带支承圈的立体弹簧计算机辅助设计的数学分析.doc
带支承圈的立体弹簧计算机辅助设计的数学分析 摘要:实际的弹簧是立体的,且有粗度,特别是上下两个端面都有支承圈。该文讨论了有粗度且带支承圈立体弹簧的计算机辅助设计的方法。 关键字:支承圈,立体弹簧,计算机辅助设计。 The Mathematical Analysis of Computer-Aided Design for The Stereoscopic Spring with Strut Circle HU Kui-zong (Xiaogan Technical School in Hubei Province, Xiaogan 432100, China) Abstract: The actural spring is stereoscopic,and crude .Specially there are a strut circle in each side .The article discusses the method with which how to draw the stereoscopic spring with crudeness and two strut circle. Key words: strut circle; stereoscopic spring; CAD 1 问题的提出 弹簧是机械设计中常用的标准件,在现在的流行软件中都可作出,比如UG,solid等,但在AutoCAD中却不能直接作出。如何作出一个真实的立体弹簧,在许多地方有所讨论。在许多地方的讨论中,立体弹簧往往是由一条立体多段螺旋线来表示。众所周知,在机械设计中,立体弹簧的簧丝是有一定粗度的,用一条没有粗度概念的立体多段螺旋线来表示立体弹簧是不够的。并且,真实的立体弹簧还应有支承圈,立体弹簧的支承圈是为了使弹簧在工作时受力均匀,保证弹簧中心垂直于支承端面,是很重要的。但即使在UG,solid中,所作出的立体弹簧没有支承圈。这不能不令人非常遗憾。那么问题归纳为:如何作出一个有粗度和支承圈的立体弹簧。为了讨论问题的方便,这里假定支承圈在每端只有一圈。 2 问题的关键 这里我们从立体多段螺旋线开始讨论。立体多段螺旋线可理解为,一个点围绕一个圆一边匀速旋转一边匀速垂直上升所形成。而圆可由若干段的线段首尾相连而成。则:有粗度和支承圈的立体弹簧的作法是:一个点在一个平面XOY上围绕一个圆旋转,形成下支承圈,不过这个点不能围绕这个圆旋转一个整圈,要留下一个缺口。再围绕一个圆一边匀速旋转一边沿Z轴匀速垂直上升形成弹簧体,最后又在另一个与XOY平面平行的平面上围绕这个圆旋转形成上支承圈,不过也要留下和下面支承圈一样大的缺口。这样得到一条带上下支承圈的立体多段螺旋线。用一个小圆沿着这条特殊的立体多段螺旋线拉伸,即可。这个缺口多大,这是问题的关键,涉及的数量关系比较复杂。下面我们来定量讨论这个问题。 3 问题的分析 下面作如下的假定:立体多段螺旋线的开始半径为radius,立体多段螺旋线的螺距为pitch,立体多段螺旋线每圈的分段数为div,被拉伸圆半径为r。pi为圆周率3.1415926。 图1为立体弹簧的轴测图,其中AFED为支承圈,AD为支承圈上的缺口,A点为立体弹簧由XOY平面开始绕Z轴上升的转折点,AD的距离为一个螺距,即G为第一个立体螺旋圈的终点,A为起点,B为第一个立体螺旋圈上的一个点。 图2为图1所表示立体弹簧的正视图。 图3为将整个支承圈和第一个立体螺旋圈展开所形成的平面图。 图4为支承圈上缺口处的放大图,KJIHNL和MCPS为弹簧体,FABG和DE为立体多段螺旋线,CP为拉伸圆的半径。 图5为带缺口支承圈的俯视图。 1) 则有,整个支承圈(包括缺口)的周长为:2*pi*radius。这个周长被分成div段,则每段的长度pl为 2) 当这个点围绕一个圆旋转形成下支承圈AFED后,就要一边旋转一边匀速垂直上升,则它的方向和水平面有一个夹角,假设为2。旋转一整圈后形成的长度、螺距和整个支承圈(包括缺口)的周长构成一个直角三角形,如图3。 则夹角的正切为:tg(2)=pitch/(2*pi*radius). 由tg(2)=2tg/(1-tg2)解方程可得 3) 前面说过整个支承圈(包括缺口)的周长为2*pi*radius,被分成为div段。实际上支承圈不应包括缺口AD,如图5,也就是实际上支承圈的周长AFED比2*pi*radius还短,被分成的段数比div少。那么实际上支承圈的段数比div少。假设为dc,它应当是多少呢?显然dc过小,则缺口AD过大,不合理;太小,则缺口AD太小,支承圈的一部分MCPS伸到了旋转上升方向的圈LNJK中去了,这样也不行。这里假设一种理想情况:dc刚好使支承圈MCPS和旋转上升方向的圈LNJK挨在一起。如图4。在图中,KJIHNL和MCPS是立体弹簧体,粗实线DE.FAG是立体多段螺旋线,由C点作AG的垂直辅助线CB,连接C点和A点,得辅助线CA。BC和CD是弹簧的半径,即拉伸圆的半径。 则BC=CD=r,则BAC=CAD=。 在直角三角形?SCDA中,缺口DA=r/ tg,在前面的1中已说明,整个支承圈(包括缺口)的周长被分成div段,则每段的长度pl为: 则缺口DA的长度折合成段数为: 这样算出的段数并不一定为整数,假若为取整运算,取整后还要加1,比如若段数为2.13,则应取3段。则缺口DA折合成段数为。 整个支承圈(包括缺口)被分成div段,则支承圈(不包括缺口DA)的段数dc为 。 代入前面2中算出的tg,则 dc为 。 4 问题的总结 1) 一个点在XOY平面上围绕着半径radius圆旋转,画出dc个小线段。2) 之后一边旋转一边沿Z轴垂直匀速上升,经过若干个螺距后。3) 又在与XOY平行的平面上围绕着半径radius圆旋转,画出dc个小线段,以上第1到第3步形成一个立体多段螺旋线。4) 再用一个小圆沿着这条立体多段螺旋线拉伸则形成立体弹簧。上下两个dc段所形成的是立体弹簧的上下两个支承圈。 流程图如图6所示。
