2019版高考数学一轮总复习第六章数列题组训练37专题研究1递推数列的通项的求法理201805154.wps

题组训练 3737 专题研究 1 1 递推数列的通项的求法 1(2018·海南三亚一模)在数列1，2，7，10，13，中，2 19是这个数列的第( )项( ) A16 B24 C26 D28 答案 C 解析 设题中数列an，则 a11 1，a22 4，a3 7，a4 10，a5 13，所以 an 3n2.令 3n22 19 76，解得 n26.故选 C. 2设数列an的前 n 项和 Snn2，则 a8的值为( ) A15 B16 C49 D64 答案 A 解析 a1S11，anSnSn1n2(n1)22n1(n2)a82×8115.故选 A. 3已知数列an满足 a10，an1an2n，则 a2 017等于( ) A2 017×2 018 B2 016×2 017 C2 015×2 016 D2 017×2 017 答案 B 解析 累加法易知选 B. 2 1 1 2 4已知数列xn满足 x11，x2 ，且 (n2)，则 xn等于( ) 3 xn1 xn1 xn 2 2 A( )n1 B( )n 3 3 n1 2 C. D. 2 n1 答案 D 1 1 1 1 n1 2 解析 由关系式易知xn 为首项为 1，d 的等差数列， ，所以 xn . x1 2 xn 2 n1 1 5已知数列an中 a11，an an11(n2)，则 an( ) 2 1 1 A2( )n1 B( )n12 2 2 C22n1 D2n1 答案 A 1 1 1 解析 设 anc (an1c)，易得 c2，所以 an2(a12)( )n1( )n1，所以选 2 2 2 A. 1 3 6若数列an的前 n 项和为 Sn an3，则这个数列的通项公式 an( ) 2 A2(n2n1) B2·3n C3·2n D3n1 答案 B 解析 anSnSn1，可知选 B. 7(2018·云南玉溪一中月考)已知正项数列an中，a11，a22，2an2an12an12(n2)， 则 a6的值为( ) A2 2 B4 C8 D16 答案 B 解析 因为正项数列an中，a11，a22，2an2an12an12(n2)，所以 an2an12an12 an2(n2)，所以数列an2是以 1 为首项，a22a123 为公差的等差数列，所以 an213(n 1)3n2，所以 a6216.又因为 an0，所以 a64，故选 B. 1 7 8(2018·华东师大等四校联考)已知数列an满 足：a1 ，对于任意的 nN N*，an1 an(1 7 2 an)，则 a1 413a1 314( ) 2 2 A B. 7 7 3 3 C D. 7 7 答案 D 1 7 1 6 3 7 3 4 6 7 6 1 3 解析 根据递推公式计算得 a1 ，a2 × × ，a3 × × ，a4 × × ， 7 2 7 7 7 2 7 7 7 2 7 7 7 6 3 可以归纳通 项公式为：当 n 为大于 1 的奇数时，an ；当 n 为正偶数时，an .故 a1 413a1 7 7 3 314 .故选 D. 7 9(2018·湖南衡南一中段考)已知数列an，若 a12，an1an2n1，则 a2 016( ) A2 011 B2 012 C2 013 D2 014 答案 C 解析 因为 a12，故 a2a11，即 a21.又因为 an1an2n1，anan12n3，故 an1an12，所以 a4a22，a6a42，a8a62，a2 016a2 0142，将以上 1 007 个等式两边相加可得 a2 016a22×1 0072 014，所以 a2 0062 01412 013，故选 C. 1 10在数列an中，a13，an1an ，则通项公式 an_ n（n1） 2 1 答案 4 n 1 1 解析 原递推式可化为 an1an ， n n1 1 1 1 1 则 a2a1 ，a3a2 ， 1 2 2 3 1 1 1 1 a4a3 ，anan1 . 3 4 n1 n 1 1 逐项相加，得 ana11 .又 a13，故 an4 . n n an 11已知数列an满足 a11，且 an1 (nN N*)，则数列an的通项公式为_ 3an1 1 答案 an 3n2 an 解析 由已知，可得当 n1 时，an1 . 3an1 1 3an1 1 两边取倒数，得 3. an1 an an 1 1 1 1 即 3，所以 是一个首项为 1，公差为 3 的等差数列 an1 an an a1 1 1 则其通项公式为 (n1)×d1(n1)×33n2. an a1 1 所以数列an的通项公式为 an . 