2017_2018学年高中数学第一讲坐标系1.2极坐标系练习新人教A版选修4_42017110622.doc
二极坐标系课后篇巩固探究A组1.在极坐标系中,点(-2,-2)的一个极坐标可以是()A.2,4B.2,54C.22,4D.22,54解析=(-2)2+(-2)2=22,tan =1,且点在第三象限,可取=54,故极坐标可以是22,54.答案D2.下列的点在极轴所在直线的上方的是()A.(3,0)B.3,76C.4,74D.4,174解析由极坐标的定义可得点(3,0)在极轴上,点3,76,4,74在极轴所在直线的下方,点4,174在极轴所在直线的上方,故选D.答案D3.将点的直角坐标(-2,23)化为极径是正值,极角在0到2之间的极坐标是()A.4,23B.4,56C.43,6D.43,3答案A4.下列极坐标对应的点中,在直角坐标平面的第三象限的是()A.(3,4)B.(4,3)C.(3,5)D.(5,6)解析x=cos ,y=sin ,对选项A来说,x=3cos 4<0,y=3sin 4<0,满足在第三象限,故选A.答案A5.若A,B两点的极坐标分别为A(4,0),B4,2,则线段AB的中点的极坐标为()A.22,4B.2,4C.4,4D.2,4解析由题意知点A,B的直角坐标分别为(4,0),(0,4),则线段AB的中点的直角坐标为(2,2).由2=x2+y2,得=22.因为tan =22=1,且点(2,2)在第一象限,所以=4.故线段AB的中点的极坐标为22,4.答案A6.在极坐标系中,点3,-3关于极轴所在直线对称的点的极坐标是. 解析依题意知所求的点满足=3,=3,所以所求极坐标是3,3.答案3,37.以极点为原点,极轴的方向为x轴的正方向,取相同的单位长度,建立平面直角坐标系,则极坐标M2 016,53表示的点在第象限. 解析由于x=cos =2 016cos53=1 008,y=sin =2 016sin53=-1 0083,故点(1 008,-1 0083)在第四象限.答案四8.导学号73574008若点M的极坐标为6,116,则点M关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的直角坐标为. 解析点M的极坐标为6,116,x=6cos116=6×32=33,y=6sin116=6×-12=-3,点M的直角坐标为(33,-3).故点M关于y轴对称的点的直角坐标为(-33,-3).答案(-33,-3)9.将下列各点的极坐标化成直角坐标:(1)2,4;(2)6,-3;(3)(5,).解(1)x=2·cos4=1,y=2·sin4=1,所以点2,4的直角坐标为(1,1).(2)x=6·cos-3=3,y=6·sin-3=-33,所以点6,-3的直角坐标为(3,-33).(3)x=5·cos =-5,y=5·sin =0,所以点(5,)的直角坐标为(-5,0).10.将下列各点的直角坐标化为极坐标(>0,0<2).(1)(3,3);(2)(-3,0).解(1)=(3)2+32=23,tan =33=3.又因为点在第一象限,所以=3.所以点(3,3)的极坐标为23,3.(2)=(-3)2+02=3,由题易知极角为,所以点(-3,0)的极坐标为(3,).11.导学号73574009在极坐标系中,B3,4,D3,74,试判断点B,D的位置是否具有对称性,并求出点B,D关于极点的对称点的极坐标(限定>0,0,2).解由B3,4,D3,74,知|OB|=|OD|=3,极角4与74的终边关于极轴对称.所以点B,D关于极轴对称.设点B3,4,D3,74关于极点的对称点分别为E(1,1),F(2,2),且1=2=3.当0,2)时,1=54,2=34,故E3,54,F3,34即为所求.B组1.在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系.若点P的直角坐标与其极坐标在数值上相同,则点P在()A.x轴上B.y轴上C.射线Ox上D.射线Oy上答案C2.导学号73574010在极坐标系中,若等边三角形ABC的两个顶点是A2,4,B2,54,则顶点C的坐标可能是()A.4,34B.23,34C.(23,)D.(3,)解析如图所示,由题设可知A,B两点关于极点O对称,即O是AB的中点.设点C的极坐标为(,),又|AB|=4,ABC为等边三角形,所以=|OC|=23.因为AOC=2,所以在0,2)内点C的极角=4+2=34或=54+2=74,即点C的极坐标为23,34或23,74.答案B3.已知点P在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,则当>0,0,2)时,点P的极坐标为. 解析点P(x,y)在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,x=-2,且y=-2.=x2+y2=22.又tan =yx=1,且0,2),=54.因此,点P的极坐标为22,54.答案22,544.如图,点P的极坐标为. 解析如图所示,连接OP.OQ是圆的直径,OPQ=90°.又OQP=60°,POQ=30°,即POQ=6.|OP|=|OQ|cos6=2×32=3.故点P的极坐标为3,6.答案3,65.在极坐标系中,已知三点M2,53,N(2,0),P23,6,将M,N,P三点的极坐标化为直角坐标,并判断M,N,P三点是否在同一条直线上.解点M的极坐标为2,53,点M的直角坐标为2cos53,2sin53,即为M(1,-3).同理可得点N的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(3,3).kMN=32-1=3,kPN=33-2=3,kMN=kPN.M,N,P三点在同一条直线上.6.导学号73574011已知两点的极坐标A3,2,B3,6,求:(1)A,B两点间的距离;(2)AOB的面积;(3)直线AB与极轴正方向所成的角.解如图所示,|OA|=|OB|=3,AOB=2-6=3,AOB为等边三角形.(1)A,B两点间的距离为3.(2)AOB的面积S=12×3×3×sin3=934.(3)直线AB与极轴正方向所成的角为-6=56.7.导学号73574012已知AOB=3,点P在OA上,点Q在OB上,点M是线段PQ的中点,且POQ的面积为8,试问能否确定|OM|的最小值?若能,求出其最小值;若不能,请说明理由.解以O为极点,OB为极轴建立如图所示的极坐标系.设P1,3,Q(2,0),M(,),则由题意知1212sin3=8,即12=323.因为SPOM=121sin3-=4,SQOM=122sin =4,所以两式相乘,得2·12sin3-sin =64.所以2=23sin3-sin=43cos2-3-12.当且仅当cos2-3=1,即=6时,2取到最小值83.故|OM|的最小值为223.6
