一道中考题的变式探究.doc

一道中考题的变式探究 全等三角形在各地中考试卷中是必考题型，而且有一类以等腰三角形为背景的图形问题更是经典中的经典.下面以一道中考题为例，变式拓展，带领同学们做一题，会一类，通一片. 考题 （2015?浙江杭州，8分）如图1，在ABC中，已知AB=AC，AD平分BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC.求证：DM=DN. 【思路分析】可以把目光盯在AMD和AND中，排列条件，发现AM=AN不能直接获得，但是可以根据“AM=2MB，AN=2NC”推得，从而可以根据“SAS”证得AMDAND. 证明：因为AM=2MB，所以AM=AB，同理，AN=AC，又因为AB=AC，所以AM=AN. 因为AD平分BAC，所以MAD=NAD. 在AMD和AND中， AM=AN， MAD=NAD AD=AD， 所以AMDAND，所以DM=DN. 【成果扩大】在AMDAND基础上，我们不仅可以得出DM=DN这样的结论，稍加推证，不难发现图1中还有很多线段相等、角相等，都是可以成为设计考题的考点.除了在原图上的探究，我们还可以把点D动起来，也就是在AD上找一点E，设计出内容更丰富的问题，比如： 如图2，在ABC中，AB=AC，AD平分BAC，点E在AD上. （1） 求证：AD是ABC的中线； （2） 求证：AD是ABC的高； （3） 求证：BE=CE； （4） 求证：DBE=DCE； （5） 求证：ED平分BEC； （6） 求证：点E到AB、AC两边距离相等； （7） 求证：点E到AB、AC两边中点的距离相等. 【解答提示】问题（1）（5）都不需要添加辅助线，而第（6）题在答题时则需要作出相应的垂线段（综合同学们的作业情况，不少同学会误认为点E到AB、AC的距离就是EB、EC的长，这是对“点到直线的距离”概念的误解）；第（7）题则需要先找出AB、AC两边的中点M、N，再连接EM、EN并证明相等.