2017_2018学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系学案苏教版选修1_12017110.doc

1.1命题及其关系11.1四 种 命 题命题的概念观察下列语句的特点：(1)这幅画真漂亮！(2)求证是无理数；(3)菱形是平行四边形吗？(4)等腰三角形的两底角相等；(5)x>2 012；(6)若x22 0122，则x2 012.问题：在这些语句中哪些能判断出真假，哪些不能判断出真假提示：(1)(2)(3)(5)不能判断真假；(4)(6)能判断真假1能够判断真假的语句叫做命题2命题四种命题及其关系观察下列四个命题：(1)若两个三角形全等，则这两个三角形相似；(2)若两个三角形相似，则这两个三角形全等；(3)若两个三角形不全等，则这两个三角形不相似；(4)若两个三角形不相似，则这两个三角形不全等问题：命题(1)与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间分别有什么关系？提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件对于命题(1)和(3)其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定1四种命题的概念(1)如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题(2)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题(3)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题2命题的四种形式原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若非p，则非q；逆否命题：若非q，则非p.3四种命题之间的关系四种命题真假之间的关系观察下列命题，回答后面的问题：(1)如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；(2)如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；(3)如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；(4)如果两个三角形面积不相等，那么它们不全等问题1：若把命题(1)看作原命题，这四个命题之间有什么关系？提示：(1)与(2)、(3)与(4)为互逆关系；(1)与(3)、(2)与(4)为互否关系；(1)与(4)、(2)与(3)为互为逆否关系问题2：判断四个命题的真假提示：命题(1)(4)是真命题；命题(2)(3)是假命题1四种命题的真假性原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假2四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性(2)两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系1原命题是相对其他三种命题而言的事实上，可以把任意一个命题看成原命题，来研究它的其他形式的命题2当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，大前提仍作大前提3若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性，即它们同真同假所以，当一个命题的真假不易判断时，可以通过对其逆否命题的真假的判断来判断原命题的真假命题的概念及其判断例1判断下列语句是否为命题？若是命题，则判断其真假：(1)是无限循环小数；(2)x23x20；(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(5)当x4时，2x1>0；(6)把门关上思路点拨首先判断是不是命题，如果是，然后再判断它是真命题还是假命题精解详析(1)能判断真假，是命题，是假命题(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)(3)不能判断真假，不是命题(4)是命题，当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列是递减数列，因此是一个假命题(5)能判断真假，是命题，是真命题(6)因为没有作出判断，所以不是命题一点通(1)判断一个语句是不是命题，关键是看能不能判断真假(2)判定一个命题是真命题时，一般需要经过严格的推理论证，论证要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断；而判定一个命题为假命题时，只需举出一个反例即可1下列语句：(1)22 是有理数；(2)11>2；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？