆的面积 1 2 a2 2 1 1 答案 2 8