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构造思想在数学分析中的应用 【摘要】 构造思想是一种重要的数学思想，具有较强的灵活性与创造性.通过构造数列对数学分析中的二个重要定理进行了证明，不仅加深了知识点的理解，而且对提高学生解决问题的能力有重要意义. 【课题名称】 独立学院数学分析的教学方法探究与改革 【课题编号】 JG2014014 一、引 言 数学分析蕴含着丰富的数学思想方法，如类比、变换、化归转化、构造、递推归纳、数形结合等，构造思想是层次较高的一种，灵活运用可以培养学生的创新意识，提高解决问题的能力. 二、构造思想的涵义 在解决问题时，根据问题的条件和结论或问题的性质和特点，构造出一个与研究对象紧密相关的辅助元素，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使原问题得以解决；或者构造出一个符合条件但是不满足结论的反例来否定结论. 三、构造思想的应用 该思想在数学分析中的应用广泛，如通过构造函数证明微分中值定理、通过构造图像证明不等式、通过构造不等式证明重要极限、通过构造反例证明发散等，在此主要介绍构造数列的应用. 1.在数列与其子列的关系中的应用 数列及其数列的子列有以下的性质定理： 数列an收敛当且仅当数列an的任何子列都收敛，且极限值相等.即 lim n an=a任意子列ank，有lim k ank=a 该定理在分析数列收敛性，特别是证明数列发散中有非常重要的作用，只要找到一个发散的子列或者是找到两个收敛的子列极限值不同即可说明，如数列 -1 n ，其偶数项组成的子列收敛于1，奇数项组成的子列收敛于-1，从而 -1 n 发散. 该定理的应用较多，但其充分性的证明在教材中大都没有给出具体证明，下面通过构造的思想对其充分性进行详细的证明，方便学生加深理解. 例1 对于数列an，若an的任意子列ank都有lim k ank=a，则lim n an=a 分析 题目的条件情况太多我们不好入手，且已知若an收敛，则an的任何子列都收敛，且极限值相等，故选择反证法，假设an不收敛于a，只要可以构造出一个子列不收敛于a即可. 2.在海涅定理中的应用 海涅定理是连接函数极限与数列极限的桥梁，有24种形式，但教材中一般只给xx0这一种证明，其他的只给出结论或留给读者.下面通过构造的思想对x的情况的充分性进行证明. 四、小 结 通过以上的结果，可知构造思想比较灵活，但在解题过程中，只要弄清楚条件与结论的本质特点，找出其中的联系便可构造出实现目的的辅助元素.其次海涅定理的其余几种形式的证明可参考上述证明过程. 【