3n2 12在数列an中，a11，当 n2 时，有 an3an12，则 an_ 答案 2·3n11 解析 设 ant3(an1t)，则 an3an12t. t1，于是 an13(an11)an1是以 a112 为首项，以 3 为公比的等比数列 an2·3n11. 13在数列an中，a12，an2an12n1(n2)，则 an_ 答案 (2n1)·2n 解析 a12，an2an12n1(n2)， an an1 an 2.令 bn ，则 bnbn12(n2)，b11. 2n 2n1 2n bn1(n1)·22n1，则 an(2n1)·2n. 1 14已知数列an的首项 a1 ，其前 n 项和 Snn2an(n1)，则数列an的通项公式为_ 2 1 答案 an n（n1） 3 1 解析 由 a1 ，Snn2an， 2 Sn1(n1)2an1. ，得 anSnSn1n2an(n1)2an1， an n1 即 ann2an(n1)2an1，亦即 (n2) an1 n1 an an an1 a3 a2 n1 n2 n3 2 1 2 · ·· · · · ·· · . a1 an1 an2 a2 a1 n1 n n1 4 3 n（n1） 1 an . n（n1） 2anan1 15(2017·太原二模)已知数列an满足 a11，anan1 (nN N*)，则 an_ n（n1） n 答案 3n2 2anan1 1 1 2 1 1 1 1 解析 由 anan1 得 2×( )，则由累加法得 n（n1） an1 an n（n1） n n1 an a1 1 1 1 3n2 n 2(1 )，又因为 a11，所以 2(1 )1 ，所以 an . n an n n 3n2 n ai 16(2018·河北唐山一中模拟)已知首项为 7 的数列an满足 3n1(nN N*)，则数列 i2 2i1 an的通项公式为_ 7（n1）， 答案 an6n（n 2），) n1 n ai ai an 解析 当 n2 时， 3n，又 3n1，两式相减，得 2×3n，所以 an6n. 2i1 2i1 2n1 i2 i2 7（n1）， 由于 a17 不符合 an6n，所以数列an的通项公式为 an6n（n 2）.) 17数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snn(n1)(nN N*) (1)求数列an的通项公式； b1 b2 b3 bn (2)若数列bn满足：an ，求数列bn的通项公式 31 321 331 3n1 答案 (1)an2n (2)bn2(3n1) 解析 (1)当 n1 时，a1S12，当 n2 时，anSnSn1n(n1)(n1)n2n，知 a1 2 满足该式， 数列an的通项公式为 an2n. b1 b2 b3 bn (2)an (n1)， 31 321 331 3n1 b1 b2 b3 bn bn1 an1 . 31 321 331 3n1 3n11 4 bn1 ，得 an1an2，bn12(3n11) 3n11 故 bn2(3n1)(nN N*) 1(2017·衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是( ) A2 016 B2 015 1 1 C. D. 2 016 2 015 答案 D a1 a2 解析 如果把第n 个 a 值记作an，第1 次运行后得到a2 ，第2 次运行后得到a3 ， a11 a21 an 第 n 次运行后得到 an1 ，则这个程序框图的功能是计算数列an的第 2 015项将 an an1 an 1 1 1 1 1 变形为 1，故数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故 n，即 an an1 an1 an an an 1 1 ，所以输出结果是 .故选 D. n 2 015 2若数列an满足 a11，an12nan，则数列an的通项公式 an_ n（n1） 答案 2 2 an1 a2 a3 an an 解析 由于 2n，故 21， 22， 2n1，将 这 n1 个等式叠乘，得 212 an a1 a2 an1 a1 n（n1） n（n1） (n1)2 ，故 an2 . 2 2 a1 a2 a3 an1 3已知 Sn为数列an的前 n 项， an2(n2)，且 a12，则an的通 2 3 4 n 项公式为_ 答案 ann1 a1 a2 a3 an1 a1 a1 a2 解析 an2(n2)，当 n2 时， a22，解得 a23. 2 3 4 n 2 2 3 5 a3 an1 an an an1 an an12， an12(an2)(n2)，得 (n2)， 4 n n1 n1 n2 n1 an1 an a2 1，ann1(n2)，当 n1 时也满足，故 ann1. n2 n1 3 6