一种基于改进傅里叶变换的回弹补偿算法研究.doc

一种基于改进傅里叶变换的回弹补偿算法研究doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2009.09.021 Compensation of springback based on improved fast Fourier transform LIU Wen-juan, LIANG Zhi-yong (School of Computer Science, Zhaoqing University, Zhaoqing Guangdong 526061, China) Abstract:Since the high-precision requirements of stamping parts which more complex to the springback, this papers introduced a compensation of springback based on improved fast Fourier transform. First of all, starting from the product mould,carried out the initial mould design by means of finite element analysis, optimization of forming process parameters and other methods. Second, measured the mould and evaluated the resilience error. Finally, reduced springback errors through two iteration cycles, and completed mould amendment. The experiments show that the system can completion the amendment of the mold of the shape effectively and realized the springbackcompensation to the complex stamping. Key words:fast Fourier transform; springback error; springback compensation; multi-curvature 近年来,许多学者采用CAE数值模拟技术进行回弹补偿的研究,主要方法是借助于有限元软件模拟冲压件的成形与回弹过程,预测冲压件各部分的回弹,以此为依据对模具型面进行补偿。通过反复仿真迭代,最后得到满足回弹误差要求的模具修正形状,完成对回弹量的补偿。Karafillis等人1,2在这方面作了大量有意义的探索。数值模拟迭代回弹补偿法效率高、费用低,但此方法的前提是回弹仿真精度必须首先保证,而这一点正是目前数值模拟的缺陷所在。 工程实际中,对于精度要求较高和回弹规律比较复杂的三维冲压件,如类似多曲率汽车覆盖件、搅拌机叶片板等的多曲率冲压成形件,要得到符合回弹误差标准的冲压件,迭代过程可能需要反复多次,这样使修模时间和成本大幅度提高3。 本文提出了一种基于快速Fourier变换的回弹闭环控制系统模型。在相同的工艺条件下,通过两副几何形状相近的模具和相应的冲压件获得模具几何形状变化量与冲压件几何形状变化量之间的频域传递关系;然后预测模具回弹补偿的修正位置和修正量大小,实现了简单冲压件的回弹补偿;最后,以多曲率件冲压实验验证该模具型面回弹补偿算法的有效性。 1 冲压回弹闭环控制模型的建立 板材冲压成形回弹误差模具修正过程如图1所示。首先,从产品模型出发利用有限元分析、成形工艺参数优化等方法进行初始模具设计,再对模具及冲压产品试制件进行测量,评价回弹误差。若误差满足要求,则完成冲压模具设计;否则,需要对模具型面进行修正、试制、测量,直到满足回弹误差要求为止。 在本文中,将板料冲压成形回弹误差模具修正系统抽象为如图2所示的模具修正闭环控制系统。其中,p?唱?为理想产品形状,Di为第i个模具型面形状,Pi为第i个冲压件型面形状。 在控制系统中,把在零初始条件下输出量与输入量关系可表为 G(s)=R(s)/C(s)(1) 同样,在离散系统中,把在零初始条件下输出的离散量P的Z变换与输入离散量D的Z变换之比定义为系统的传递函数,即 H=P(Z)/D(Z)(2) 式中:H为闭环离散控制系统的传递函数;P(Z)为输出离散量的Z变换;D(Z)为输入离散量的Z变换。因此,如何快速求出一个离散系统的闭环传递函数,通过离散闭环控制系统来达到模具修正是首先要解决的问题4,5。 2 成形过程传递函数的推导 在本系统中,传递函数反映的是模具型面到冲压成形的冲压件型面的变化关系。