其中是命题的是_解析：(1)能判断真假，是命题，是假命题；(2)能判断真假，是命题，是假命题；(3)不能判断真假，不是命题；(4)是命题，是真命题；(5)不能判断真假，不是命题答案：(1)、(2)、(4)2判断下列命题的真假：(1)函数ysin4xcos4x的最小正周期是；(2)斜率相等的两条直线平行；(3)不等式|3x2|>4的解集是(，)(2，)；(4)平行于同一平面的两条直线平行解：(1)ysin4xcos4xsin2xcos2xcos 2x，显然其最小正周期为，故(1)为真命题(2)斜率相等的两条直线有可能平行，也有可能重合，故(2)是假命题(3)由|3x2|>4得，3x2>4或3x2<4，x>2或x<，|3x2|>4的解集是(，)(2，)故(3)为真命题(4)平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，故(4)为假命题.四种命题及其真假判断例2分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假：(1)若实数a，b，c成等比数列，则b2ac；(2)函数ylogax(a>0且a1)在(0，)上是减函数时，loga2<0.思路点拨先分清所给命题的条件和结论，再按要求写出逆命题、否命题和逆否命题，并做出真假判断精解详析(1)原命题可以写成：若实数a，b，c成等比数列，则b2ac，为真命题逆命题：若实数a，b，c满足b2ac，则a，b，c成等比数列，为假命题否命题：若实数a，b，c不成等比数列，则b2ac，为假命题逆否命题：若实数a，b，c，满足b2ac，则a，b，c不成等比数列，为真命题(2)原命题可以写成：若函数ylogax(a>0且a1)在(0，)上是减函数，则loga2<0，为真命题逆命题：若loga2<0，则函数ylogax(a>0且a1)在(0，)上是减函数，为真命题否命题：若函数ylogax(a>0且a1)在(0，)上不是减函数，则loga20，为真命题逆否命题：若loga20，则函数ylogax(a>0且a1)在(0，)上不是减函数，为真命题一点通(1)四种命题进行转化时应首先找出原命题的条件和结论，然后利用四种命题的概念直接转化即可(2)对于命题的真假判断，当直接判断有难度时，可以通过判断它的逆否命题的真假来判断3把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)当x2或x4时，x26x80；(3)已知x、y为正整数，当yx1时，y3，x2.解：(1)原命题可改写成：若一个三角形是等腰三角形，则两个底角相等，真命题(2)原命题可改写成：若x2或x4，则x26x80，真命题(3)原命题可改写成：已知x、y为正整数，若yx1，则y3，x2.假命题4写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断其真假：(1)在ABC中，若a>b，则A>B；(2)正偶数不是质数；(3)若xA则x(AB)解：(1)原命题：在ABC中，若a>b，则A>B，真命题；逆命题：在ABC中，若A>B，则a>b，真命题；否命题：在ABC中，若ab，则AB，真命题；逆否命题：在ABC中，若AB，则ab，真命题(2)原命题：若一个数是正偶数，则它一定不是质数，假命题，例如2；逆命题：若一个数不是质数，则它一定是正偶数，假命题，例如9；否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是质数，假命题，例如9；逆否命题：若一个数是质数，则它一定不是正偶数，假命题，例如2.(3)原命题：若xA，则x(AB)，真命题；逆命题：若x(AB)，则xA，假命题；否命题：若xA，则x(AB)，假命题；逆否命题：若x(AB)，则xA，真命题.四种命题的综合应用例3证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.思路点拨根据原命题与逆否命题的等价性，先证逆否命题即可精解详析法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若ab<0，则f(a)f(b)<f(a)f(b)”证明如下：若ab<0，则a<b，b<a.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)<f(b)，f(b)<f(a)，f(a)f(b)<f(a)f(b)即原命题的逆否命题为真命题原命题为真命题法二：假设ab<0，则a<b，b<a.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)<f(b)，f(b)<f(a)f(a)f(b)<f(a)f(b)这与已知条件f(a)f(b)f(a)f(b)相矛盾因此假设不成立，故ab0.一点通由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题5已知c>0，设p：函数ycx在R上单调递减，q：不等式x|x2c|>1的解集为R，如果p和q有且仅有一个正确，求c的取值范围解：函数ycx在R上单调递减0<c<1.记Pc|0<c<1不等式x|x2c|>1的解集为R函数yx|x2c|在R上恒大于1.x|x2c|函数yx|x2c|在R上的最小值为2c.不等式x|x2c|>1的解集为R2c>1c>.记Q.如果p正确，且q不正确，借助数轴得0<c.