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一道函数奇偶性解答题的错解引发的思考 一道函数奇偶性解答题的错解引发的思考 水小强 李 玺 李尧贤 （榆中县第二中学 甘肃 榆中 730100） 下面是某高考复习资料中的一道例题，然而作者在演算的过程中却发现这道题不正确，同时也引起了作者对于函数奇偶性的一点思考. 例：定义在 上的奇函数 ，已知当 时 （1）写出 在 上的解析式； （2）求 在 上的最大值； （3）若 是 上的增函数，求实数 的取值范围. 错解：（1）设 ，则 当 即 时 ； 以上为本题前两问的解答，通过编者的解答我觉得他的立意在于：第一、考察求函数解析式时将未知带入已知的方法；第二、利用换元法结合二次函数讨论复合函数的最值问题。然而他却忽略了奇函数的一个重要性质： 性质：若奇函数 在 处有定义，则 . 基于这一性质，上面的解答在第一问中就已经出现了问题.就这一问题 解：（1） 是奇函数， 时， 显然 在 上为减函数，故 当 即 时， 有最大值0 由上面的讨论可知函数 在 上是减函数，问题出现错误，第三问无法解答. 以上是对于我们的问题进行了讨论，那么我们在解决函数奇偶性的问题时还需要注意哪些方面呢？ 1. 定义域是否关于原点对称； 2. 对于奇函数应特别注意在 处是否有定义，如果有定义，则 3. 奇函数的图像关于原点对称，反之也成立；偶函数的图像关于 轴对称，反之也成立； 4. 解题技巧：奇函数成立 ，偶函数成立 根据定义对于定义域内的任意的自变量的值 ，奇函数都成立 ，偶函数都成立 ，所以在解题时我们往往可以令 .例如： （2010江苏）设函数 ,( )是偶函数，则实数 的值为_. 解：由题意 即 ，解得 . 5. 奇偶性的性质： 两个奇函数的和、差是奇函数；两个偶函数的和、差是偶函数； 两个奇函数的积、商是偶函数；两个偶函数的积、商也是偶函数 对于上面这道题，可得 为奇函数，所以 解得 . 本文是作者在教学过程中对于函数奇偶性的一点浅薄认识，希望大家多提宝贵意见。