N维空间上的Weierstrass逼近定理的证明.doc

N维空间上的Weierstrass逼近定理的证明 一、引言 1885年，Weierstrass 首先证明了多项式逼近连续函数的逼近定理，这个定理被称为Weierstrass定理 定理1 若 ，则对于任意给定的正数，都有代数多项式 满足不等式 | 定理2 若，则对于任意给定的正数，都有三角多项式(cos,sin) 满足不等式 | 本文通过构造n维欧氏空间上Poisson算子，利用这个算子和文献的证明方法，证明了n维空间上的Weierstrass逼近定理。 定理3 若 ，则对于任意给定的正数，都有多元三角多项式(cos,sincos,sin) 满足不等式 | 定理4若 ，则对于任意给定的正数 ，都有多元三角多项式满足不等式 | 二、预备知识 如果一个n维空间上的连续函数 ，对上的所有点 ，都不小于零，则说 是正函数，并记以。 定义：假设是映到自身的映射，如果它将中每一个正的函数都映射为正函数，那么说是一个正算子. 对于一个正的线性算子，倘若, 即 ，则有单调性不等式 即.特别由-|,得到(|)()(|) ,即|( )|(|) . 定理A 设是中的正线性算子序列，如果对于， 在上一致收敛于，则对于每个函数， 在上一致收敛于 . 定理B 设是中的正线性算子序列，如果对于，cos和sin， 在全实轴上一致收敛于 ，则对于每个函数 ， 在全实轴上一致收敛于 . 文献利用定理A,定理B证明了一维空间上的Weierstrass 逼近定理即定理1和定理2. 三、定理3，4的证明 仿照定理1和定理2的 证明，我们构造 维空间上的Poisson算子： ，令 容易验证Poisson算子满足以下的性质： 性质：（1）为一个正线性算子 （2）若，在一致收敛到 （3） 对，一致收敛到 证明：（1）显然是一个正线性算子 (2)的证明如下： 对 ，有 =1 对于cos有 =cos cos cos= 对于sin 有 =sin sin sin= （3）的证明如下： 记() 任取， 对>0, >0 由 一致连续，当 |0 N当 时 在 上一致成立 （2） 由不等式（1）和（2）有 当 时有 由的任意性知，当+ 时， 在 上一致收敛到 。 综上有（1），（2）和（3）的证明定理得证。 定理4的证明类似定理3的证明。