如果p不正确，且q正确，借助数轴得c1.c的取值范围为1，)6证明：若a24b22a10，则a2b1.证明：“若a24b22a10，则a2b1”的逆否命题为“若a2b1，则a24b22a10”a2b1，a24b22a1(2b1)24b22(2b1)14b214b4b24b210.命题“若a2b1，则a24b22a10”为真命题由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确1写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出原命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定非p和结论q的否定非q；(3)按照四种命题的概念写出所有命题2判断命题的真假时，可以根据互为逆否的命题的真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础对应课时跟踪训练(一) 1给出下列语句：空集是任何集合的真子集；三角函数是周期函数吗？一个数不是正数就是负数；老师写的粉笔字真漂亮！若xR，则x24x5>0.其中为命题的序号是_，为真命题的序号是_解析：是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；该语句是疑问句，不是命题；是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数；该语句是感叹句，不是命题；是命题，因为x24x5(x2)21>0恒成立，所以是真命题答案：2设a，b是向量，命题“若ab，则|a|b|”的逆命题是_答案：若|a|b|，则ab3命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为_解析：逆命题：对于正数a，若lg a>0，则a>1.否命题：对于正数a，若a1，则lg a0.逆否命题：对于正数a，若lg a0，则a1.根据对数的性质可知都是真命题答案：44命题“若，则tan 1”的逆否命题是_解析：将条件与结论分别否定，再交换即可答案：若tan 1，则5给出下列命题：“若x2y20，则x，y不全为零”的否命题；“若an既是等差数列，又是等比数列，则anan1(nN*)”的逆命题；“若m>1，则不等式x22xm>0的解集为R”的逆否命题其中所有真命题的序号是_解析：的否命题为“若x2y20，则x，y全为零”是真命题；的逆命题为“数列an中，若anan1(nN*)，则数列an既是等差数列，又是等比数列”是假命题，如0,0,0；对于当m>1时，44m<0恒成立，x22xm>0的解集为R是真命题因此逆否命题是真命题答案：6把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断真假(1)奇函数的图像关于原点对称；(2)当x22x30时，x3或x1；(3)a<0时，函数yaxb的值随x值的增大而增大解：(1)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称，是真命题(2)若x22x30，则x3或x1，是假命题(3)若a<0，则函数yaxb的值随着x值的增大而增大，是假命题7证明：若m2n22，则mn2.证明：将“若m2n22，则mn2”视为原命题，则它的逆否命题为“若mn>2，则m2n22”由于mn>2，则m2n2(mn)2>×222，所以m2n22.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题8判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若在二次函数yax2bxc中，b24ac<0，则该函数图像与x轴有交点解：(1)该命题为真逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真(2)该命题为假逆命题：若二次函数yax2bxc的图像与x轴有交点，则b24ac<0，为假否命题：若二次函数yax2bxc中b24ac0，则函数图像与x轴无交点，为假逆否命题：若二次函数yax2bxc的图像与x轴无交点，则b24ac0，为假11.2充分条件和必要条件充分条件和必要条件如图：p：开关A闭合，q：灯泡B亮问题1：p与q有什么关系？提示：命题p成立，命题q一定成立p：两三角形相似，q：对应角相等问题2：p与q有什么关系？提示：命题p成立，命题q一定成立一般地，如果pq，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件充要条件已知p：整数x是6的倍数；q：整数x是2和3的倍数问题1：“若p，则q”是真命题吗？提示：是问题2：“若q，则p”是真命题吗？提示：是问题3：p是q的什么条件？