2018届高考数学大一轮复习第五章数列第二节等差数列教师用书理201710142264.doc

第二节等差数列2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系。2016，全国卷，3,5分(等差数列基本量的计算)2016，全国卷，17,12分(等差数列通项公式、求和)2016，北京卷，12,5分(等差数列的基本量计算)2016，浙江卷，6,5分(等差数列的创新应用)1.以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点；2.题型主要以选择题、填空题的形式考查等差数列的基本运算与简单性质。解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查。微知识小题练自|主|排|查1等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为anan1d(常数)(nN*，n2)或an1and(常数)(nN*)。(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A。2等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d。(2)等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Snna1d或Sn。3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)。(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman。(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d。(4)若an，bn是等差数列，公差为d，则panqbn也是等差数列。(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列。(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列。(7)S2n1(2n1)an。(8)若n为偶数，则S偶S奇；若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)。微点提醒1用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。2等差数列的前n项和公式有两种表达形式，要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。3等差数列与函数的关系：(1)通项公式：当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d。若公差d>0，则为递增数列，若公差d<0，则为递减数列。(2)前n项和：当公差d0时，Snna1dn2n是关于n的二次函数且常数项为0。小|题|快|练一 、走进教材1(必修5P38例1改编)已知等差数列5，2,1，则该数列的第20项为_。【解析】依题意得，该等差数列的首项为5，公差为3，所以a20519×352，故第20项为52。【答案】522(必修5P46B组T2改编)若某等差数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别是A，B，C，则A、B、C之间的关系是_。【解析】在等差数列中，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等差数列，即A，BA，CB也成等差数列，即2(BA)A(CB)，所以C3(BA)。【答案】C3(BA)二、双基查验1(2016·全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100 B99C98 D97【解析】设等差数列an的公差为d，因为an为等差数列，且S99a527，所以a53。又a108，解得5da10a55，所以d1，所以a100a595d98。故选C。【答案】C2在等差数列an中，a2a6，则sin()A. B.C D【解析】a2a6，2a4。sinsincos。故选D。【答案】D3已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足1，则数列an的公差是()A. B1C2 D3【解析】由1，得(a1d)1，所以d2。故选C。【答案】C4在数列an中，若a11，an1an2(n1)，则该数列的通项an_。【解析】由an1an2知an为等差数列其公差为2。故an1(n1)×22n1。【答案】2n15若等差数列an满足a7a8a9>0，a7a10<0，则当n_时，an的前n项和最大。【解析】因为数列an是等差数列，且a7a8a93a8>0，所以a8>0。又a7a10a8a9<0，所以a9<0。故当n8时，其前n项和最大。【答案】8微考点大课堂考点一 等差数列的基本运算【典例1】(2016·广州联考)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3a64，S55。(1)求数列an的通项公式；(2)若Tn|a1|a2|a3|an|，求T5的值和Tn的表达式。【解析】(1)设等差数列an的公差为d，由题意知，解得，故an2n7(nN*)。(2)由an2n7<0，得n<，即n3，所以当n3时，an2n7<0，当n4时，an2n7>0。易知Snn26n，S39，S55，所以T5(a1a2a3)a4a5S3(S5S3)S52S313。当n3时，TnSn6nn2；当n4时，TnS3(SnS3)Sn2S3n26n18。故Tn【答案】(1)an2n7(nN*)(2)T513Tn反思归纳1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解。2等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，已知其中三个就能求出另外两个，体现了用方程组解决问题的思想。【变式训练】(1)(2016·北京高考)已知an为等差数列，Sn为其前n项和。若a16，a3a50，则S6_。(2)(2016·江苏高考)已知an是等差数列，Sn是其前n项和。若a1a3，S510，则a9的值是_。【解析】(1)设等差数列an的公差为d，由已知得解得所以S66a1×6×5d3615×(2)6。(2)设等差数列an的公差为d，则a1aa1(a1d)23，S55a110d10，解得a14，d3，则a9a18d42420。【答案】(1)6(2)20考点二 等差数列的判定与证明【典例2】(2017·兰州模拟)已知数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*)。(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的通项公式an。【解析】(1)证明：因为an2(n2，nN*)，bn。