由于模具型面到冲压件型面的差别最大决定因素是由回弹引起,而回弹本身就是一个非线性因素,本系统中的传递函数应该是非线性函数。其传递函数求解推导过程如下:设模具I形状测量数据为d1,对应的冲压件I形状测量数据为p1,模具为所求的模具型面,形状测量数据为d,对应的为理想的冲压件型面,形状测量数据为p。则曲面误差为 e=p-p1(3) 而p是由模具经冲压成形得到,所以p与d存在一个函数关系。 p=f(d)(4) 把式(4)代入(3)可得 e=f(d)-p1(5) 模具修正的最终目的是使曲面误差趋近于零, 所以有 f(d)-p=0(6) 上述方程就是本文的模具修正离散闭环控制系统的误差函数,通过对此误差函数的求解就可以得到系统的传递函数方程。式(6)是一个非线性方程,用迭代法Newton-Raphson求解此方程可得 (f/d)-1=H(d1)=(d2-d1)/(p2-p1)(7) 式(7)是非线性方程在初始冲压状态点附近的近似解。其物理含义是,当冲压工艺参数保持不变时,模具几何形状的小量变化与冲压件几何形状的小量变化近似呈比例关系,H(d1)即为本系统所求的模具冲压件偏差形状传递函数。 3 基于FFT的回弹补偿算法 基于快速傅里叶变换的冲压回弹模具型面修正算法目标是通过两个迭代循环来基本消除回弹误差,完成最后模具修正补偿。麻省理工学院的R.D. Webb博士和Arizona大学的C.Hindman也曾做过相关工作。在求解系统的传递函数之前,首先将闭环控制中输入量和输出量进行时频转换;然后差运算求回弹补偿值;最后对频率点进行逆运算,从而得到所求成形件的整体特性。对于空间曲线和曲面,频率反映的是它们的光顺程度,高频分量越小,说明曲线或曲面越平缓。同样,产品型面数据与模具型面数据之间的差运算在频域内所代表的物理含义也是不一样的,它表示产品和模具型面在x轴方向所识别出的各种与模具型面特征无关的干扰成分,可以大体确认由于回弹引起型变的形成部位。因为频率高频反映的是某些细节特征(如发生变化等),频域差之后的高频就自然成了模具冲压后产生的型变大小和地点。 时频变换后在频域中式(7)可表示为 H(d)=F2(d)/F2(p)(8) 式中:H为模具冲压件偏差频域传递函数;F2(•)为二维快速Fourier变换。 式(8)表明在冲压工艺参数不变时,模具形状小量变化d与相应的冲压形状的小量变化p经过二维FFT变换后在频域内成正比,比例系数为H。可见,如果已知两套回弹比较小的模具D1 、D2形状数据和对应的冲压件P1 、P2形状数据,即可计算出模具冲压件偏差频域传递函数H: H(d)=F2(d)/F2(p)= (F2(d2)-F2(d1)/(F2(p2)-F2(p1)(9) 设p?唱?为理想产品形状,d?唱?为模具设计中所求的模具型面。在工艺参数不变的前提下,Di到Pi之间的函数关系可以认为不变,而频域传递函数H则反映了这样一种函数关系,故可得 H(d)=F2(d)/F2(p)= (F2(d?唱?)-F2(d1)/(F2(p?唱?)-F2(p1)(10) 结合式(9)和(10),解方程组可得 F2(d?唱?)=F2(d1)+(F2(d2)-F2(d1)/(F2(p2)-F2(p1)×(F2(p?唱?)-F2(p1)(11) 对F2(d?唱?)进行FFT反变换即可得到理想模具型面的离散数据点集 d?唱?=F-12?TF2(d?唱?)(12) 可见,只要知道两次相近的实验结果,可预测其附近区域的第三次实验结果中的某一个元素(冲压件形状p或模具形状d)。该方法的基本原理是,利用Fourier变换表示模具型面和冲压件形状,并采用频域传递函数法来进行求解。但是该方法仍然存在着一些问题:传统傅里叶算法运算量大、收敛慢。 另外,傅里叶的不足是它在整体上将离散量分解为不同的频率分量,使算法不能逼近系统最优解。因此,本文在上述的基础上提出了一种改进的时频变换算法。 4 改进的傅里叶算法 为了实现频域模具修正算法,本文采用了小波变换将时域下模具型面和冲压件型面形状数据变换为频域的参数表示形式。由于计算机本质上只能处理离散数据,在实际计算中第一步先用到的是离散傅里叶变换。前文也提到,傅里叶变换的不足是它在整体上将离散量分解为不同的频率分量,从而缺乏局部性信息,即对离散量的表征要么完全在时域,要么完全在频域,它不能揭示某些频率分量出现在什么时候以及随时间的变化情况,所以它不是很适合于分析非线性信号,一般用于分析线性信号和准线性信号8,9。而本文所应用的模具修正离散闭环控制系统,其传递函数描述的是模具型面到冲压件型面的变化函数,用傅里叶处理这种信号量仍会存在表征误差问题,所以不能逼近系统最优解。因此本文在时域到频域空间域变换时采用的是一种基于傅里叶变换的小波变换,利用小波变换可以反映信号从整个时域到频域的性质,而且还能反映信号在时域的瞬息变化的性质,从而达到弥补以前傅里叶实现空间域离散变换的缺陷,使闭环控制系统更能接近最优解。 