提示：充要条件1如果pq，且qp，那么称p是q的充分必要条件简称p是q的充要条件，记作pq.2如果pq，且q/ p，那么称p是q的充分不必要条件3如果p/ q，且qp，那么称p是q的必要不充分条件4如果p/ q，且q/ p，那么称p是q的既不充分又不必要条件原命题“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，则p与q的关系有以下四种情形：原命题逆命题p、q的关系真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件真真p与q互为充要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件充分条件和必要条件的判断例1对于二次函数f(x)ax2bxc(a0)，下列结论正确的是_b24ac0是函数f(x)有零点的充要条件；b24ac0是函数f(x)有零点的充分条件；b24ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；b24ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件思路点拨逐一分析，根据二次函数与的关系，判断结论是否正确精解详析是正确的，因为b24ac0方程ax2bxc0(a0)有实根f(x)ax2bxc有零点；是正确的，因为b24ac0方程ax2bxc0(a0)有实根，因此函数f(x)ax2bxc(a0)有零点，但是f(x)ax2bxc(a0)有零点时，有可能>0；是错误的，因为函数f(x)ax2bxc(a0)有零点时，方程ax2bxc0(a0)有实根，但未必有b24ac>0，也有可能0；是正确的，因b24ac<0方程ax2bxc0(a0)无实根函数f(x)ax2bxc(a0)无零点答案一点通充分、必要条件判断的常用方法：(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的等价命题判断1从“”、“/ ”与“”中选出适当的符号填空：(1)x>1_x>0；(2)a>b_a2>b2；(3)a2b22ab_ab；(4)A_A.解析：(1)由于命题“若x>1，则x>0”为真命题，则x>1x>0；(2)由于命题“若a>b，则a2>b2”为假命题，则a>b/ a2>b2；(3)由于命题“若a2b22ab，则ab”为真命题，且逆命题也为真命题，故a2b22abab；(4)由于命题“若A，则A”为真命题，且逆命题也为真命题，故AA.答案：(1)(2)/ (3)(4)2(福建高考改编)已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的_条件解析：因为A1，a，B1,2,3，若a3，则A1,3，所以AB；若AB，则a2或a3，所以AB/ a3，所以“a3”是“AB”的充分不必要条件答案：充分不必要3指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选一个作答)：(1)p：x30，q：(x2)(x3)0；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)p：a>b，q：ac>bc；(4)p：a>b，q：ac>bc.解：(1)x30(x2)(x3)0，但(x2)(x3)0/ x30，故p是q的充分不必要条件(2)两个三角形相似/ 两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件(3)a>bac>bc，且ac>bca>b，故p是q的充要条件(4)a>b/ ac>bc，且ac>bc/ a>b，故p是q的既不充分又不必要条件.充分条件、必要条件的应用例2已知p：2x23x20，q：x22(a1)xa(a2)0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围思路点拨先利用不等式的解法确定命题p、q成立的条件，再根据p是q的充分不必要条件确定a的不等式组，求得a的范围精解详析令Mx|2x23x20x|(2x1)(x2)0x|x或x2，Nx|x22(a1)xa(a2)0x|(xa)x(a2)0x|xa2或xa由已知pq且q/ p，得MN.或a<2或<a2a2.即所求a的取值范围是，2一点通根据充分条件或必要条件求参数范围：(1)记集合Mx|p(x)，Nx|q(x)；(2)若p是q的充分不必要条件，则MN，若p是q的必要不充分条件，则NM，若p是q的充要条件，则MN；(3)根据集合的关系列不等式(组)；(4)求参数范围4已知p：关于x的不等式<x<，q：x(x3)<0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围解：记A，Bx|x(x3)<0x|0<x<3，若p是q的充分不必要条件，则AB.注意到Bx|0<x<3，分两种情况讨论：(1)若A，即，求得m0，此时AB，符合题意；(2)若A，即<，求得m>0，要使AB，应有解得0<m<3.综上可得，实数m的取值范围是(，3)5已知条件p：x2x60，条件q：mx10，且q是p的充分不必要条件，求m的值解：由题意得p：Ax|x3或x2，当m0时，pB，当m0时，P：B.q是p的充分不必要条件，BA.易知m0适合题意当3或2，即m或m时，也适合题意m的值为或或0.求充要条件例3已知数列an的前n项和Snpnq(p0，p1)，求数列an是等比数列的充要条件思路点拨根据数列的前n项和Sn与数列通项an的关系，先求出数列的通项an，根据数列an为等比数列，探求q所满足的条件，同时要注意充分性的证明精解详析a1S1pq.