所以n2时，bnbn11。又b1，所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列。(2)由(1)知，bnn，则an11。【答案】(1)数列bn是以为首项，1为公差的等差数列(2)an1反思归纳等差数列的四种判断方法：(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列。(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列。(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列。(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列。【变式训练】已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn(nN*)。(1)求证：数列an是等差数列；(2)设bn，Tnb1b2bn，求Tn。【解析】(1)证明：Sn(nN*)，Sn1(n2)。得an(n2)，整理得(anan1)(anan1)anan1(n2)。数列an的各项均为正数，anan10，anan11(n2)。当n1时，a11，数列an是首项为1、公差为1的等差数列。(2)由(1)得Sn，bn2，Tn22。【答案】(1)见解析(2)Tn考点三 等差数列的性质及应用【典例3】(1)(2015·全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A5B7C9D11(2)设等差数列an的前n项和为Sn，且S312，S945，则S12_。(3)已知an，bn都是等差数列，若a1b109，a3b815，则a5b6_。【解析】(1)解法一：a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55a35。故选A。解法二：a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1d5(a12d)5。故选A。(2)因为an是等差数列，所以S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差数列，所以2(S6S3)S3(S9S6)，即2(S612)12(45S6)，解得S63；又2(S9S6)(S6S3)(S12S9)，即2×(453)(312)(S1245)，解得S12114。(3)因为an，bn都是等差数列，所以2a3a1a5,2b8b10b6，所以2(a3b8)(a1b10)(a5b6)，即2×159(a5b6)，解得a5b621。【答案】(1)A(2)114(3)21反思归纳在等差数列an中，数列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列；也是等差数列。等差数列的性质是解题的重要工具。【变式训练】(1)(2016·银川模拟)已知an是等差数列，a415，S555，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为()A4B.C4D(2)已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()A10 B20 C30 D40【解析】(1)S55a355，a311，k4。故选C。(2)设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25152n，故2n10，即数列的项数为10。故选A。【答案】(1)C(2)A考点四 等差数列前n项和的最值问题母题发散【典例4】在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值。【解析】a120，S10S15，10×20d15×20d，d。解法一：由an20(n1)×n。得a130。即当n12时，an>0，当n14时，an<0。当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S1312×20×130。解法二：Sn20n·n2n2。nN*，当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S13130。解法三：由S10S15得a11a12a13a14a150。5a130，即a130。当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S13130。【答案】当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S13130【母题变式】若将本典例条件“a120”改为“a120”，其他条件不变，求当n取何值时，Sn取得最小值，并求出最小值。【解析】由S10S15，得a11a12a13a14a150，a130。又a120，a12<0，a14>0，当n12或13时，Sn取得最小值，最小值S12S13130。【答案】当n12或13时，Sn取得最小值，最小值S12S13130。【拓展变式】设Sn为等差数列an的前n项和，(n1)Sn<nSn1(nN*)。若<1，则()ASn的最大值是S8 BSn的最小值是S8CSn的最大值是S7 DSn的最小值是S7【解析】由条件得<，即<，所以an<an1，所以等差数列an为递增数列。又<1，所以a8>0，a7<0，即数列an前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn的最小值为S7。故选D。【答案】D微考场新提升1已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，若a36，S312，则公差d等于()A1B.C2D3解析由已知得S33a212，即a24，da3a2642。故选C。答案C2(2016·长春二模)已知等差数列an的前n项和为Sn，满足a2 016S2 0162 016，则a1等于()A2 017 B2 016C2 015 D2 014解析S2 0161 008(a1a2 016)2 016，a1a2 0162。又a2 0162 016，a12 014。故选D。答案D3(2016·临沂质检)在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7a8的值为()A4 B6 C8 D10解析a2a4a6a8a105a680，a616。a7a88。答案C4已知在数列an中，a32，a51，若是等差数列，则a11等于_。解析记bn，则b3，b5，数列bn的公差为×，b1，bn，即。an，故a110。答案05已知Anx|2n<x<2n1且x7m1，m，nN，则A6中各元素的和为_。解析A6x|26<x<27且x7m1，mN，A6的元素x71,78,85,92,99,106，127各数组成一首项为71，公差为7的等差数列。717812771×9×7891。答案891- 10 -