傅里叶变换与小波变换相结合进行空间域离散变换的基本原理是:选择一种非紧支集的正交小波Shannon波,其频谱(w)是一带通滤波器。经过研究分析发现,若小波函数取为形如Shannon小波类型的函数,则可以利用快速傅里叶变换来完成小波变换,从而借助于快速傅里叶可以实现小波变换10,11。 对于离散信号f(n)(n=0,1,2,N-1;N=2l,lZ),设f(n)的FFT为 F(k)=(1/N)N-1n=0f(n)exp(-j 2nk)/N)(13) F(k)的傅里叶变换为 FF(m)=(1/N)N-1m=0f(k)exp(-j 2mk/N) m=0,1,N-1(14) 取为非紧支集的正交小波f(x)L2(R),则有 wf(,x)=/2/2/F(w)exp(-jxw) dw+2/F(w)exp(-jxw)dw(15) 由式(14)得到 wf(2-i,2-im)=2/(2i2i)FFi(m)(16) FFi(m)=(1/Ni)Ni-1k=0Fi(k)exp(-j 2mk/Ni)(17) 这样,由式(17)就将信号的小波变换转换为信号的傅里叶变换的常数倍,从而可以利用FFT进行离散正交小波变换和逆变换。 5 辨识算法的MATLAB实现 本文以小波变换理论为基础,结合傅里叶变换构造数学模型, 用MATLAB 对基于快速Fourier的小波变换模具型面修正算法在模具型面修正闭环控制系统的应用进行了研究。 设二维曲面坐标范围为X、Y, X轴上采样间隔为d =D /L。其中:L为采样点数;D为曲面宽度。Y轴上取L 个采样点产生矩阵12。 a)利用reshape函数将该矩阵转换成列向量,作为时域离散量表示,然后通过Mn=dftmtx (length(x)函数产生DFT矩阵。对矩阵进行乘法,Fx=Mn×x等效于 DFT。由此计算出L个方向上投影集合的傅里叶变换Fx( R,)。其中R代表不同模具型面和冲压件型面形状数据时域数组表示,然后求出不同R值的Fx( R,),得到模具型面和冲压件型面形状数据傅里叶频域表示。 b)根据算法,在模具型面和冲压件型面形状数据傅里叶频域表示基础上求模具型面和冲压件型面形状数据小波频域表示。先计算Fxi(K)(i=0,1,NA1AD,Ni-1),再用上述求傅里叶频域表示方法计算FFxi(m)(m=0,1,NA1AD,N-1)。等效于对原始模具型面和冲压件型面形状数据进行了两次傅里叶变换。 c)计算模具型面和冲压件型面形状数据的小波变换wf(2-i,2-im)=2/(2i2i)FFi(m),取i=2,计算出所有尺度2-i(i=1,2,NA1AD,j)下的wf(2-i,2-im)(m=0,1,NA1AD,Ni-1),即可得到信号f(n)的多尺度分解C-i,D-j,D-j+1,NA1AD,D-1。 d)通过传递函数辨识过程,根据不同型面f(n)的形状数据多尺度分解C-i,D-j,D-j+1,NA1AD,D-1计算闭环控制系统的传递函数,最后根据传递函数求得所求的模具型面的频域表示。 e)根据上述的逆过程求出所求的模具型面的时域表示。 6 模具型面修正算法验证 为了验证基于快速Fourier的小波变换模具型面修正算法在模具型面修正闭环控制系统应用的有效性,以多曲率件模具型面回弹补偿为例,设计加工了三套不同曲率形状参数的多曲率型面模具。多曲率件冲压模具型面参数如表1所示。在Y71-100A型液压机上进行板材冲压回弹实验,实验材料选用150 mm×50mm、厚度0.8 mm 的08AL钢板,成形压力为70 kN,采用拉延油进行润滑,冲压成形得到三个不同曲率形状的冲压件,并利用德国WENZEL公司生产的LH65型三坐标测量仪对冲压件及模具型面进行测量。 设计三副相似的多曲率件模具为Di,分别对应有三副模具冲压件Pi,j=1,2,3。应用改进算法思想,根据式(11)以p2作为冲压件的理想设计形状,以模具型面d1、d3及冲压件型面p1、p3测量离散数据来求解形状传递函数,应用式(12)来反推d2,比较d2和d2的差别即可验证算法的精度。模具型面修正结果与实际模具型面比较如图3所示,模具型面修正算法误差分布曲线如图4所示。从图中可以看出,模具型面修正算法误差在0.22 mm以下。其中最大误差为0.219 mm,平均误差为0.089 mm。算法结果表明,通过本文提出的模具修正补偿算法,可以正确预测相同工艺条件下,与理想产品相对应的理想模具型面形状,从而达到对回弹误差进行补偿修正模具型面的目的。 7 结束语 本文针对冲压回弹误差,提出了一种基于快速Fourier变换的回弹闭环控制系统模型。在相同的工艺条件下,通过两副几何形状相近的模具和相应的冲压件获得模具几何形状变化量与冲压件几何形状变化量之间的频域传递关系,然后预测模具回弹补偿的修正位置和修正量大小,实现了简单冲压件的回弹补偿。结果表明,通过本文提出的模具修正模型,可以在相同工艺条件下,正确预测与理想产品相对应的理想模具型面形状,从而达到对回弹误差进行补偿、修正模具型面的目的。