当n2时，anSnSn1pn1(p1)，p0，p1，p.若an为等比数列，则p，p，p0，p1pq，q1.an为等比数列的必要条件是q1.下面证明q1是an为等比数列的充分条件当q1时，Snpn1(p0，p1)，a1S1p1；当n2时，anSnSn1pnpn1pn1(p1)，an(p1)pn1(p0，p1)，p为常数，q1时，数列an为等比数列即数列an是等比数列的充要条件为q1.一点通求充要条件一般有两种方法：(1)等价转化法将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，求解的过程同时也是证明的过程，因为求解的过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证(2)非等价转化法先寻找必要条件，即将求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明6使函数f(x)|xa|在区间1，)上为增函数的充分不必要条件为_解析：由函数f(x)|xa|的图像知，函数f(x)|xa|在区间1，)上为增函数的充要条件为a1，所以使“函数f(x)|xa|在区间1，)上为增函数”的充分不必要条件即求使“a1”成立的充分不必要条件，即填写形如ap，且p<1即可，故答案不唯一，可填a0.答案：a07设nN*，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.解析：由于方程都是正整数解，由判别式“164n0”得“1n4”，逐个分析，当n1、2时，方程没有整数解；而当n3时，方程有正整数解1、3；当n4时，方程有正整数解2.答案：3或41关于充分条件、必要条件、充要条件以及既不充分又不必要条件的关系有如下四种情形：(1)若pq，则p是q的充分不必要条件；(2)若qp，则p是q的必要不充分条件；(3)若pq，则p是q的充分必要条件，既充要条件；(4)若pq，且qp，则p是q的既不充分又不必要条件2根据充分条件、必要条件、充要条件的关系求参数的取值范围，往往运用等价转化的思想，利用互为逆否命题的等价性来解决对应课时跟踪训练(二) 1(安徽高考改编)“(2x1)x0”是“x0”的_条件解析：由(2x1)x0可得x或x0，因为“x或x0”是“x0”的必要不充分条件，所以“(2x1)x0”是“x0”的必要不充分条件答案：必要不充分2已知直线l1：xay60和l2：(a2)x3y2a0，则l1l2的充要条件是a_.解析：由1×3a×(a2)0，得a3或1，而a3时，两条直线重合，所以a1.答案：13对任意实数a，b，c，给出下列命题：“ab”是“acbc”的充要条件；“a>b”是“a2>b2”的充分条件；“a<5”是“a<3”的必要条件；“a5是无理数”是“a是无理数”的充要条件其中真命题的序号为_解析：“ab”是acbc的充分不必要条件，故错，a>b是a2>b2的既不充分也不必要条件，故错正确答案：4(北京高考改编)“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的_条件解析：由sin 0可得k(kZ)，此为曲线ysin(2x)过坐标原点的充要条件，故“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的充分不必要条件答案：充分不必要5若p：x(x3)<0是q：2x3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_解析：p：0<x<3，q：x<，若p是q的充分不必要条件，则3，即m3.答案：3，)6求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.证明：(1)必要性：因为方程ax2bxc0有一正根和一负根，所以b24ac>0，x1x2<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0.(2)充分性：由ac<0可推得b24ac>0及x1x2<0(x1，x2为方程的两根)所以方程ax2bxc0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2bxc0有一正根和一负根综上所述，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.7求直线l：axyb0经过两直线l1：2x2y30和l2：3x5y10交点的充要条件解：由得交点P(，)若直线l：axyb0经过点P，则a×b0.17a4b11.设a，b满足17a4b11，则b，代入方程axyb0，得axy0，整理，得a0.直线l：axyb0恒过点，此点即为l1与l2的交点综上，直线l：axyb0经过两直线l1：2x2y30和l2：3x5y10交点的充要条件为17a4b11.8已知p：6x46，q：x22x1m20(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围解：p：6x462x10.q：x22x1m20x(1m)x(1m)0(m>0)1mx1m(m>0)因为q是p的充分不必要条件即x|1mx1mx|2x10，如图，故有或解得m3.又m>0，所以实数m的范围为m|0<m3- 17 -