2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数学案理北师大版2.wps

§4.1§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 最新考纲 考情考向分析 以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度 与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主， 1.了解任意角的概念和弧度制的概念 常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角 2.能进行弧度与角度的互化 函数定义的应用及三角函数的化简与求值， 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切) 考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意 的定义. 识题型以选择题为主，低档难度. 1角的概念 (1)任意角：定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成 的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角 (2)所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成的角的集合是 S|k·360° ，kZ Z (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第 几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个 象限 2弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度正 角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0. 180 (2)角度制和弧度制的互化：180° rad,1° rad，1 rad °. 180 ( ) 1 1 (3)扇形的弧长公式：l|·r，扇形的面积公式：S lr |·r2. 2 2 3任意角的三角函数 任意角 的终边与单位圆交于点 P(x，y)时， y 则 sin y，cos x，tan (x0) x 三个三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象 第二象 第三象限 第四象 1 限符号 限符号 符号 限符号 sin R R cos R R tan |k ，kZ Z 2 4.三角函数线 如下图，设角 的终边与单位圆交于点 P，过 P作 PMx轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆 的切线与 的终边或终边的反向延长线相交于点 T. 三角函 数线 有向线段 MP为正弦线；有向线段 OM为余弦线； 有向线段 AT为正切线 知识拓展 1三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦 2任意角的三角函数的定义(推广) y 设 P(x，y)是角 终边上异于顶点的任一点，其到原点 O的距离为 r，则 sin ，cos r x y ，tan (x0) r x 2 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(“”“请在括号中打或 ×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角( × ) (2)角 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关( ) (3)不相等的角终边一定不相同( × ) (4)若 为第一象限角，则 sin cos 1.( ) 题组二 教材改编 2角225° 弧度，这个角在第 象限 5 答 案 二 4 3设角 的终边经过点 P(4，3)，那么 2cos sin . 11 答案 5 3 4 解析 由已知并结合三角函数的定义，得 sin ，cos ，所以 2cos sin 5 5 4 3 11 2× . 5 (5 ) 5 4一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为 弧度 答案 3 题组三 易错自纠 9 5(2018·秦皇岛模拟)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) 4 9 A2k45°(kZ Z) Bk·360° (kZ Z) 4 5 Ck·360°315°(kZ Z) Dk (kZ Z) 4 答案 C 9 9 解析 与 的终边相同的角可以写成 2k (kZ Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所 4 4 以只有答案 C 正确 3 6集合Error!中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 答案 C 解析 当 k2n(nZ Z)时，2n 2n ，此时 表示的范围与 表示 4 2 4 2 的范围一样；当 k2n1(nZ Z)时，2n 2n ，此时 表示的范围 4 2 与 表示的范围一样，故选 C. 4 2 1 7已知角 (0， ，即 m . 64m29 25 2 (2)设 是第三象限角，且|cos 2|cos ，则 是( ) 2 2 A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 答案 B 解析 由 是第三象限角知， 为第二或第四象限角， 2 |cos 2|cos ，cos 0，解得 m3. 16m2 5 4(2018·广州质检)点 P 的坐标为(2,0)，射线 OP 顺时针旋转 2 010°后与圆 x2y24 相交 于点 Q，则点 Q 的坐标为( ) A( 2， 2) B( 3，1) C(1， 3) D(1， 3) 答案 B 解析 由题意得 Q(2cos(2 010°)，2sin(2 010°)， 即 Q( 3，1) 5已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为( ) A2 B4 C6 D8 答案 C 12 1 解析 设扇 形的半径为 R，则 ×4×R22， 2 R1，弧长 l4，扇形的周长为 l2R6. 2 6已知 是第二象限的角，其终边上一点为 P(x， 5)，且 cos x，则 tan 等于( ) 4 15 A. B. 5 15 3 15 C D 5 15 3 答案 D x 2 解析 x 且 在第二象限， x25 4 5 15 x 3，tan . 3 3 7(2017·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4 的值( ) A小于 0 B大于 0 C等于 0 D不存在 答案 A 解析 sin 20，cos 30， sin 2·cos 3·tan 40)是角 终边上的一点，则 2sin cos . 2 答案 5 解析 |OP| 4m23m25|m|5m(m0)， 3m 3 4m 4 sin ，cos ， 5m 5 5m 5 3 4 2 2sin cos 2× . 5 5 5 10已知扇形的圆心角为 ，面积为 ，则扇形的弧长为 6 3 答案 3 解析 设扇形半径为 r，弧长为 l， 则Error! 解得Error! 3 11函数 y sin x 的定义域为 2 2 答案 2k ，2k ，kZ Z 3 3 解析 利用三角函数线(如图)， 3 由 sin x ，可知 2 2 2k x2k ，kZ Z. 3 3 1 12满足 cos 的角 的集合为 2 答案 Error! 1 解析 作直线 x 交单位圆于 C，D 两点，连接 OC，OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影 2 部分)即为角 终边的范围，故满足条件的角 的集合为 Error!. 14 13已知 sin sin ，那么下列命题成立的是( ) A若 ， 是第一象限的角，则 cos cos B若 ， 是第二象限的角，则 tan tan C若 ， 是第三象限的角，则 cos cos D若 ， 是第四象限的角，则 tan tan 答案 D 解析 如图，当 在第四象限时，作出 ， 的正弦线 M1P1，M2P2和正切线 AT1，AT2，观察 知当 sin sin 时，tan tan . 14 已 知 点 P(sin cos ， tan )在 第 四 象 限 ， 则 在 0,2内 的 取 值 范 围 是 3 7 答案 ( ， ) (，2) 2 4 4 解析 由Error! 得10. (1)求角 的集合； (2)求 的终边所在的象限； 2 15 (3)试判断 tan sin cos 的符号 2 2 2 解 (1)由 sin 0，知 在第一、三象限，故角 在第三象限， 其集合为Error!. 3 (2)由 2k0，cos 0， 2 2 所以 tan sin cos 也取正号 2 2 2 因此，tan sin cos 取正号 2 2 2 16