高中数学排列组合推理的教学思考.doc

高中数学排列组合推理的教学思考 排列组合在高中课程中充当着概率部分的基础的重要角色，对于学生的逻辑思维分析能力以及数学的建模能力起着不可忽视的作用。我们需要针对排列组合推理的教学进行了认真探讨。 一、解决排列组合问题要时有正确的思维 在解决排列与组合问题要时应有的思维方式是：将需要解答的问题不要当作一个数学计算看待，而是当作一件事情，要找到使这件事情得到解决的方法，而该方法又要满足题中的条件。该方法的具体思维，可见例题1。 例1：有10双鞋，尺码不同，随机的取出6只，要求：不存在2只能配成双的鞋在这6只中；有4只能配成两双的鞋在这6只中。求两种情况下取法各多少种。 怎么可以取出6只不成双的写在这10双尺码不同的鞋中，这是解决本题时需要首先加以思考的问题。解决方法有很多，取出的6只鞋可能都是10只左鞋中的，还有可能这6只都是10只右鞋中的，还有可能是5只在10只右鞋中选取，而另1只在另外的5只左鞋中选取，还有可能是4只在10只右鞋中选取，而另2只在另外的6只左鞋中选取，还有可能是3只在10只右鞋中选取，而另3只在另外的7只左鞋中选取，还有可能是2只在10只右鞋中选取，而另一只在另外的8只左鞋中选取，还有可能是1只在10只右鞋中选取，而另5只在另外的9只左鞋中选取。因此可以得出在尺码不同的10双鞋中随机的从中取出6只，其中不存在2只能够配成双的鞋的取法数量为：2C610+C510C15+C410C26+C310C37+C210C48+C110C59=13440(种) 但是这并不是最好的解决问题的方法。如果要做到没有2只能配成双的鞋在取出的6只当中，先要做的是从这10双中随机的取出6双，取法有C610 种，接着从这6双的每1双当中都取出1只（随机取出，共26种可能性），如此就能够使题目的要求得到满足了。得出的不同取法共：26×C610=13440(种) 当解决了第一问后，解决第二问也就变得十分容易，如果要使4只能配成双的鞋恰好在取出的6只中，思考问题时可以考虑先取出2双鞋在10双当中，这就使4只鞋能配成双的条件得到保证，然后在剩余的8双鞋中随意选出2双，接着在这2双鞋中各随机选取1只，再加上一次取出的2双鞋，就能够符合题目的要求。因此任意的从尺码不同的10双鞋中选取6只，其中正好有4只能配成2双的取法共有： C210C28×22=5040(种) 二、解决排列组合问题的原则 1.优先考虑排列或组合中有特殊要求或限制的元素 在排列组合的题目中通常有一些特殊的要求或对某些元素进行限制，例如：8个人站在一排照相，甲不可以站在两边，共有多少种不同的排列方法？这考虑这类题目时，先要考虑的就是不能甲站在两边这个特殊因素，如果先把甲排列好，那么剩余的人进行普通排列就简单多了，甲出了两边之外有6个位置可以选择，另外7个人就可以在剩下的7个位置上随意排列，即排列方式共C15P66=25200(种)。 2.正难则反 在解答排列组合问题时可能会遇到较为复杂的情况，如果正向思考的话会有很多可能性，因而可能导致一些组合方式被忽略，导致问题被错误解答。同时，这些问题的相反方向往往很简单，因此可以从这个相反的方向出发，用总的排列方式减去相反的排列方式，这样就能满足题目的要求，也使思考和计算过程变得简单易懂。 3.无重复无遗漏 在思考满足题目要求的排列组合种类时，很可能因为一时疏忽而导致没注意到一些方法其实是重复的，或者遗漏了一些方法。例如上面提到的例题中的第一问，如果按照第一种解答方法思考，因为有很多种可能性，那么同学们在进行解答时，稍有不慎思路就会混乱，很可能出现重复或遗漏，这就要求思考问题时必须考虑全面，这样问题才能够被正确解答。 三、解决排列组合的方法 1.捆扎法 有时候题目中会有让一些元素相邻排列的要求，此时可以把他们当成一个整体，当成一个元素之后再放入其他元素当中，就能够进行随意排列，这样会使排列变得简单明了。 2.插空法 当题目中要求几个元素不能相邻时，可以先忽略这些元素，将其他元素进行随意排列，接着在完成排列元素的元素间的空隙以及两端的位置插入那些有特殊要求的元素。 3.插板法 当需要分组的对象是完全相同的元素时，可以利用数量适当的“隔板”把排列成一排的元素进行分隔，这样需要求解的分组数就能轻易得出了。 4.合并法 对个元素进行分组时，组数为m组（nm），没有空白组，合并法可以在此应用，先将元素分成n组，在从中选取两组进行合并，剩n-1组后以此类推，进行k次后，当组数n-k=m时即完成。 5.基本原理法 乘法原理和加法原理是解决排列组合问题以及计算其种数时应遵循的两个基本原理，当问题中的元素可以重复排列时，不应该套用公式，应当合理运用基本原理。 6.对称法 当排列组合问题中有条件限制时，如果可以求出无条件限制时元素排列组合的种类数目，那所求的排列组合可由总数求出。 （作者单位：河南省泌阳县泌阳中学）